88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות 3+4 (11+13/3/12)
הרצאות 3+4 (11+13/3/12)
נוסחה שהופיעה בשיעור:
את האינטגרל מהסוג עבור מחשבים בעזרת נוסחת הנסיגה הבאה:
כך ש-
אינטגרציה של פונקציה רציונלית:
, פולינומים.
יש רק שני סוגים של שברים חלקיים:
(א) עבור
(ב) עבור ולמכנה שאין לו שורשים ממשיים:
השיטה שלנו מתבססת על שני משפטים מאלגברה.
משפט 1: יהי פולינום ממשי. אז ניתן לפרק את לקבוע כפול מספר איברים לינאריים , ומספר איברים ריבועיים מהסוג כך ש- וזהו הפירוק המושלם של .
משפט 2: תהי פונקציה רציונלית כך ש-. אז אפשר לפרק את לסכום של שברים חלקיים.
בפועל:
כדי לפרק את לסכום שברים חלקיים: תחילה מפרקים את בצורה מושלמת עפ"י משפט 1, אז משווים את לסכום של שברים חלקיים כללי ביותר שעשוי להביא לידי המכנה (זאת אומרת, המכנה הנשותף שלהם=).
רושמים את השברים החלקיים עם מקדמים בלתי ידועים ואז קובעים את המקדמים האלה. לבסוף מחשבים ע"י סכום אינטגרלים של השברים החלקיים שהם אינטגרלים קלים.
למידע נוסף ניתן לקבל בקישור הבא.
אינטגרציה של פונקציות רציונליות של :
קיימת "הצבה אוניברסלית" שניתן בעזרתה להביא אינטגרל כזה לאינטגרל של פו' רציונלית רגילה שפתירה ע"י שברים חלקיים.
ההצבה היא:
לכן , לכן יוצא לפי גזירה ש- . נשתמש בזהות חשובה: לכן: (לפי זהות לזוית כפולה)
לאחר העברת אגפים יוצא ש- .
נשתמש כעת בזהות לזוית כפולה של ונציב את הערכים שמצאנו כבר-
לכן יוצא ש-
לבסוף נמצא את :
כללים נוספים:
אם נתון: (במילים אחרות-פו' רציונלית המורכבת מ בלבד):
(א) אם , תועיל ההצבה .
(ב) אם , תועיל ההצבה .
(ג) אם , תועיל ההצבה .
למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)