אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/תקציר

להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

• $f,g,h$ פונקציות.
• בהנתן $a,b$ נסמן $q=\frac2{b-a}$ ו־$q_n=\pi nq$.
• $a_n,b_n$ הם מקדמי פורייה של $\cos(q_nx),\sin(q_nx)$ (בהתאמה) בטור פורייה של $f$, ו־$c_n$ מקדמי פורייה של $\mathrm e^{\mathrm iq_nx}$ בטור פורייה המרוכב.
• $n!!$ היא העצרת הכפולה של $n$, והיא שווה למכפלת כל המספרים האי־זוגיים (אם $n$ אי־זוגי) מ־1 עד $n$, או כל המספרים הזוגיים (אחרת). כלומר: $(2n-1)!!=\prod_{k=1}^n (2k-1)$ ו־$(2n)!!=\prod_{k=1}^n 2k=2^n n!$.
• $\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ אורתונורמלית ו־$\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ אורתוגונלית.

תזכורות ותוספות לאלגברה לינארית

• אי־שוויון הולדר: אם $x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q$ כאשר $\frac1p+\frac1q=1$ (כלומר, $\ell_p,\ell_q$ צמודים) אזי $\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q$.
• אם $\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k$ אזי $\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle$.
• ההיטל של $\mathbf u$ על $\mathbf v$ הוא $\mbox{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)=\frac{\langle\mathbf u,\mathbf v\rangle}{\langle\mathbf v,\mathbf v\rangle}\mathbf v$.
• אם $S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־$\mathbf u$ ב־$W=\mbox{span}(S)$ הוא $\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u)$, כלומר $\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|$.
• אי־שוויון בסל: $\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2$.
• תהליך גרם–שמידט: בהנתן בסיס $\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}$ נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי $\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ ובסיס אורתונורמלי $\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ באופן הבא:
  $\begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}$
• מרחב הפולינומים ממעלה $n$ או פחות מסומן $P_n[x]$.
• פולינומי לז׳נדר: בהנתן המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx$ על מרחב הפולינומים $P_n[x]$, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס $\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ הם
  $\begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}$
  ניתן לחשב אותם גם ע״י $P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n$ או $P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}$, והם מקיימים $\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}$.
• פולינומי צבישב: בהנתן המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$ על מרחב הפולינומים $P_n[x]$, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם–שמידט מהבסיס $\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ הם
  $\begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}$
  ניתן לחשב אותם גם ע״י $T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}$ (נוסחת רודריגז) או $T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x)$, והם מקיימים $\|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}$.

טורי פורייה

• פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע $[a,b]$ יוצרות מרחב מכפלה פנימית $E[a,b]$ עם $\langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx$. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא $\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle$.

• $E$ הוא סימון מקוצר ל־$E[-\pi,\pi]$.

• מערכת סגורה: נתונה קבוצה אורתונורמלית אינסופית $\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}$ במרחב מכפלה פנימית. המערכת תקרא סגורה אם היא מקיימת לכל וקטור $\mathbf u$ את התנאי $\lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0$.
• המערכות $\left\{\frac1\sqrt2\right\}\cup\{\cos(q_nx)\}_{n=1}^\infty\cup\{\sin(q_nx)\}_{n=1}^\infty$ ו־$\left\{\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\}_{n\to-\infty}^\infty$ אורתונורמליות סגורות ב־$E[a,b]$ לפי המכפלות הפנימיות $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ו־$\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle$ בהתאמה.
• טור פורייה של $f$ ב־$[a,b]$ הוא $\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(q_nx)+b_n\sin(q_nx)\Big)$ כאשר $\forall n\in\mathbb N\cup\{0\}:\ a_n:=\langle f,\cos(q_nx)\rangle\ \and\ \forall n\in\mathbb N:\ b_n:=\langle f,\sin(q_nx)\rangle$.

• אם $f$ זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
• מתקיים $\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2$.

• טור פורייה המרוכב של $f$ ב־$[a,b]$ הוא $\sum_{n\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}$ כאשר $\forall n\in\mathbb Z:\ c_n:=\tfrac12\left\langle f,\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\rangle$.

