הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏הגדרת המספרים המרוכבים)
(←‏שדה המרוכבים)
שורה 47: שורה 47:
  
 
<videoflash>aDPMK03MCLg</videoflash>
 
<videoflash>aDPMK03MCLg</videoflash>
 +
 +
====צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)====
 +
 +
*<math>a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)</math>
 +
*<math>cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)</math>
 +
 +
*<math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>
 +
*עבור הזוית נחלק למקרים:
 +
**אם <math>a>0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math>
 +
**אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math>
 +
**אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\theta=\frac{-\pi}{2}</math>
 +
**אם <math>a<0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi</math>
 +
 +
 +
<videoflash>3GOI4vdKv4w</videoflash>
 +
 +
 +
*<math>r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)</math>
 +
 +
 +
<videoflash>kmoxv6cTI24</videoflash>
 +
  
  
−
*צורה קרטזית וקוטבית
 
 
*דה-מואבר ומציאת שורשים.
 
*דה-מואבר ומציאת שורשים.
 
*צמוד מרוכב ושאר הגדרות, הדגמה ע"י פולינום עם מקדמים ממשיים ושורש מרוכב.
 
*צמוד מרוכב ושאר הגדרות, הדגמה ע"י פולינום עם מקדמים ממשיים ושורש מרוכב.

גרסה מ־15:04, 18 ביוני 2020

תוכן עניינים

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

  • שדה הוא קבוצה \mathbb{F} יחד עם שתי פעולות +,\cdot כך שמתקיימות התכונות הבאות:
  1. סגירות: לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}
  2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a+b=b+a וכן a\cdot b=b\cdot a
  3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל a,b,c\in\mathbb{F} מתקיים כי a+(b+c)=(a+b)+c וכן a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c
  4. נייטרליים: קיימים 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} כך שלכל a\in\mathbb{F} מתקיים כי 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a
  5. נגדיים: לכל a\in\mathbb{F} קיים נגדי -a\in\mathbb{F} כך ש a+(-a)=0_{\mathbb{F}}
  6. הופכיים: לכל 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} קיים הופכי a^{-1}\in \mathbb{F} כך ש a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}
  7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל a,b,c\in\mathbb{F} מתקיים כי a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c



  • יהי שדה \mathbb{F} אזי לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a\cdot b=0_{\mathbb{F}} אם ורק אם a=0_{\mathbb{F}} או b=0_{\mathbb{F}}



  • תכונות נוספות של שדות
    • (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a
    • אם a+b=a+c אזי b=c
    • אם a\neq 0_{\mathbb{F}} וגם a\cdot b = a\cdot c אזי b=c

שדות סופיים

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

  • \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}
  • (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
  • (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)


  • נסמן
    • a=(a,0)
    • i=(0,1)
  • נובע כי a+b\cdot i =(a,b)


צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

  • a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)
  • cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)
  • r=\sqrt{a^2+b^2}
  • עבור הזוית נחלק למקרים:
    • אם a>0 אזי \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)
    • אם a=0 וגם b>0 אזי \theta=\frac{\pi}{2}
    • אם a=0 וגם b<0 אזי \theta=\frac{-\pi}{2}
    • אם a<0 אזי \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi



  • r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)



  • דה-מואבר ומציאת שורשים.
  • צמוד מרוכב ושאר הגדרות, הדגמה ע"י פולינום עם מקדמים ממשיים ושורש מרוכב.

תרגול

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

הגדרה וייצוג ע"י מטריצות

צורה מדורגת של מטריצה

משתנים חופשיים ותלויים

תרגול

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

כפל מטריצות

שחלוף

עקבה

תרגול

מטריצות הופכיות

מטריצות פעולה

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

תתי מרחבים

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

תרגול

פרישה ותלות לינארית

בסיס ומימד

משפט השלישי חינם

תרגול

משפט המימדים

תרגול

הצגה פרמטרית ואלגברית

שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה

תרגול

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

  • מרחב ההעתקות

גרעין ותמונה

משפט הדרגה

תרגול

מטריצה מייצגת העתקה

יחידות הצגה לפי בסיס, קואורדינטות

משפט קיום ויחידות

מטריצת סכום והרכבה

מטריצות מעבר בין בסיסים

תרגול

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

הגדרת הדטרמיננטה

קשר בין דטרמיננטה להפיכות

כפליות הדטרמיננטה

כלל קרמר

מטריצה נלווית

תרגול

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגברה_לינארית_-_ארז_שיינר&oldid=84652