גרסה אחרונה מ־19:47, 4 ביולי 2011

חשוב!!! 3.2.2011 שלום לכולם, שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים בשני הקרוב,7.2 בשעה 16:00. נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר. עדי

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

תוכן עניינים

1 הוספת שאלה חדשה
2 ארכיון
3 שאלות

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

שאלות

תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"?

אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש- $T$ אנטי-צמוד לעצמו אם $T^{*}=-T$ . שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. דורון פרלמן 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)

חובת הגשה

כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.

אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. דורון פרלמן 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?

כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו

תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב'

מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?

צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. דורון פרלמן 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

+שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, עדיין צל"ע?

נכון. דורון פרלמן 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)

שוב LCM ועוד שאלה קטנה

1. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.

2. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.

1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. דורון פרלמן 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)

תודה!

חיוביות בשדה המרוכבים

איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?

לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". דורון פרלמן 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)

אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?

כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". דורון פרלמן 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)

גרעין של מטריצה

שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!

עדי: $ker(A)=\{v\in V:Av=0\}$

שאלה 3.30א

לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.

עדי

את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל

\lambda \le 1

? -לידור.א.- 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST)

גם ב-ב' זה ככה או לא?

כן, לשנות גם את סעיף ב'. דורון פרלמן 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)

תרגיל 10 - שאלה 3.23א'

בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיח ואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?

כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :)

האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)

תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס

מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?

זו המ"פ הסטנדרטית, ו-

V=\mathbb{C}^{n}

. דורון פרלמן 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST)

משפט או לא?

שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?) (צל"ע=צמוד לעצמו)

מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-

[T]_{B}

אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. דורון פרלמן 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST)

התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי), ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!

3.27

אפשר רמז?

עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"י המספר e

ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי

מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?

ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"?

ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?

ובמיוחד, מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים?

עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית.

אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית)

ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי

אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים

תודה!

בילבול קטן

צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש- $[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*$ . זה לא אמור להיות $[T^*]^E_F=([T]^E_F)^*$ ?

לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. דורון פרלמן 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)

אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!

בקשר לסקר ההוראה

כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).

גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... גל א.

תרגיל 11

אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??

תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). דורון פרלמן 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 שאלה 7

אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). דורון פרלמן 01:37, 5 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 שאלה 1

כמה שאלות: האם A נילפוטנטית? אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A? ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי? תודה רבה מראש

א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0).

ב. לא נתון הסדר של A, אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא הסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'.

ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.

דורון פרלמן 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)

תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?

ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!

קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. דורון פרלמן 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 - שאלה 5

אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.

נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). דורון פרלמן 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)

הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. דורון פרלמן 06:05, 6 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11 - שאלה 2

מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ?

(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים!

(לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.

מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. דורון פרלמן 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר).

תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות)

האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!

חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, לא צריך להראות את החישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. דורון פרלמן 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)

תרגול 11

שלום רב,

בתרגול 11 שאלה 4 נכתב ש- $J=J_{14}(x)$ , לאחר מכן נתונים על $J-xI$ ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש ב- $J$ . אבל $J$ היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)? למה הנתונים על $J-xI$ ?

תודה מראש, גל א.

אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. -לידור.א.- 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)

כן, זו הכוונה. דורון פרלמן 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11

דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה יעזור לנו לפתור את שיעורי בית. דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן? ומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס? תודה!

דבר ראשון: אני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (בגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני: לא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (בהנחה שמימד ImA^2 הוא 1). אם קיבלת ש-A^2v=0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. דורון פרלמן 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)

ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא 1? וגם, מתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker?

ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?

ושאלה אחרונה: אם A^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס- מה עושים? אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...

תודה רבה!

(לא מתרגלת) בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה.

1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל 2, אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT=KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1). תמיד אפשר להשלים כי

ImT \subset KerT

. כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את

ImT^{n}

ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר

A^2=0

אז אין שלבים באמצע.

2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-rank) אז מספיק לעשות מה שרשמת.

3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל-ImA^2? את/ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.

4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. דורון פרלמן 19:32, 9 בינואר 2011 (IST)

שאלה 6

לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא? תודה מראש

תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה

לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?

אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי

(x-9)^5

ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. דורון פרלמן 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)

תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?

כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. דורון פרלמן 22:00, 8 בינואר 2011 (IST)

שאלה על הוכחה מההרצאה

למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה

מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. דורון פרלמן 21:37, 8 בינואר 2011 (IST)

תודה רבה!

תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון

לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר כאן. דורון פרלמן 19:19, 9 בינואר 2011 (IST)

תודה! יש לי שאלה על זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...

שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?

לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. דורון פרלמן 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)

תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות

איך יודעים באיזה סדר לשים את הוקטורים שקיבלנו במטריצה P?

לפי מה שאני יודעת, (לא מתרגלת) זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור

P^{-1}

.

אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת...

הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת

ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap KerT \subset \ldots \subset \ldots \subset KerT

משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. דורון פרלמן 21:52, 10 בינואר 2011 (IST)

שאלה על ג'רדון

למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?

גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. דורון פרלמן 21:54, 10 בינואר 2011 (IST)

בקשה - שיעור שלא העתקתי

שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד!

אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 עם בוריס והתרגול של עדי.

מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש.

(את הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי: ella10004@walla.com)

אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.

תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..?

המבחן

האם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה

לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: דף ראשון מועד א). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. גל א.

משפט פיתגורס

בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב: " ממשפט פיתגורס: $||v||^2=|<v,u/||u||>|^2+|<v,v'>|^2$ " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה!

אם u/||u||,v א"נ אז $<v,u/||u||>=0$

אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם.

אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? או ש $v=v'+u/||u||$ תרשום את כל המשפט.

אוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה

{u/||u||}

שהיא א"נ, משלימים אותה לבא"נ של sp{u,v},

B={u/||u||,v'}

. ואז "ממשפט פיתגורס"- המשוואה שרשמתי, וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ.

משפטים/טענות למבחן

האם צריך לדעת את כל המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר?

זו שאלה למרצים

(סטודנט אחר): אתה מתכוון כמו במיקוד?

אכן

(מתוך דף הקורס): התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה.

כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה.

בימים הקרובים

מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים)

שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה

אני אפתור מבחן המייצג את החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן

לכסון אורתוגונלי

שלום, אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!

לכסון אורתוגונלי

שילוש אורתוגונלי

שאלה מתרגול

אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <Tv,v> > אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=T. תודה!

צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את $<Tv,v> >=0$ עבור הבסיס המלכסן האורתונ'. ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T

מט' נילפוטנטית

למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית? תודה!

אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה

תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)

מה זה "דרגה דטרמיננטית"?

יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).

לא משנה, הבנתי.

שאלה למתרגלים

האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן? בתודה רבה!

דימיון בין מטריצות מייצגות

למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?

למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה?

לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.

(לא מתרגל/ת): הוכחה אפשרית: תהא

A\in\mathbb F^{n\times n}

ויהיו

\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n

הערכים העצמיים שלה. אזי

\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A|

. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).

הוכחה מאוד יפה! תודה.

רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז

P_A(0)

הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?

(לא מתרגל/ת): לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה שכל הע"ע שלה ב-

\mathbb F

. למשל ל-

\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}

אין ע"ע ב-

\mathbb R

(ולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל בסגור האלגברי שלו (

\mathbb C

) הע"ע הם

\pm i

, ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.

למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T?

ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה: "נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.

את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (כולל) - לא הבנתי.

בבקשה עזרה!!

יהי אופרטור T על V, נניח כי T לכסין, כלומר קיים בסיס B של V כך ש

{\left[ T \right]_B}

מטריצה אלכסונית. נסמן

{B={v1,....,vn , אזי כיוון ש ${\left[ T \right]_B}$ אלכסונית: ${\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},...,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}&0&0\\ 0& \ddots &0\\ 0&0&{{\lambda _n}} \end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1},...,{\lambda _n}{e_n}} \right)}$ (אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב ${\left[ T \right]_B}$ היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. -לידור.א.- 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)

פתרונות של התרגילים

אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12? זה ממש יעזור...

פתרונות 11 ו 12 !!!

מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות אני לא יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...

עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג'

נתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0. צ"ל dim Span{w,v}. ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1 או 2, תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל. אבל זה מה שלא הצלחתי למצוא, ניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.

תשובה (לא מתרגלת..): הוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1. מניחים בשלילה שהם בת"ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0. זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...

לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את הדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת

$<u,u><v,v>-<u,v><v,u>$ , ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס.

לא מתרגל אחר אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם יכולה להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל

\left|G_{\{\vec0,(1,0)\}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0

עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג'

אני לא מצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!

(לא מתרגל/ת): אם הפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א). אתה יכול לקחת את J₂(מספר כלשהו), ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא לכסין.

\blacksquare

אוקי, תודה רבה.

עזרה בשאלה ממבחן

השאלה: יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(A)+g(B) לכל זוג פולינומים f,g. שאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה?