• מתקיים $\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2$ וכן $a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})$.

• אם $f\in E[a,b]$ ו־$S_N$ הסכום החלקי ה־$N$־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של $f$, אזי $\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0$.
• $E'[a,b]$ הוא מרחב כל הפוקנציות ב־$E[a,b]$ שקיימות להן הנגזרות החד־צדדיות בכל נקודה ב־$[a,b]$ למעט, אולי, בקצות הקטע.
• משפט ההתכנסות (משפט דיריכלה): תהי $f\in E'(\mathbb R)$ אינטגרבילית בהחלט ב־$[a,b]$ ובעלת מחזור $b-a$. בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור פורייה ב־$[a,b]$ מתכנס ל־$f$.

• אם $f\in E'[c,d]$ אזי ניתן ליצור המשכה מחזורית שלה ב־$\mathbb R$.
• אם $x_0$ נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)\over2$.

• תופעת גיבס: נניח שבנוסף $f'\in E[a,b]$ ו־$x_0$ נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של $f$ כך ש־$a<x_0<b$. כמו כן, $S_N$ הסכום החלקי ה־$N$־י של טור פורייה של $f$. אזי קיימת סדרת נקודות $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ המקיימת $x_n\to x_0\ \and\ \forall n:\ x_n>x_0$ וכן $\lim_{N\to\infty}\frac{S_N(x_N)-f(x_N)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)-\lim_{x\to x_0^-}f(x)}\approx0.0895\dots$, וזו השגיאה המקסימלית.

• למת רימן–לבג: אם $f$ אינטגרבילית בהחלט אזי $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0$ כאשר $n\in\mathbb R$ (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
• גרעין דיריכלה: $\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}$. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־$(-\pi,\pi)$ שווה ל־$\pi$.
• אם $f\in E'[a,b]$ רציפה ב־$[a,b]$ ו־$f(a)=f(b)$ אז טור פורייה של $f$ יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
• שוויון פרסבל: אם $f\in E[a,b]$ אזי $\|f\|^2=q\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(|a_n|^2+|b_n|^2\Big)$ ו־$\frac{\|f\|^2}2=\frac q2\int\limits_a^b |f(x)|^2\mathrm dx=\sum_{n\to-\infty}^\infty |c_n|^2$.

• שוויון פרסבל המוכלל: אם $f,g\in E[a,b]$ אזי $\langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=\frac{a_0\overline{c_0}}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\overline{c_n}+b_n\overline{d_n}\Big)$ כאשר $g(x)\sim\frac{c_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(c_n\cos(q_nx)+d_n\sin(q_nx)\Big)$.

• אם $f$ רציפה ב־$[a,b]$, $f(a)=f(b)$ ו־$f'\in E[a,b]$ אזי טור פורייה של $f$ גזיר איבר־איבר ומתקיים $f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty\big(q_n b_n\cos(q_nx)-q_n a_n\sin(q_nx)\Big)=\sum_{n\to-\infty}^\infty \mathrm iq_nc_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}$.
• אם $f\in E[a,b]$ אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל $x\in[a,b]$ ולכל $m\in[a,b)$ מתקיים
  $\begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}(\sin(q_nx)-\sin(q_nm))-\frac{b_n}{q_n}(\cos(q_nx)-\cos(q_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm iq_nx}-\mathrm e^{\mathrm iq_nm}\right)\end{align}$
  והטורים מתכנסים במ״ש.

• אם $F$ קדומה ל־$f$ ב־$[a,b]$ אזי $F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}\sin(q_nx)-\frac{b_n}{q_n}\cos(q_nx)\right)+\frac q2\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx$.

התמרות פורייה

• $G(\mathbb R)$ הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־$\mathbb R$ ל־$\mathbb C$ שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־$\mathbb R$.
• התמרת פורייה: $\hat f=\mathcal F[f]:\mathbb R\to\mathbb C$ נקראת "התמרת פורייה של $f$" ומוגדרת ע״י $\hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx$.
• אם $f\in G(\mathbb R)$ אזי $\hat f$ מוגדרת ורציפה בכל נקודה $\omega\in\mathbb R$. בנוסף, $\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0$.
• לכל $f,g\in G(\mathbb R)$ ולכל $a,b\in\mathbb C$ מתקיים:

• $\mathcal F[af+bg]=a\mathcal F[f]+b\mathcal F[g]$
• אם $f$ ממשית אזי $\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}$.