תבנית:תשובה מתחכמת קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<C מגודל שלוש על שלוש.

אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)=g(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.

אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל

\R

אז אני לא יודע... גל א.

ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..

נגדיר V מרחב הפולינומים מעל R V מרחב וקטורי נתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי. נבנה העתקה T:VxV->M2(R)zz כך ש- T(f,g)=f(A)+g(B)zz ברור שאם f=pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). כלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על, כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f,g כך ש-f(A)+g(B)=C (בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)

עזרה בעוד שאלה ממבחן

נתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. צ"ל AB=BA. למישהו יש רעיונות?

עריכה: אני חושב שהצלחתי, A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (כך שהמט' המלכסנות P-1=P*) אבל יש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, P-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.

שאלה בקשר למבחן

בשאלה 3 סעיף ב אמרו: הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^3...,x^n} הוא בא"נ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ.

אם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, כי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס יהיה בא"נ והוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ.

עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' של A, ולא הספקתי להוכיח ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה. מישהו מהמרצים או מהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על זה. תודה רבה ~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.

הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה

אם נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A+I. נקבל מטריצה לא הפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..) בתשובה שראיתי נאמר "לכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A הוא 1-." אתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל? אני מבין את ההתחלה- המטריצה A+I לא הפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה.. עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה? הבנתי- זה דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים.. תודה!! :)

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+'''חשוב!!!
+''' 3.2.2011
+'''שלום לכולם,
+'''שעור חזרה (מתרגלים) יתקיים [[בשני הקרוב,7.2]] בשעה 16:00.
+'''נא להתעדכן באתר במיקומו בראשון בבוקר.
+'''עדי'''
 {{הוראות דף שיחה}}
 =ארכיון=
 *[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
 *[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
+*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
+*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
+*[[שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב/ ארכיון 5| ארכיון 5]]
 =שאלות=
+== תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"? ==
-== למה? ==
+אני מקדים תרופה למכה ועונה על השאלה הזאת לפני שהיא עוד נשאלה. בתירגול דיברנו על 3 סוגים של אופרטורים: נורמלי, אוניטרי (נקרא גם אורתוגונלי כאשר שדה הבסיס הוא הממשיים), צמוד לעצמו (צל"ע) (נקרא גם הרמיטי / סימטרי בהתאם להאם השדה הוא מרוכב או ממשי). יש גם סוג רביעי, הנקרא "אנטי-צמוד לעצמו" (או: אנטי-הרמיטי / אנטי-סימטרי בהתאם לשדה ..). ההגדרה היא ש-<math>T</math> אנטי-צמוד לעצמו אם <math>T^{*}=-T</math>. שימו לב לדמיון בין הגדרת מטריצה סימטרית / אנטי-סימטרית להגדרת אופרטור צמוד לעצמו / אנטי-צמוד לעצמו (הדמיון כמובן לא מקרי - ראינו כי עבור מטריצות ממשיות ההגדרות מתלכדות). בכל אופן ההגדרות מופיעות גם בחוברת כמה שורות לפני התרגילים עצמם. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:12, 19 בדצמבר 2010 (IST)
-הדט' של פ"מ שווה לפ"מ בחזקת n??
+== חובת הגשה ==
-'''מה?
+כמה תרגילים עוד יהיו? כמה מהם חובה להגיש? כמה אחוז הבוחן? תודה.
-:ד"ר צבאן כתב שהדט' של פולינום מינימלי שווה לפולינום המימינלי (כפול I) בחזקתn (http://math-wiki.com/images/9/9b/Charpolydivminpoly%5En.pdf, סוף המסמך), ואני שאלתי- למה זה? תודה!
+:אני מניח שכמספר השבועות שנותרו עד לסוף הסמסטר (אולי מינוס שבוע אחד). חובת הגשת התרגילים היא של n-2 תרגילים, כלומר אם יהיו בסופו של דבר 13 תרגילים חובת ההגשה היא של 11 וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
-::{{לא מתרגל}} כי <math>|m_A(x)I|=\begin{vmatrix}m_A(x)&0&\cdots&0\\0&m_A(x)&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&m_A(x)\end{vmatrix}</math> וזו מטריצה אלכסונית, לכן = למכפלת אברי האלכסון הראשי. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 23:28, 22 בנובמבר 2010 (IST)
+::ואם מגישים יותר אז לוקחים את הציונים הגבוהים?
-:::תודה!!
-== נכונות טענה ==
+'''כן. לגבי אחוז הבוחן טרם החלטנו
-שלום רב,
+== תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב' ==
-האם הטענה הבאה נכונה: "אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותם פולינום האופייני ופולינום המינימלי. לכן, כדי שמטריצה תהיה לכסינה, צריכים להיות לה פולינום אופייני ומינימלי זהים לאלו של מטריצה אלכסונית". במילים אחרות, הטענה אומרת שמטריצה <math>A</math> (מגודל <math>nXn</math>) לכסינה אם:
+מה צריך להוכיח? שקיימת הצגה? שהיא יחידה? A,B צל"ע? הכל?
+:צריך להוכיח מה שרשום בשאלה. שקיימת הצגה כזו ושהיא יחידה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
++שאלה על סעיף ב' - מדובר על אותם T,B,A, נכון? כלומר A,B, '''עדיין צל"ע'''?
+:נכון. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 20 בדצמבר 2010 (IST)
-. <math>P_A(x)=(x-a_1)^{k_1}...(x-a_i)^{k_i}</math> כאשר <math>k_1+...+k_i = n</math>
+== שוב LCM ועוד שאלה קטנה ==
-. <math>m_A(x)=(x-a_1)...(x-a_i)</math>.
+. חלק מהגדרת lcm היא שהוא מתוקן? אם לא, איך מוכיחים שהוא מתוקן? רמז? תודה.
-תודה! [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+. אם כתוב f|g זה אומר ש-f מחלק את g או ש-g מחלק את f ? תודה.
+:1. כן, זה חלק מההגדרה. 2. זה אומר ש-f מחלק את g. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:52, 20 בדצמבר 2010 (IST)
+::תודה!
-:[[קשר בין לכסינות לבין הפולינום המינימלי]] --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:02, 22 בנובמבר 2010 (IST)
+== חיוביות בשדה המרוכבים ==
-::אפשר להשתמש במשפט הזה (מבלי להוכיח אותו שוב)? [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 22:12, 22 בנובמבר 2010 (IST)
-:::אני רק אדגיש שאני הפנתי לדף באתר משנה שעברה, אני לא יודע אם מותר לכם להשתמש בזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:19, 22 בנובמבר 2010 (IST)
-'''עדי: תסתכל בארכיון2, עניתי על זה, ריבויי שורשי הפ"א הם 1 בפ"מ. שזה גם מה שאומר המשפט של ארז ושלך. כן, אפשר להשתמש בזה, למדנו את זה גם בתירגול.
+איך מוגדר מספר חיובי בשדה המרוכבים?
+:לא מוגדר. אין במרוכבים יחס סדר, אי אפשר להגיד על שני מספרים a>b, בפרט אי אפשר לאמר a>0 לכן אין כזה דבר "מספר חיובי" או "מספר שלילי". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:26, 23 בדצמבר 2010 (IST)
+::אבל בשאלה האחרונה בדף תרגילים אומרים שיש מטריצה A מעל המרוכבים שהדט' שלה חיובית והעיקבה שלילית, וצריך להראות על איזה תכונה שמתייחסת לחיוביות שלה. אבל אם אין סדר מעל המרוכבים, למה התכוון המשורר?
+:::כשאומרים z>0 עבור z מספר מרוכב הכוונה "z ממשי וגדול מאפס". [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:06, 28 בדצמבר 2010 (IST)
-==5.22 לגבי ה-trace==
+== גרעין של מטריצה ==
-שלום רב,
-אני חושב שאני יודע איך ה-trace של המט', אך רק מתוך אינטואיציה, מישהו יכול להיות אולי רמז לדרך הפתרון?
-תודה [[משתמש:Sretter|שקד רטר]]
-'''עדי: חשוב על משהו אחר שמשותף למט' דומות והסק מסקנה על העיקבה שלהן
+שלום רב, בלינארית 1 הגדרנו מהו הגרעין של ההעתקה אבל לא הגרעין של המטריצה, בו אנו נדרשים לעשות שימוש בתרגיל 10. האם תוכלו להסביר מה זה? תודה מראש!
-תודה!!! [[משתמש:Sretter|שקד רטר]] 09:54, 23 בנובמבר 2010 (IST)
-== תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן ==
+'''עדי: <math>ker(A)=\{v\in V:Av=0\}</math>
-בעמ' 95 תרגיל 1.1, אמור להיות כתוב u,v "עם או בלי אינדקסים" במקום "עם או בלי סקלרים", נכון?
+== שאלה 3.30א ==
-והחלק שיותר חשוב לשיעורי הבית, ב1.4 ב' ו-ג', המ"פ הן מתרגיל 1.3, לא 1.1, נכון? תודה
-'''עדי:
+לאחר התייעצות עם מחבר השאלה, כנראה שקיימת שגיאה. נא להתייחס לצד שמאל כ- למדא קטן/שווה 1 ולא גודלו.
-'''1.1:כן.
-'''1.4:גם כן.
+עדי
+:את סעיף ב' של השאלה הנ"ל להשאיר כמו שהוא או לשנות את התנאי בהתאם ל <math>\lambda  \le 1</math>? [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 18:33, 25 בדצמבר 2010 (IST)
+:גם ב-ב' זה ככה או לא?
+::כן, לשנות גם את סעיף ב'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:08, 28 בדצמבר 2010 (IST)
+== תרגיל 10 - שאלה 3.23א' ==
-== שאלה 1.9 ==
+בסעיף א', מבקשים להוכיח כי אופרטור נורמלי צמוד לעצמו אם"ם קבוצת הערכים העצמיים שלו ממשית. את הכיוון =>, כלומר, T צמוד לעצמו גורר שקבוצת הערכים העצמיים שלו היא ממשית, קל להוכיח
+ואף עברנו עליו בהרצאה ובתרגול. לעומת זאת, הכיוון השני אינו טריוויאלי כל כך. האם אפשר כיוון כלשהו ע"מ להוכיח את הכיוון השני?
+:כל סעיף 3 הוא בעצם על ליכסון ושילוש אוניטריים. תנסה למצוא שימוש בזה :)
+:: האמת שבסוף הצלחתי לבד לחשוב על איך לפתור את כל 3.23 בעזרת שימוש בלכסון/שילוש אוניטרי, הבעיה היא עכשיו התרגילים האחרים^^, אני אנסה לחשוב איך עוד לכסון אוניטרי יכול להיכנס. תודה;)
-מה הם הוקטורים הסטנדרטיים ב <math>C^n</math>? (כלומר e_1 לדוגמה, שווה ל <math>(1,0,..,0)</math> או למשהו אחר?)
+== תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס ==
-עריכה-עוד שאלה בנושא: האם ניתן להתייחס לוקטורים הסט' ei כוקטורי שורות? כי אם לא, אז יהיה חלק בתרגיל שיהיה קשה לביצוע, מכיוון שv הוא סכום של וקטורי עמודות, וכדי לכפול אותו במטריצה מימין יש להתייחס לשורותיו ולא לעמודותיו... תודה!
-:אני לא מתרגל, אבל לדעתי הרעיון בוקטרים מעל שדה הוא שיש לך, כמו שאמרת, את הוקטורים e1, e2, ... en מעל כל שדה, וזה שיש לך i לא אמור לשנות לך.
+מדובר על מ"פ סטנדרטית? V הוא כל מ"ו?
-::לא הבנתי...
+:זו המ"פ הסטנדרטית, ו-<math>V=\mathbb{C}^{n}</math>. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:11, 28 בדצמבר 2010 (IST)
-'''עדי:נכון מאוד. הכוונה שאתה יכול ליצור כל וקטור מרוכב מצרוף לינארי של e1,...,en כאשר i הוא אחר הסקלרים האפשריים.
+== משפט או לא? ==
-'''לגבי החלק השני, למה החלטת שאלו וקטורי עמודות? כמובן שאם דורשים <math>vAu^*</math> אז הוקטורים מוגדרים כך שהמכפלה ביניהם מוגדרת.
+שאלה: אם T ניתן לליכסון אוניטרי אז T צל"ע? (אם לא, אז האם יש עוד תנאי שיהפוך את T לצל"ע?)
-:פעלתי לפי הרמז, וכדי לחשב את האגף עם המטריצות, צריך לעשות את כפל A עם v משמאל- ולפי הרמז, צריך לכתוב את v כסכום של הוקטורים הסטנדרטיים, שבדרך כלל אנחנו '''מתייחסים אליהם כוקטורי עמודה''' ולא שורה, ולכן שאלתי אם אפשר הפעם להתחייס אליהם כוקטורי שורה. אם כן אפשר להתחייס אליהם כוקטורי שורה, אז נראה לי שצריך להשתמש בכפל שורה שורה כדי לבדוק את הכפל... לא?(ראי שאלה למטה).