• מקרה פרטי: אם $f$ ממשית וזוגית אזי $\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)$ והיא פונקציה ממשית.
• מקרה פרטי: אם $f$ ממשית ואי־זוגית אזי $\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)$ והיא פונקציה מדומה.

• אם $f$ מדומה אזי $\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}$.
• אם $a\ne0$ אזי $\mathcal F[f(ax+b)](\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F[f]\!\left(\frac\omega a\right)$.
• אם $a\in\mathbb R$ אזי $\mathcal F\!\left[\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right]\!(\omega)=\mathcal F[f](\omega-a)$.
• אם $a\in\mathbb R$ אזי $\mathcal F[\cos(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}2$.
• אם $a\in\mathbb R$ אזי $\mathcal F[\sin(ax)f(x)](\omega)=\frac{\mathcal F[f](\omega-a)-\mathcal F[f](\omega+a)}{2\mathrm i}$.
• אם $f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)$ ו־$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ אזי $\mathcal F\!\left[f^{(n)}\right]\!(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F[f](\omega)$.
• אם $\int\limits_{-\infty}^\infty\left|x^k f(x)\right|\mathrm dx$ מתכנס לכל $k\in\{1,\dots,n\}$ אזי $\hat f$ גזירה ברציפות $n$ פעמים ומתקיים $\mathcal F\!\left[x^n f(x)\right]\!(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F[f](\omega)$.

• התמרת פורייה ההפוכה: אם $f\in G(\mathbb R)$ אזי בכל נקודה $x_0$ שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים $\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega$.

• מקרה פרטי: אם $f'\in E(\mathbb R)$ אזי $f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega$.

• עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה: תהי $f$ המקיימת $f'\in E(\mathbb R)$, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה $\hat f$ שלה. נוכל להציב $x:=-\omega,\ \omega:=x$ ב־$\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x)$, לחלק את שני האגפים ב־$2\pi$ ולקבל $\hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi}$.
• אם $f,g\in G(\mathbb R)$ ו־$\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx$ ו־$\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega$ מתכנסים אזי $\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega$.

• מקרה פרטי: נוסחת פלנשרל (Plancherel): אם $f\in G(\mathbb R)$ ו־$\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx$ ו־$\int\limits_{-\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega$ מתכנסים אזי $\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega$.

• קונבולוציה: יהיו $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$. אזי $\forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt$.
• $f*g=g*f$
• $(f*g)*h=f*(g*h)$
• $f*(g+h)=f*g+f*h$
• אם $f,g$ אינטגרביליות בהחלט אז $f*g$ מוגדרת עבורן בכל $\mathbb R$ וגם היא אינטגרבילית בהחלט.
• משפט הקונבולוציה: $\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F[f*g]=2\pi\mathcal F[f]\mathcal F[g]$.

• שימוש חשוב: נניח שידועות $f,g,\hat f,\hat g$ ונרצה למצוא $h$ כך ש־$\hat h=\hat f\cdot\hat g$. אזי $h=\frac1{2\pi}f*g$.

התמרות פורייה שימושיות

• $\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-|x|}\right]\!(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}$
• $\mathcal F\!\left[\mathrm e^{-x^2}\right]\!(\omega)=\frac{\mathrm e^{-\omega^2/4}}{2\sqrt\pi}$ (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של האינטגרל שמגדיר את ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: $\hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)$).
• עבור $a\ge0$: $\mathcal F[1_{[-a,a]}](\omega)=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega}$ (כאשר $1_A$ היא הפונקציה המציינת של קבוצה $A$, ומוגדרת ע״י $1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}$).