+(צל"ע=צמוד לעצמו)
+:מעל הממשיים או המרוכבים? מעל המרובים יש לך את משפט הליכסון האוניטרי: T נורמלי אם ורק אם יש בסיס אורתונורמלי כך ש-<math>[T]_{B}</math> אלכסונית. ומעל הממשיים יש את משפט הליכסון האורתוגונלי: T ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם T צמוד לעצמו. בנוגע לתנאים נוספים שאת/ה מחפש/ת, על איזה תרגיל מדובר? אני מניח שיש תנאים נוספים שנתונים. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 11:31, 28 בדצמבר 2010 (IST)
-'''למה וקטור שורה כפול מטריצה הוא שורה שורה? עושים כרגיל שורה כפול עמודה ומקבלים שוב וקטור.
+::התרגיל הראשון בשיעורי בית 10. נתון שהע"ע שלו ממשיים, ושהוא נורמלי. (אבל מעל למרוכבים) אז מזה שהוא נורמלי אני יודעת שהוא ניתן ללכיסון אוניטרי (משפט הליכסון האוניטרי),  ועכשיו בזכות המשפט שנתת, משפט הליכסון האורתוגונלי (לא ידעתי שזה אם ורק אם), אפשר להגיד שהוא צל"ע ומ.ש.ל. אבל עוד לא הבנתי מה ההבדל בין ליכסון אורתוגונלי לאוניטרי, אז.. אני מחכה לתשובה למטה. תודה!
+== 3.27 ==
+אפשר רמז?
+'''עדי: היזכר בתצוגה של מספר מרוכב ע"י המספר e
+== ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי ==
+מה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אורתוגונלי"?
+ומה ההגדרה של "מטריצה A ניתנת לליכסון אוניטרי"?
+ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן לליכסון אורתוגונלי"?
+ומה ההגדרה של "אופרטור T ניתן ליכסון אוניטרי"?
+ובמיוחד, מה ההבדל בין ליכסון אוניטרי לאורתוגונלי באופרטורים?
+'''עדי: מטריצה ניתנת לליכסון אם היא דומה לאלכסונית.
+'''אופרטור ניתן לליכסון אם קיים בסיס ו"ע (כלומר בסיס כך שהמייצגת אלכסונית)
+'''ליכסון אוניטרי הוא מיקרה פרטי בו הבסיס (או המט' המלכסנת) אוניטרי
+'''אורתוגונליות היא אוניטריות מעל הממשיים
-*[[מדיה:דוגמא.pdf|דוגמא]]
 :תודה!
-== כפל שורה שורה ==
+== בילבול קטן ==
-מישהו יכול בבקשה לרשום את החוק "כפל שורה-שורה"? (אם אני זוכר נכון יש לו 2 סעיפים). אני לא מצליח למצוא אותו בשום מקום. תודה!
+צילמתי איזה דף מההרצאה וכתוב בו ש-<math>[T^*]^E_F=([T]^F_E)^*</math>. זה לא אמור להיות <math>[T^*]^E_F=([T]^E_F)^*</math>?
+:לא, כתוב נכון. הרי אם T העתקה מ-V ל-W אז ההעתקה הצמודה היא מ-W ל-V. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
+::אה לא חשבתי על זה ככה, תודה!
-'''בקשר למה זה?
+== בקשר לסקר ההוראה ==
-:חשבתי לנסות להשתמש בזה בתרגיל 1.9, בכפל v עם A.
-'''אז למה שורה-שורה? תפעל לפי הרמז, לפני שאתה ניגש לפיתרון היזכר מה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור שורה <math>e_i</math> משמאל ומה משאירה מכפלה של מטריצה בוקטור עמודה <math>e_j</math> מימין.
+כתוב לי: מרצה- "אוהד נבון" (שהוא היה מתרגל בכלל. המרצה שלי הוא ד"ר צבאן).
+:גם מתרגלים נכללים בסקר ההוראה ורשומים כמרצים (תחשוב על זה כאילו הם מרצים את התרגול). כדי להצביע לד"ר צבאן לחץ בתפריט שבצד שמאל על שמו. אגב, שמו של אוהד לא התעדכן לשמו של דורון... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+== תרגיל 11 ==
-== שאלה 1.13 ==
+אני יודע שנזכרתי קצת מאוחר אבל אין תרגיל מספר 11?? להגשה היום 4.1.11 ??
+:תרגיל 11 הועלה היום (04.01) והוא להגשה ליום שלישי הבא (11.01). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:26, 5 בינואר 2011 (IST)
-השאלה אומרת שיש שלושה וקטורים שבמכפלה פנימית עם עצמם שווים ל- 1- ועם אחד מהאחרים שווים ל- 3. צ"ל שסכומם הוא אפס.
+== תרגיל 11 שאלה 7 ==
-הכוונה בתרגיל היא שיש מרחב מכפלה פנימית שפועל כך או שאלו ארבע וקטורים מיוחדים במכפלה הסטנדרטית שמקיימים את התנאים? או אלי בכלל אנחנו לא יודעים על איזו מכפלה סקלרית מדובר וצריך להוכיח רק לפי ההגדרות?
-תודה מראש!
+אנא שימו לב כי שאלה 7 בתרגיל 11 שונתה (ראו הודעה בעמוד הראשי). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 01:37, 5 בינואר 2011 (IST)
-'''עדי: לא עבור מכפלה ספציפית. עבור מ"פ כלשהי על 4 וקטורים ספציפיים. כן,לפי הגדרות.
+== תרגיל 11 שאלה 1 ==
-== 1.13 ==
+כמה שאלות:
+האם A נילפוטנטית?
+אנחנו יודעים את הסדר (גודל) של A?
+ואפשר אולי קצת עזרה לגבי איך פותרים, כי לא נראה לי שהבנתי?
+תודה רבה מראש
+:א. לא נתון כי A נילפוטנטית (ואכן לפי הסתכלות על הפולינום האופייני את/ה יכול/ה לראות שהיא בהכרח לא נילפוטנטית - למטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד והוא 0).
-אפשר רמז לתרגיל 1.13? אין לי מושג מאיפה להתחיל בכלל...
+:ב. לא נתון הסדר של A, אבל אפשר להסיק אותו בקלות מהפולינום האופייני: הדרגה של הפולינום האופייני הוא הסדר של המטריצה, למשל ב-א' המטריצה היא 5 על 5, ב-ג' 7 על 7 וכו'.
-: תנסה לחשב את המכפלה הפנימית של סכום ארבעת הוקטורים ;)
-::ווואי פתאום זה כל כך קל! תודה רבה!!!
-::: בכיף ;)
-== הרצאה ותרגול בחנוכה ==
+:ג. עשינו המון דוגמאות מאוד דומות גם בתרגול האחרון וגם בזה שלפניו, אני ממליץ לעבור על החומר של שני התרגולים האחרונים, במיוחד השאלות שבהן נתון הפולינום האופייני והפולינום המינימאלי ומהם צריך להסיק את צורת ג'ורדן (או צורות ג'ורדן האפשריות). ממש בקצרה: צריך לעבוד עבור כל ע"ע בנפרד. הריבוי האלגברי שלו יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו. החזקה המתאימה בפולינום המינימאלי תהיה הגודל של הבלוק ג'ורדן המקסימלי (עבור ע"ע זה), וכל שאר הבלוקים יהיו מגדלים קטנים או שווים לגודל של הבלוק הזה.
+:[[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
+::תודה רבה!!; אבל התכוונת שב-א' המטריצה היא מגודל 4 על 4 (כי הפ"א הוא (x-2)^2*(x-3)^2 )?
+::ועוד שאלה קטנה: מה זה אומר "הר"א שלו (של הע"ע) יהיה הגודל של המטריצה המתאימה לו"? תודה!
+:::קודם כל כן, התבלבלתי, המטריצה היא באמת 4 על 4. בנוגע לריבוי האלגברי: מטריצת ג'ורדן מורכבת מבלוקי ג'ורדן. לערך עצמי מסוים יכול להתאים יותר מבלוק ג'ורדן אחד. סה"כ הסדר של המטריצה שהיא הסכום הישר של כל בלוקי הג'ורדן עבור ערך עצמי מסוים, שווה לריבוי האלגברי של אותו הערך העצמי. למשל אם יש ערך עצמי 7 עם ריבוי אלגברי 11, זה אומר שבצורת ג'ורדן יש (בין היתר) מטריצה 11 על 11 שמורכבת מבלוקי ג'ורדן שיש לכולם 7 על האלכסון הראשי. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
+== תרגיל 11 - שאלה 5 ==
-האם יתקיימו הרצאה ושיעור תרגול בחנוכה?
+אני לא כ"כ מבין איך אפשר לפתור את השאלה, הרי הבסיס הציקלי v, Tv  הוא מגודל 2 והמט' P אמורה להיות מגודל 3 על 3.
-:לקבוצה של ד"ר צבאן לא יתקיימו שיעורים בלינארית בכלל, רק התרגול באינפי שנקבע מולנו. [[משתמש:Gordo6|גל]]
+:נכון, כי עכשיו צריך להשלים אותו לבסיס של KerA ומשם לקבל את הוקטור השלישי (כמו שעשינו בדוגמא האחרונה או הלפני אחרונה בתרגול האחרון). [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 03:18, 6 בינואר 2011 (IST)
+::הבהרה: רק את הבסיס של ImA (כלומר רק וקטור אחד) משלימים לבסיס של KerA (כלומר את/ה לוקח/ת את Av ומשלימ/ה אותו לבסיס של KerA שצריך להכיל שני וקטורים. נניח קיבלת וקטור נוסף w שהוא בבסיס של KerA - אז סה"כ עמודות המטריצה P הן הוקטורים v, Av, w). כאמור אני ממליץ להסתכל בדוגמא האחרונה שעשינו בתרגול האחרון, היא מדגימה בדיוק את התהליך הזה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 06:05, 6 בינואר 2011 (IST)
-'''עדי: בעיקרון זה תלוי בהספק שלנו בתירגול הקרוב אבל כפי שנראה כרגע לא, רק בוחן ב9/12.
+== תרגיל 11 - שאלה 2 ==
+מזאת אומרת שצורת ג'ורדן נקבעת באופן יחיד ע"י הפ"א והפ"מ ?
+:(לא מתרגל)- מוזר, למדנו בדיוק ההפך- שצורת ג'ורדן לא נקבעת באופן יחיד, אלא אפשר לקבל כמה צורות ג'ורדן ע"י שינוי סדר האיברים!
-== עבודת ההגשה לחנוכה ==
+(לא מתרגל)- נכון שלמדנו את זה, לכן השאלה מדברת על מקרה פרטי שבו זה מתקיים. לכן גם השאלה לאחר  מכן היא דוג' לכך שזה לא תמיד נקבע באופן יחיד. "נקבעת באופן יחיד" אומר שבהינתן (/או לאחר מציאת) פ"א ופ"מ יש רק אפשרות אחת לצורת ג'ורדן עבור המטריצה.
+:מה שענה ה"(לא מתרגל)" השני מדויק. תודה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
-איפה היא? לא מצאתי אותה בעמוד הראשי, למרות שכתוב שהיא נמצאת שם. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 18:56, 25 בנובמבר 2010 (IST)
+::וברור שאפשר לשנות את סדר הבלוקים, אבל זה עדיין נחשב שהיא נקבעת באופן יחיד (עד כדי סדר).
-'''בתרגילים
+== תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות) ==
-== 1.9- הבהרה ==
+האם אפשר ישר לכתוב את צורת הג'ורדן של המטריצות או שצריך לפרט בכל סעיף איך הגעתי לצורה? תודה!
+:חייבים לפרט. כמובן בגבול הסביר, כלומר רק מה שרלוונטי לחומר של צורת ג'ורדן. למשל אם צריך למצוא מטריצה הפכית של מטריצה נתונה, לא צריך להראות את החישובים. אפשר פשוט לרשום מה ההפכית (מבחינתי אפשר להשתמש ב-Matlab למצוא את ההפכית). אבל כן צריך לפרט מה שרלוונטי לחומר של התרגיל הזה: צורת ג'ורדן היא כזו כי בפולינום המינימאלי יש .. וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 23:01, 6 בינואר 2011 (IST)