התמרות לפלס

• חסימות מעריכית: נאמר ש־$f$ חסומה מעריכית אם קיימים $M>0$ (חסם מעריכי) ו־$\alpha$ (סדר מעריכי) שעבורם $\forall t:\ |f(t)|\le M\mathrm e^{\alpha t}$.
• $\Lambda(\mathbb R)$ הוא המרחב הלינארי של פונקציות $f:\mathbb R\to\mathbb C$ חסומות מעריכית כך ש־$f\in E[0,\infty)$ והן אינטגרביליות בהחלט ב־$[0,R]$ לכל $0<R<\infty$.
• התמרת לפלס: תהי $f\in E[0,\infty)$ המקבלת ערכים ב־$\mathbb C$. אזי $\mathcal L[f]:\mathbb R\to\mathbb C$ נקראת "התמרת לפלס של $f$" ומוגדרת ע״י $\mathcal L[f](s)=\int\limits_0^\infty f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt$.
• אם $f\in E[0,\infty)$ וחסומה מעריכית אזי $\lim_{s\to\infty}\mathcal L[f](s)=0$.
• אם $f\in\Lambda(\mathbb R)$ עם סדר מעריכי $\alpha$ אז קיימת לה התמרת לפלס ב־$(\alpha,\infty)$.
• $\forall a,b\in\mathbb C:\ \mathcal L[af+bg]=a\mathcal L[f]+b\mathcal L[g]$
• $\mathcal L\!\left[t^n f(t)\right]\!(s)=(-1)^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm ds^n}\mathcal L[f](s)$
• משפט התמורה של הנגזרת: תהי $f$ עם חסם מעריכי $\alpha$ וכך ש־$f^{(n)}\in\Lambda(\mathbb R)$. אזי התמרת לפלס של $f^{(n)}$ מוגדרת ב־$(\alpha,\infty)$ ומתקיים $\mathcal L\!\left[f^{(n)}\right]\!(s)=s^n\mathcal L[f](s)-\sum_{k=0}^{n-1} s^{n-1-k}f^{(k)}(0)$.
• קונבולוציה: יהיו $f,g\in\Lambda(\mathbb R)$. אזי $\forall t\in[0,\infty):\ (f*g)(t)=\int\limits_0^t f(t-x)g(x)\mathrm dx$.
• משפט הקונבולוציה: $\forall f,g\in\Lambda(\mathbb R):\ \mathcal L[f*g]=\mathcal L[f]\mathcal L[g]$. אם בנוסף $f,g$ עם סדר מעריכי $\alpha$ אז $\mathcal L[f*g](s)$ מוגדר לכל $s>\alpha$.
• תהא $f\in\Lambda(\mathbb R)$ ונתונה $F(t)=\int\limits_0^t f(x)\mathrm dx$. ממשפט הקונבולוציה עם $g(t)\equiv1$ נקבל $\mathcal L[F](s)=\frac{\mathcal L[f](s)}s$.
• פונקציית הביסייד (Heaviside) היא $H_c(t)=\begin{cases}0,&0\le t<c\\1,&t\ge c\end{cases}$.
• $\mathcal L[H_c(t)f(t-c)](s)=\mathrm e^{-cs}\mathcal L[f](s)$

התמרות לפלס שימושיות

בהתמרות הבאות, $a$ הוא מספר ממשי כרצוננו.

• $\mathcal L\!\left[\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{s-a},\quad s>a$
• $\mathcal L\!\left[t\mathrm e^{at}\right]\!(s)=\frac1{(s-a)^2},\quad s>a$
• $\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac a{s^2+a^2},\quad s>0$
• $\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac s{s^2+a^2},\quad s>0$
• $\mathcal L[H_a](s)=\frac{\mathrm e^{-as}}s,\quad s>0$