+== תרגול 11 ==
-האם הכוונה ב- <math>e_{1},...,e_{n}</math>  היא לווקטורי הבסיס הסטנדרטי?
+שלום רב,
-'''כן
+בתרגול 11 '''שאלה 4''' נכתב ש-<math>J=J_{14}(x)</math>, לאחר מכן נתונים על <math>J-xI</math> ואז אנחנו נשאלים כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר יש '''ב-<math>J</math>'''. אבל <math>J</math> היא לא מטריצת ג'ורדן ולכן צורת הג'ורדן שלה היא עצמה (ולכן יש בה בלוק אחד מסדר 14)? למה הנתונים על <math>J-xI</math>?
-== שאלה חשובה לגבי 1.9 ==
+תודה מראש, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-אפשר בבקשה מהם הוקטורים הסטנדרטיים בC^n במפורש? זה חשוב, כדי צריך לדעת מהם הצמודים להם. לדוגמה, אם הוקטורים הסט' בC הם כמו בR, כלומר <math>e1=(1,0,..)</math> וכו', אז הצמוד של זה הוא הוקטור עצמו, אבל הוקטור הסט' בC הוא <math>e1=(1+i,0,..)</math> אז כבר הצמוד של זה הוא משהו אחר. תודה מראש
+:אני מניח שהכוונה בשאלה היא שהמטריצה J היא צורת ג'ורדן, כלומר סכום ישר של בלוקי ג'ורדן, עבור הע"ע למדה. ואנו צריכים למצוא כמה בלוקי ג'ורדן מכל סדר מרכיבים את J. בכל זאת אשמח אם אחד המתרגלים יאשר או יתקן. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 20:15, 7 בינואר 2011 (IST)
+::כן, זו הכוונה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
+== תרגיל 11 ==
+דורון, אמרת שתעלה את התרגיל שלא הספקת לעשות בשיעור, וגם את התרגיל שלפניו לאתר. נשמח אם תעלה כי זה יעזור לנו לפתור את שיעורי בית.
+דבר שני, כשצריך למצוא צורת ג'ורדן ומטריצה הפיכה P כך ש (...) כמו בשאלה 5- אני רוצה לוודא- אפשר פשוט לקחת את V להיות וקטור כלשהו, נגיד (1,0,0), לחשב את Av, ו A^2v, וכך הלאה, לשים את הוקטורים האלה בעמודות P ואז המכפלה של P הופכית, A,P אמורה לתת את צורת הג'ורדן?
+ומה קורה אם יצא לי ש A^2v שווה וקטור האפס?
+תודה!
+:דבר ראשון: אני לא מעלה את התרגיל שלא הספקנו בסוף שיעור אחרון בגלל שנעשה אותו בתחילת שיעור הבא (בגלל זה שינינו את שאלה 7 - בשביל שתוכלו לפתור את תרגיל 11 גם בלי התרגיל שלא הספקנו). בנוגע לתרגיל שלפניו - בסדר, אני אשתדל להעלות סיכום שלו עד מחר. דבר שני: לא צריך לבחור וקטור v אקראי, אלא וקטור ככה ש-A^2v יתן לך בסיס ל-ImA^2 (בהנחה שמימד ImA^2 הוא 1). אם קיבלת ש-A^2v=0 אז הוא לא מהווה בסיס לכן הבחירה שלך של v לא היתה טובה. כמו כן צריך לזכור שאחרי שמחשבים זאת צריך להמשיך להשלים את הבסיס עד שמקבלים בסיס ל-Ker. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
+::ואיך מוצאים בסיס ל-ImA^2? ומה אם מימד ImA^2 הוא לא 1? וגם, מתי, איך ומה משלימים כדי לקבל בסיס ל-Ker?
+::ועוד שאלה: נגיד לוקחים V רנדומלי ומוצאים ש Av, A^2v לא אפס. האם זה בסדר או שאי אפשר להסתמך על זה?
+::ושאלה אחרונה: אם A^2v חייב להיות אפס בגלל ש A בריבוע היא אפס- מה עושים? אף v שנבחר לא יתן לנו משהו שונה מאפס...
+::תודה רבה!
+:::(לא מתרגלת) בקשר לשאלה האחרונה, אתה מתייחס רק לv ולAv,ואז אתה משלים לבסיס של הגרעין, ומשלושת הוקטורים האלה מקבלים מטריצה P הפיכה.
+::::1. זה פתרון מערכת משוואות לינאריות. אם המימד הוא לא 1, אלא למשל 2, אז צריך למצוא שני וקטורים בבסיס. מתי משלימים לבסיס של הגרעין? כמעט תמיד, כמו שראינו בתרגול. הפעמים היחידות שלא תצטרכו להשלים הן כאשר ImT=KerT (למשל מטריצה 2 על 2 עם דרגה 1). תמיד אפשר להשלים כי <math>ImT \subset KerT</math>  . כמו כן שימו לב כי לא תמיד משלימים ישירות את <math>ImT^{n}</math> ל-KerT, הרבה פעמים יש שלבים באמצע, זה תלוי בדרגת הנילפוטנטיות של המטריצה. אם המטריצה נילפוטנטית מסדר 2 כלומר <math>A^2=0</math> אז אין שלבים באמצע.
+::::2. כל וקטור שונה מאפס מהווה בסיס למרחב וקטורי ממימד 1. לכן אם את/ה יודע/ת שהמימד הוא 1 (למשל ע"י בדיקת ה-rank) אז מספיק לעשות מה שרשמת.
+::::3. אם A^2v חייב להיות אפס כי A^2 היא אפס, זה אומר שסדר הנילפוטנטיות הוא 2 ואז למה את/ה מחפש/ת בסיס ל-ImA^2? את/ה צריכ/ה לחפש בסיס ל-ImA.
+::::4. העלתי את התרגיל האחרון שעשינו בכיתה (ראה למטה), אולי זה יעזור. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:32, 9 בינואר 2011 (IST)
-'''עדי:
+== שאלה 6 ==
-''' <math>(1+i,0,..)=(1+i)e_1</math>
-'''כלומר הם הוקטורים הסט' הרגילים עם מקדמים מעל שדה המרוכבים
-:ז"א שהצמוד של e1 שווה לe1, נכון?
-'''כן, באופן כללי הצמוד של <math>ke_i</math> הוא הצמוד של k כפול <math>e_i</math>.
+לא הבנתי איך אפשר לבדוק ש הפ"א של A הוא (x-9)^5. אפשר קצת עזרה בנושא?
+תודה מראש
+:תציב את A בפולינום ותבדוק אם הוא מאפס אותה. בנוסף הוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה
+::לדעתי פולינום אופייני הוא לא כל פולינום שמאפס את המטריצה, ושהוא מתוקן ממעלה ששווה לסדר המטריצה. אני טועה?
+:אם לא היה נתון הרמז: אפשר לחשב פולינום אופייני כמו שאתם מכירים, מגיעים לפולינום ממעלה 5. אפשר לנסות לפרק אותו לגורמים (לבדוק אם יש שורשים רציונליים, כלומר במקרה זה מספרים שלמים המחלקים את המקדם החופשי), ואז לבצע חילוק פולינומים. אבל זו הרבה עבודה, ולכן נתון הרמז. וכיוון שנתון הרמז: מספיק לפתוח סוגריים בביטוי <math>(x-9)^5</math> ולראות שמקבלים את הביטוי שחושב לפי הדטרמיננטה. אבל מעבר לזה, תחסכו לעצמכם את כל העבודה הזו: הכוונה היתה פשוט שתרשמו שנתון שזה הפולינום האופייני. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:30, 8 בינואר 2011 (IST)
+::תודה. אתה בטוח שזה בסדר אם רק את הפ"א בלי לחשב אותו?
+:::כן, אתם יכולים להתייחס לזה כנתון בשאלה. נתון כי זה הפ"א. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:00, 8 בינואר 2011 (IST)
-'''למה זה רלוונטי לשאלה זו?
+== שאלה על הוכחה מההרצאה ==
-:כי בחישוב של u כוכבית הייתי צריך לחשב את הצמודים של הוקטורים הסט'- לא משנה- הסתדרתי- תודה רבה
-== שאלה 1.6 ==
+למה כדי להוכיח ש V=U(+)W (סכום ישר), מספיק להוכיח שהחיתוך בין U לW הוא 0, וש dimV=dim(U+W)? ברור שצריך להוכיח שהחיתוך הוא אפס, אבל איך זה שבשביל להוכיח את הסכום מספיק להוכיח שוויון בין המימדים? תודה
+:מתישהו בלינארית 1 הוכחתם שאם B תת-מרחב של A כך שהמימד של B שווה למימד של A אז A=B. במקרה זה אם המימד של U+W שווה למימד של V אז U+W שווה ל-V. אם בנוסף החיתוך שלהם הוא 0, אז הסכום הוא ישר. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:37, 8 בינואר 2011 (IST)
+::תודה רבה!
-האם בשאלה 1.6 אפשר למצוא את ערכי אלפא בתלות ב-<math>x_1, x_2</math> מהם בנויים הוקטורים (לדוגמה מהצורה <math>\alpha=(x_1+x_2)/(x_1*x_2)</math>, או שחייבים למצוא ערך מספרי (לדוגמה מהצורה <math>\alpha=3</math>)? תודה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+== תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון ==
-:{{לא מתרגל}} ל-<math>\alpha</math> חייב להיות תחום קבוע. מכפלה פנימית מוגדרת לכל <math>v\in\mbox{dom}(\langle\ ,\ \rangle)</math> (<math>\langle\ ,\ \rangle</math> היא פונקציית המ"פ), כלומר לכל <math>(x_1,x_2),\ (y_1,y_2)</math>. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 23:08, 29 בנובמבר 2010 (IST)
-==רמז ל 1.6==
+לבקשתכם, העלתי את התרגיל האחרון שפתרנו בכיתה בתרגול האחרון בנוגע לצורת ג'ורדן של מטריצה לא נילפוטנטית בעלת ערך עצמי יחיד. הוא נמצא בעמוד הראשי בהודעות של התאריך 04.01.2011. לחילופין קישור ישיר [[מדיה:Linear2-Hashlama-Targil.pdf|כאן]]. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 19:19, 9 בינואר 2011 (IST)
+:תודה! יש לי שאלה על זה: כתבת בהערה שיש דרך הרבה יותר קלה למצוא את צורת ג'ורדן. האם יש דרך קלה יותר למצוא את צורת ג'ורדן, וגם למצוא את P המג'רדנת? כי עד כמה שאני יודע השיטה עם הפ"א והפ"מ עוזרת רק למצוא את צורת הג'ורדן...
+:שאלה אחרת, חכמה יותר: אם יש לי 2 מטריצות דומות, האם יש אלגוריתם קל, ואם כן מהו, לגלות מטריצה P המדמה ביניהן (AP=PB) ?
+::לשאלה הראשונה: יש דרכים שמקצרות את מציאת P המג'רדנת, אבל (לפי מיטב הבנתי) בכולן יש עבודה לעשות, כלומר הן לא מקצרות יותר מדי. ובנוגע לשאלה השניה: אם היה אלגוריתם קל כזה, אז בהינתן צורת הג'ורדן J היית יכול/ה למצוא באמצעותו את המטריצה המג'רדנת P, ואז היתה לך תשובה גם לשאלה הראשונה. התשובה שלי היא שאני לא באמת יודע, אבל הניחוש שלי הוא שאין שיטות מאוד טובות, כלומר שמשפרות משמעותית את השיטה ה"רגילה" שלמדנו. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 22:03, 10 בינואר 2011 (IST)
+== תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות ==
-'''אתם יכולים להשתמש בטענה המוצגת ב 1.7:
+איך יודעים באיזה סדר לשים את הוקטורים שקיבלנו במטריצה P?
-'''<math><v,u>:=vAu^t</math> היא מ"פ
+:לפי מה שאני יודעת, (לא מתרגלת) זה לא משנה, רק חשוב שתשמור על אותו הסדר עבור <math>P^{-1}</math>.
-'''אמ"מ
-'''<math>A=A^t</math> , <math>a_{11},a_{22}>0</math> , <math>|A|>0</math>.
+::אבל כבר בכמה תרגילים הצלחתי רק כאשר הוקטורים היו בסדר מסוים (לעומת סדר אחר עם אותם הוקטורים..). והנסייונות די מייגעים למען האמת...
-===שאלה לגבי הרמז===
+:::הסדר משמאל לימין הוא כמו הסדר בשרשרת <math>ImT^{k-1} \subset ImT^{k-2} \cap KerT \subset \ldots \subset \ldots \subset KerT</math> משמאל לימין. ובכל מרחב בפני עצמו, שמים קודם כל (משמאל לימין) את הוקטורים מהצורה T^nv וכו' ואז את הוקטורים ש"מושכים" אחורה: קודם T^2v ואז Tv ואז v וכו'. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:52, 10 בינואר 2011 (IST)
-יכולים זה "יכולים בלי בוכחה" או "יכולים אבל דרוש הוכחה"?
-אפשר להשתמש בזה בלי הוכחה
+== שאלה על ג'רדון ==
+למה שמים גם את v, הוקטור שאיתו חישבנו בסיס ל imA, במטריצה P (כאשר בהוכחת המשפט השרשרת מכילה רק im וker?
+:גם בהוכחה זה ככה. בכל שלב "מושכים אחורה" את כל הוקטורים. מה שעשינו בתרגול זה בעצם הדגמה של ההוכחה. [[משתמש:דורון פרלמן|דורון פרלמן]] 21:54, 10 בינואר 2011 (IST)
-==שאלה 1.4==
+== בקשה - שיעור שלא העתקתי ==
-סעיף ב': לא הבנתי איך מחשבים מכפלה פנימית של מטריצות ומה הקשר לתרגיל 1.1(ג)?
-סעיף ג': לא הבנתי איזה מ"ו זה ומעל איזה שדה? מה הקשר ל1.1(ד) ומה הם a,b?
-:יועיל לך לעיין [[#תיקונים בחוברת של ד"ר צבאן|כאן]]. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 22:28, 29 בנובמבר 2010 (IST)
+שלום, לא הספקתי להעתיק או לצלם את שני השיעורים האחרונים באלגברה לינארית 2 עם בוריס. בבקשה, אם מישהו יכול לסרוק את השיעורים של ה-9.1.11 וה-11.1.11, זה יעזור לי מאוד!
-      אההה חחח.. עכשיו הכל מסתדר לי! תודה (:
+אני יכולה לסרוק כל שיעור אחר שתבקשו, מאינפי 1 עם שיין והתרגול של אדוארד או אלגברה לינארית 2 עם בוריס והתרגול של עדי.
-אני יודע מה זה צמוד של מספר מרוכב אבל מה זה צמוד של מטריצה ושל פולינום???
+מקווה שמישהו יענה לבקשה, תודה מראש.
-:{{לא מתרגל}} הצמוד של פולינום הוא <math>\forall x:\ \bar f(x):=\overline{f(x)}</math>. הצמוד של מטריצה A, שיסומן B, מקיים <math>\forall i,j:\ b_{i,j}:=\overline{a_{i,j}}</math>. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]]<sup>[[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]]</sup> 23:13, 29 בנובמבר 2010 (IST)
-::הבנתי את ההצמדה של מטריצות אבל לא את מה שרשמת על פולינום, את יכולה לתת לי דוגמא אולי? למשל אם יש לי את הפולינום שבתרגיל X-2 מה זה הצמוד שלו?
-::: הצמוד של פולינום מתקבל מהצמדת כל המקדמים שלו (ללא שום קשר למשתנה). למשל, הצמוד של הפולינום <math>\ f(z) = z^2 - (1+i)z + 3i</math> הוא <math>\ \bar{f}(z) = z^2 - (1-i)z - 3i</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 22:14, 30 בנובמבר 2010 (IST)
-== שאלה 1.9 ==
+(את הסריקות אפשר לשלוח גם לדוא"ל שלי: ella10004@walla.com)
-בסעיף ג' די להביא דומא נגדית - אני לא טועה?
-ואם כן אז עבור A=A* אפשר להביא סתם מטריצה לא כזו שאיבריה הם מ"פ??
-== בקשת הבהרה ==
+:אני מהקבוצה של צבאן, אבל אם תסתכלי בדף הראשי של הקורס, ד"ר צבאן העלה סיכום לגבי כל הנושא של בלוקי ג'ורדן, עם כל המשפטים + ההוכחה להם.
+::תודה, ובכל זאת, אם למישהו יש את ההרצאות במלואן זה יעזור לי מאוד! בבקשה..?
-שלום רב,
+== המבחן ==
-אבקש להבהיר עמכם את הנושאים הבאים:
-*'''עבודת המרצים לחנוכה''' - כתוב הגשה בתאריך 13/12 אבל זהו יום שני בו אין לימודים בקורס. האם כוונתכם היא שיש להגישה ב-12/12 (יום א) או 14/12 (יום ג)?
-'''ב14/12 זה בסדר
-*'''השלמה לתרגול 8''' - כוונתכם שהתרגול הוא מהתאריך 30/12 ולא כפי שאמור להיות כתוב (30/11)...
-'''תוקן
-*'''הבוחן''' - בקטע של הוכחת המשפטים - האם ייתכן משפט מלינארית 1 או שרק מלינארית 2? אותו כנ"ל עבור הקטע של שאלות משל שיעורי הבית (האם תתכנה שאלות גם מהשיעורים שניתנו לנו בלינארית 1?) ושל שאלות מהמבחנים באתר של ד"ר צבאן (האם תתכנה שאלות ממבחן בלינארית 1, או שאלות שמצויות במבחן בלינארית 2 אך קשורות רק לחומר שנלמד בלינארית 1?). עם זאת אבקש להבהיר שכוונתי בשאילת השאלה הזו היא לא האם עליי ללמוד/לא ללמוד את החומר מלינארית 1, שהרי ברור לי שהחומר בקורס זה מבוסס עליו...
-''' משפטים ותרגילים מקורס זה, שאלה מהמבחנים:יכול להופיע תחת כותרת "לנארית 1"או "לנארית 2" ובלבד שזה חומר הנלמד בקורס זה (וממילא כפי שאמרת מבוסס על חומר קודם)
-תודה רבה, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+האם ידוע מבנה המבחן? אפשר להגיד פרטים חשובים להתכוננות למבחן- כמו האם יהיה במבחן שאלות על הוכחות של משפטים? יהיו דברים חישוביים או רק מופשטים? וכדומה? תודה
+:לגבי מבנה המבחן: תסתכל בדף הראשי של הקורס, שם מופיע "הדף הראשון של המבחן" ובו הסבר על מבנה הבחינה (קישור: [http://math-wiki.com/images/7/7a/LA.pdf דף ראשון מועד א]). לגבי הוכחת משפטים - אני לא יודע. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-== שאלה על סכום ישר של תת מרחבים ==
+== משפט פיתגורס ==
-בעבודה לחנוכה, כשהגדרתם סכום ישר של תת מרחבים, כל מה שאמרתם זה שהחיתוך של תתי המרחבים (בזוגות) הוא וקטור האפס, כלומר הסברתם רק את החלק של ה-"ישר" ב-"סכום ישר". אבל מה בכלל זה אומר "סכום" של תת מרחבים? מצאתי לזה כמה הגדרות שונות אז אני רוצה להיות בטוח. תודה
+בהרבה הוכחות, למשל בהוכחה לאי שוויון קושי שוורץ ואי שוויון בסל, צבאן כתב:
+" ממשפט פיתגורס: <math>||v||^2=|<v,u/||u||>|^2+|<v,v'>|^2</math> " (כאשר במקרה הזה u/||u||, v' בא"נ). ממש לא הבנתי איך אפשר להסיק את זה ממשפט פיתגורס. תודה!
-===תשובה===
+'''אם  u/||u||,v  א"נ אז  <math><v,u/||u||>=0</math>
-סכום של שני תתי מרחבים מוגדר באופן הבא: <math>U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}</math>. כלומר, כל הסכומים האפשרים בין וקטור מU לוקטור מW. אומרים שהסכום בין U וW הוא ישר, אם החיתוך ביניהם הוא אפס (כפי שאמרת) ואז מסמנים <math>U+W=U\oplus W</math>.
+:אה, הLATEX יצר טעות, בחלק מהמקרים יש V עם גל למעלה, שיניתי אותם עכשיו ל 'V כדי שיהיה אפשר לראות אותם.
-על מנת להוכיח ש<math>V=U\oplus W</math> יש להוכיח ששני התנאים הבאים מתקיימים:
+''' אז מי זה v, כתבתם זאת לכל v? או ש <math>v=v'+u/||u||</math>
+תרשום את כל המשפט.
+:אוקי. כל מה שנתון הוא ההנחה למקרה הזה שבו u,v בת"ל. מתחילים מהקבוצה <math>{u/||u||}</math> שהיא א"נ, משלימים אותה לבא"נ של sp{u,v},  <math>B={u/||u||,v'}</math>. ואז "ממשפט פיתגורס"- המשוואה שרשמתי, וממנה ההוכחה לאי"ש קושי שוורץ.
-. <math>U \cap W = \{0\}</math>
+== משפטים/טענות למבחן ==
-. <math>V=U+W</math>
+האם צריך לדעת את '''כל''' המשפטים/טענות או שיש רשימה מצומצמת יותר?
---[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:36, 2 בדצמבר 2010 (IST)
+:'''זו שאלה למרצים
+:{{הערה|(סטודנט אחר):}} אתה מתכוון כמו במיקוד?
+::אכן
+== {{הערה|(מתוך [[88-113 סמסטר א' תשעא|דף הקורס]]):}} התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה.  ==
-:בנוסף, נכון לומר ש U+W הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל גם את U וגם את W (קל לראות שזה נכון מתוך סגירות לחיבור) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:37, 2 בדצמבר 2010 (IST)
+כבר הוחלט משקל התרגילים מהציון הסופי (זה לא כתוב בדף הקורס)? תודה.
-::תודה!
+'''בימים הקרובים
+== מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים) ==
+שיעור החזרה של המתרגלים יהיה במתכונת שאלות ותשובות או שאלות שהמתרגלים מביאים? תודה
+'''אני אפתור מבחן המייצג את החומר הנלמד אצלכם וששאלותיו הופיעו בקבוצת הדיון במהלך הזמן
+== לכסון אורתוגונלי ==
+שלום,
+אני זוכר שבתחילת הקורס היה בדף הראשי של האתר אלגוריתם עם דוגמה ללכסון אורתוגונלי, ועכשיו אני לא מוצא אותו (זה חשוב כי אני לא מבין בכלל את הנושא). אפשר אולי להעלות אותו שוב? תודה!
+[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9C%D7%9B%D7%A1%D7%95%D7%9F_%D7%90%D7%95%D7%A8%D7%AA%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A0%D7%9C%D7%99 לכסון אורתוגונלי]
+[http://www.math-wiki.com/images/8/85/09Linear2Triangulation.pdf שילוש אורתוגונלי]
+== שאלה מתרגול ==
+אפשר עזרה בפתרון שאלה מהחוברת- שאלה 3.26 בפרק של אופרטורים מיוחדים: T צל"ע, x1,..xn ע"ע של T. הוכח: א. לכל v מתקיים <Tv,v> > אפס אם ורק אם xi>0 לכל i (גדול שווה ב2 המקרים לא גדול). ב. אגף ימין כנ"ל גורר שקיים S צל"ע כך ש S^2=T. תודה!
+'''צל"ע=>נורמלי=>יש ליכסון אורתונ'. כעת יישם את <math><Tv,v> >=0</math> עבור הבסיס המלכסן האורתונ'.
+'''ב-ב', התבונן בשורשי הערכים העצמיים של T
+== מט' נילפוטנטית ==
+למה אם מט' שהע"ע היחיד שלה הוא 0 היא נילפוטנטית?
+תודה!
+'''אנחנו נפתור את זה היום. שים לב שזה נכון למט' מעל המרוכבים, מה שמעיד כי הפ"א שלה ממ"פ ולכן שלישה