דגימה והתמרת פורייה בדידה

• $f\in G(\mathbb R)$ נקראת "חסומה בתדר" אם $\exists L>0:\ \forall |\omega|>L:\ \hat f(\omega)=0$. ה־$L$ המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של $f$.
• נניח כי $f$ חסומה בתדר ובעלת רוחב פס $L$. אזי $\forall x\in\mathbb R:\ f(x)=\sum_{n\to-\infty}^\infty f\!\left(\frac{\pi n}L\right)\frac{\sin(Lx-\pi n)}{Lx-\pi n}$.
• התמרת פורייה בדידה (DFT): בהינתן סדרה $x=\{x_0,x_1,\dots,x_{N-1}\}$ של $N$ נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י $\forall k:\ \mathcal F_N(x)_k=X_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m w^{mk}$ כאשר $w:=\mathrm e^{-2\pi\mathrm i/N}$. זו התמרה של $N$ נקודות ל־$N$ נקודות אחרות.
• ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT) נותנת את ערכי הסדרה המקורית $x$ לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה $X$ שלה: $\forall k:\ \mathcal F_N^{-1}(X)_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} X_m w^{-mk}$.
• $\mathcal F_N(ax+by)=a\mathcal F_N(x)+b\mathcal F_N(y)$
• $X_k=X_{k+N}$
• קונבולוציה: בהנתן שתי סדרות $x,y$ בעלות מחזור $N$ הקונבולוציה מוגדרת ע״י $(x*y)_k:=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m y_{k-m}$.
• משפט הקונבולוציה: $\mathcal F_N(x*y)=\mathcal F_N(x)\cdot\mathcal F_N(y)=X\cdot Y$ (כאשר הכפל מתבצע איבר־איבר).
• מטריצת DFT: התמרת פורייה הבדידה הינה לינארית, לכן קל להגדיר אותה באמצעות מטריצה $W$ שתקיים $X=Wx$. המטריצה מוגדרת כ־$W=\frac1\sqrt N\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&w&w^2&\dots&w^{N-1}\\1&w^2&w^{2\cdot2}&\cdots&w^{2(N-1)}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&w^{N-1}&w^{2(N-1)}&\cdots&w^{(N-1)^2}\end{pmatrix}=\left(\frac{w^{(i-1)\cdot(j-1)}}\sqrt N\right)_{1\le i,j\le N}$, וזו מטריצה יוניטרית (כלומר $W^{-1}=\overline W^\top$) וסימטרית.
• FFT – Fast Fourier Transform: בעוד שחישוב על פי ההגדרה של התמרת פורייה בדידה הוא בעל סיבוכיות זמן ריצה $O(N^2)$, תהליכי FFT עושים זאת ב־$O(N\log(N))$. יש מספר שיטות כאלו, אנו למדנו רק את תהליך Cooley–Tukey. הפירוט אינו מופיע כאן, אלא בקישור הנ״ל לוויקפדיה.

מד״ח

• מעבר חום: נתונה המד״ח $\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ($k$ קבוע) עם תנאי ההתחלה $u(x,0)=f(x)$.

• שיטת הפרדת משתנים: אם נתונים בנוסף תנאי השפה $\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)$, נניח שניתן להציג את הפתרון $u(x,t)$ כמכפלה $X(x)\cdot T(t)$. אזי $\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda$ כאשר $\lambda$ מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: $\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}$. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־$\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}$ עבור $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ ולכן, עבור $n$ נתון, $X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)$ פתרון לכל $a_n,b_n$. לגבי המד״ר השנייה, $T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)$ הוא פתרון עבור $n$ נתון. הפתרון הכללי של $u$ הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: $u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right)$, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־$a_n,b_n$ מקדמי טור פורייה של $f$ ב־$[-L,L]$.
• שימוש בהתמרת פורייה: נסמן $\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx$ (כלומר, זו התמרת פורייה של $u$ לפי $x$). לפי המד״ח $\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)$. פתרונה של המד״ר הזו הוא $\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}$, והצבה של $t=0$ תתן $A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)$. עתה נחפש פונקציה $g$ כך שהתמרת פורייה שלה לפי $x$ תהא $\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}$. לפי ההתמרה של $\mathrm e^{-x^2}$ וכמה מתכונות ההתמרה נקבל $g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)$ ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, $u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds$.

• משוואות גלים: נתונה המד״ח $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ ($k\ne0$ קבוע) עם תנאי ההתחלה $u(x,0)=\varphi(x)$ ו־$\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)$ ותנאי שפה $u(0,t)=u(L,t)=0$. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה $X(x)\cdot T(t)$ (שיטת הפרדת משתנים) ולכן $\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda$ עבור $\lambda$ מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: $\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}$, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל $u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)$ כאשר $a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx$.
• נתונה מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את $\mathcal L[y]$ (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.