+:תודה (כבר לא צריך תשובה כי עשינו בתרגול)
+== מה זה "דרגה דטרמיננטית"? ==
+יש לי את ההגדרה במחברת, אבל לא ממש הבנתי אותה ואת המשפט הקשור וההוכחה שלו (שהדרגה הדטרמיננטית שווה לדרגה של המטריצה).
+:לא משנה, הבנתי.
+== שאלה למתרגלים ==
+האם תפרסמו את פתרונות תרגילים 11 ו-12 עוד לפני המבחן?
+בתודה רבה!
+== דימיון בין מטריצות מייצגות ==
+למה המטריצה המייצגת של T לפי בסיס B1 דומה למטריצה המייצגת של T לפי בסיס B2? מהי מטריצת הדימיון? ולמה עיבוד הנוסחה נכשל כשאני מנסה לכתוב את זה מתמטית?
+== למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה? ==
+לא הבנתי את ההוכחה שכתובה לי, אשמח להסבר או הוכחה ברורה.
+:{{לא מתרגל}} הוכחה אפשרית: תהא <math>A\in\mathbb F^{n\times n}</math> ויהיו <math>\lambda_1,\ \dots,\ \lambda_n</math> הערכים העצמיים שלה. אזי <math>\lambda_1\cdot\dots\cdot\lambda_n=(-1)^n(0-\lambda_1)\cdot\dots\cdot(0-\lambda_n)=(-1)^n p_a(0)=(-1)^n |0I-A|=|A|</math>. (בגלל תקלה זמנית אי אפשר לראות את הנוסחאות כמו שצריך. חכה לתיקון או העתק אותן לוויקיפדיה (מבלי לשמור)).
+::הוכחה מאוד יפה! תודה.
+::רגע, אבל אם הפולינום האופייני לא מתפרק לגורמים לינאריים, אז <math>P_A(0)</math> הוא לא מה שכתבת שהוא... לא?
+:::{{לא מתרגל}} לא בדיוק, כי המשפט מדבר מלתחלחילה על מטריצה שכל הע"ע שלה ב-<math>\mathbb F</math>. למשל ל-<math>\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}</math> אין ע"ע ב-<math>\mathbb R</math> (ולכן בוודאי שמכפלתם אינה הדטרמיננטה), אבל בסגור האלגברי שלו (<math>\mathbb C</math>) הע"ע הם <math>\pm i</math>, ומכפלתם שווה לדטרמיננטה.
+== למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T? ==
+ניסיתי וניסיתי ואני פשוט לא מבינה את ההוכחה:
+"נניח ש-T לכסין. ז"א קיים בסיס {v_1,v_2,...,v_n} כך שמטריצה A של T ביחס לבסיס זה לכסינה, ז"א: C^{-1}AC=D, כאשר D מטריצה אלכסונית. נעבור מבסיס {v_1,v_2,...v_n} לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} (בעזרת מטריצת המעבר C). מטריצה D של T ביחס לבסיס {v'_1,v'_2,...,v'_n} היא אלכסונית: T(v'_1)=Dv'_1=z_1v'_1 , ... , T(v'_n)=Dv'_n=z_nv'_n. לכן D היא מטריצה אלכסונית עם z_1,...,z_n על האלכסון.
+את כל החלק מאז שעוברים מבסיס אחד לאחר (כולל) - לא הבנתי.
+בבקשה עזרה!!
+:יהי אופרטור T על V, נניח כי T לכסין, כלומר קיים בסיס B של V כך ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> מטריצה אלכסונית. נסמן
+{B={v1,....,vn , אזי כיוון ש <math>{\left[ T \right]_B}</math> אלכסונית:
+<math>{\left( {{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B},...,{{\left[ {T{v_1}} \right]}_B}} \right) = {\left[ T \right]_B} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
+{{\lambda _1}}&0&0\\
+& \ddots &0\\
+&0&{{\lambda _n}}
+\end{array}} \right) = \left( {{\lambda _1}{e_1},...,{\lambda _n}{e_n}} \right)}</math>
+(אני רואה שזה לא עובד אז אני אנסה להסביר: כל עמודה ב<math>{\left[ T \right]_B}</math> היא מהצורה Tv_i]B] וכיוון שהיא אלכסונית היא שווה לעמודה מהצורה , ae_i ולכן Tv_i=av_i , משמע v_i וקטור עצמי של T, הדבר נכון לכל איברי הבסיס B לכן B הינו בסיס המורכב מו"ע של T. [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 14:31, 9 בפברואר 2011 (IST)
+== פתרונות של התרגילים ==
+אתם יכולים בבקשה להעלות לפני את המבחן את הפתרונות של תרגילים 11 ו-12?
+זה ממש יעזור...
+== פתרונות 11 ו 12 !!! ==
+מה עם פתרונות של תרגילים 11 ו 12 ?? חיכיתי עד לרגע האחרון אבל אני רואה שלא העלתם את הפתרונות
+אני לא יכולתי להגיע לשיעור חזרה ויש לי כמה אי ודאויות לגבי תרגילים אלה...
+== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג' ==
+נתון שהערך המוחלט של המ"פ של v ו w שווה למכפלת הנורמות שלהם ולא שווה 0. צ"ל dim Span{w,v}.
+ברור שבגלל שמכפלת הנורמות לא שווה אפס, היא גדולה מאפס ולכן w וv לא שווים אפס ולכן המימד הוא 1 או 2, תלוי אם הוקטורים ת"ל או בת"ל. אבל זה מה שלא הצלחתי למצוא, ניסיתי להניח את שני המקרים ולא הגעתי לסתירה באף אחד מהם.
+תשובה (לא מתרגלת..): הוקטורים תלויים לינארית ולכן המימד הוא 1.
+מניחים בשלילה שהם בת"ל ונתון כי מתקיים שיוויון קושי שוורץ. ומגיעים לסתירה כשמחשבים דטרמיננטה של מטריצת גראם של {v,w}(של הsp כמובן..). נגיע לדטרמיננטה השווה ל-0 בסתירה לעובדה שדטרמיננטה של מטריצת גראם תמיד גדולה ממש מ-0.
+זהו, מקווה שלא שחכתי פרטים...
+:לא הבנתי. דבר ראשון, הקבוצה שלי (צבאן) לא למדה אף משפט על זה שהדט' של מט' גראם תמיד גדולה מאפס. דבר שני, אני מניח שהתכוונת לחשב את הדט' של מט' גראם של v ו w (ולא הספאן שלהם, מט' גראם היא על קבוצת וקטורים) אבל אז הדט' של יוצאת
+<math><u,u><v,v>-<u,v><v,u></math>, ולא הצלחתי להגיע מהעובדה שהוקטורים בת"ל לזה שהביטוי הנ"ל שווה לאפס.
+::{{הערה|לא מתרגל אחר}} אני חושב שהפתרון הזה שגוי, כי הדטרמיננטה של מטריצת גראם '''יכולה''' להיות 0 (אם"ם הוקטורים ת"ל), למשל <math>\left|G_{\{\vec0,(1,0)\}}\right|=\begin{vmatrix}0&0\\0&\langle(1,0),(1,0)\rangle\end{vmatrix}=0</math>
+== עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג' ==
+אני לא מצליח למצוא דוגמה למט' לא לכסינה מעל C, הרי כל מט' שאני לוקח, אם היא מעל C, הפ"א מל"ל (אפילו עם בלוק ג'ורדן, למשוואה (x-lamda)^n יש n שורשים מעל C) ואז המט' לכסינה!
+:{{לא מתרגל}} אם הפ"א מל"ל אז המטריצה ניתנת לשילוש (כדי שתהיה לכסינה צריך להתקיים גם שלכל ע"ע ר"ג=ר"א). אתה יכול לקחת את <i dir="ltr">J<sub>2</sub>(מספר כלשהו)</i>, ולפי משפט בלוק ז'ורדן לכסין אם"ם הוא בגודל אחד או אפס, לכן הוא לא לכסין. {{משל}}
+:אוקי, תודה רבה.
+== עזרה בשאלה ממבחן ==
+השאלה: יהיו A וB מטריצות 2 על 2 מעל R. הוכח שקיימת C כך ש C לא שווה ל f(A)+g(B) לכל זוג פולינומים f,g. שאלה מוזרה ואין לי מושג מאיפה להתחיל. עזרה?
+:{{תשובה מתחכמת}} קח מטריצה Cשהיא לא מגודל 2 על 2, אלא מגודל שלוש על שלוש. ברור שגם לאחר ההצבה בפולינומים לא יתקיים שוויון כי f(A)+g(B) מגודל 2 על 2 בעוד ש-<C מגודל שלוש על שלוש.
+:אם בשאלה כתוב (דבר שאתה לא כתבת) ש-C צריכה להיות מגודל 2 על 2, ונניח שהכוונה בשאלה היא ש-C היא מעל R (עוד דבר שלא כתבת) אזי נקח את הפולינומים f(x)=g(x)=i ולכן f(A)+g(B)=2i*Id ולכן לא קיימת C מעל הממשיים ששווה לסכום זה.
+:אם גם הפולינומים צריכים להיות מעל <math>\R</math> אז אני לא יודע... [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::ברור שגם C היא 2 על 2 מעל R..
+נגדיר V מרחב הפולינומים מעל R
+V מרחב וקטורי
+נתבונן ב-VxV שגם זהו מרחב וקטורי.
+נבנה העתקה T:VxV->M2(R)zz כך ש-
+T(f,g)=f(A)+g(B)zz
+ברור שאם f=pA ו-g=pB אז ההעתקה שולחת אותם לאפס (הכוונה לפולינומי האופיינים). כלומר dimKerT הוא לא 0 ולפי משפט הדרגה dimImT הוא לא 4 ולכן ההעתקה לא על, כלומר קיימת C כך שאין זוג פולינומים f,g כך ש-f(A)+g(B)=C
+(בהנחה שנתונה דרגת הפולינומים, אחרת אנחנו מדברים על מרחב ממימד אינסופי ואני לא בטוח שמשפט הדרגה תקף)
+== עזרה בעוד שאלה ממבחן ==
+נתון A,B נורמליות ויש להן אותם ו"ע. צ"ל AB=BA. למישהו יש רעיונות?
+:עריכה: אני חושב שהצלחתי, A,B נורמליות ולכן ניתנות לליכסון אוניטרי (כך שהמט' המלכסנות P-1=P*) אבל יש להן אותן ו"ע לכן בליכסון מתקבלים אותן מט' מלכסנות P, P-1 לכן A=P*DP, B=P*EP ואז בודקים והכפל בין A לB הפיך.
+== שאלה בקשר למבחן ==
+בשאלה 3 סעיף ב אמרו: הגדר מכפלה פנימית כך שהבסיס {x,1,x^2,x^3...,x^n} הוא בא"נ, האם צריך להוכיח שהמכפלה הפנימית שהגדרנו היא אכן מכפלה פנימית, רק ביקשו להגדיר מכפלה כזאת ושהבסיס הנתון יהיה בא"נ.
+אם כן חייב להוכיח שהמכפלה שהגדרנו היא מ"פ כמה נקודות מהסעיף ירדו אם לא הוכחתי את זה, כי הסיבה היחידה שלא הוכחתי את זה היא שלא חשבתי שצריך, לא כתבו הגדר מ"פ כך שהבסיס יהיה בא"נ והוכח שהמכפלה היא אכן מ"פ.
+עוד שאלה, ב1 סעיף א, הצלחתי להוכיח שאיברי האלכסון הראש שלי הכפל בין A ל adj A הם הדט' של A, ולא הספקתי להוכיח ששאר האיברים הם 0 כך שיבצר שיוויון בין הכפל בין A וadj A לבין הכפל בין הדט' של A לבין מטריצת היחידה.
+מישהו מהמרצים או מהמתרגלים יכול להגיד לי כמה נקודות ירדו לי על זה. תודה רבה
+~~חח גם אני לא הראתי שזה 0, כתבתי שזה " קל לראות עי פיתוח במינורים" או משהו כזה. בטח נקודות ספורות אני מערך לא יותר מ3.
+== הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה ==
+אם נוסיף 1 לאלכסון של המטריצה A- כאילו נבצע את הפעולה A+I. נקבל מטריצה לא הפיכה (מטריצה עם שתי שורות זהות..)
+בתשובה שראיתי נאמר "לכן ניתן להסיק מכך שאחד הערכים העצמיים של מטריצה A הוא 1-."
+אתה יכול להסביר איך הגיעו למסקנה הנ"ל?
+אני מבין את ההתחלה- המטריצה A+I לא הפיכה לכן 0 הוא ערך עצמי שלה.. עכשיו ההיסק בין ערכים עצמיים של מטריצות שונות איך הוא נעשה?
+הבנתי- זה דיי טרוייאלי מאיך שאנחנו מוצאים ערכים עצמיים.. תודה!! :)

הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-113 סמסטר א' תשעא/קבוצת דיון-עדי ניב"

גרסה אחרונה מ־19:47, 4 ביולי 2011

תוכן עניינים

הוספת שאלה חדשה

ארכיון

שאלות

תרגיל 9, שאלות 2.5, 2.8, מה זה "אנטי-צמוד לעצמו"?

חובת הגשה

תרגיל 9 - שאלה 2.4 א',ב'

שוב LCM ועוד שאלה קטנה

חיוביות בשדה המרוכבים

גרעין של מטריצה

שאלה 3.30א

תרגיל 10 - שאלה 3.23א'

תרגיל 10 - השאלה האחרונה- הבונוס שאינו בונוס

משפט או לא?

3.27

ליכסון אוניטרי ואורתוגונלי

בילבול קטן

בקשר לסקר ההוראה

תרגיל 11

תרגיל 11 שאלה 7

תרגיל 11 שאלה 1

תרגיל 11 - שאלה 5

תרגיל 11 - שאלה 2

תרגיל 11 שאלה 1 (ואולי קשור לעוד שאלות)

תרגול 11

תרגיל 11

שאלה 6

שאלה על הוכחה מההרצאה

תרגיל אחרון שנפתר בכיתה בתרגול האחרון

תרגיל 11-ז'ירדון מטריצות

שאלה על ג'רדון

בקשה - שיעור שלא העתקתי

המבחן

משפט פיתגורס

משפטים/טענות למבחן

(מתוך דף הקורס): התרגילים יהוו %___ (יוחלט בקרוב) מהציון הסופי. קיום בוחן ומישקלו יקבעו בהמשך ע"י המרצה.

מתכונת שיעור החזרה (של המתרגלים)

לכסון אורתוגונלי

שאלה מתרגול

מט' נילפוטנטית

מה זה "דרגה דטרמיננטית"?

שאלה למתרגלים

דימיון בין מטריצות מייצגות

למה מכפלת הערכים העצמיים שווה לדטרמיננטה?

למה אם אופרטור T על V לכסין אז קיים בסיס של V המורכב מהו"ע של T?

פתרונות של התרגילים

פתרונות 11 ו 12 !!!

עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 1 ג'

עזרה בשאלה ממבחן- 2002 A תשס"ב מועד א' שאלה 2 ג'

עזרה בשאלה ממבחן

עזרה בעוד שאלה ממבחן

שאלה בקשר למבחן

הסקה על ערכים עצמיים של מטריצה

תפריט הניווט

חיפוש