הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־06:12, 11 ביולי 2020

תוכן עניינים

1 חומר עזר
2 סרטוני ותקציר הרצאות

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

שדה הוא קבוצה $\mathbb{F}$ יחד עם שתי פעולות $+,\cdot$ כך שמתקיימות התכונות הבאות:

סגירות: לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}$
קומוטטיביות (חילופיות): לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b=b+a$ וכן $a\cdot b=b\cdot a$
אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+(b+c)=(a+b)+c$ וכן $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
נייטרליים: קיימים $0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}$ כך שלכל $a\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a$
נגדיים: לכל $a\in\mathbb{F}$ קיים נגדי $-a\in\mathbb{F}$ כך ש $a+(-a)=0_{\mathbb{F}}$
הופכיים: לכל $0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F}$ קיים הופכי $a^{-1}\in \mathbb{F}$ כך ש $a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}$
דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

יהי שדה $\mathbb{F}$ אזי לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot b=0_{\mathbb{F}}$ אם ורק אם $a=0_{\mathbb{F}}$ או $b=0_{\mathbb{F}}$

תכונות נוספות של שדות
- $(-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a$
- אם $a+b=a+c$ אזי $b=c$
- אם $a\neq 0_{\mathbb{F}}$ וגם $a\cdot b = a\cdot c$ אזי $b=c$

שדות סופיים

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

$\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

נסמן
- $a=(a,0)$
- $i=(0,1)$
נובע כי $a+b\cdot i =(a,b)$

הגדרות עבור
- $\overline{Z}=a-b\cdot i$
- $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
- $Re(z)=a$
- $Im(z)=b$

תכונות
- $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$ אם $z\neq 0$
- $z+\overline{z}=2\cdot Re(z)$
- $z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)$
- $\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}$
- $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$

צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

$a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)$
$cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)$

$r=\sqrt{a^2+b^2}$
עבור הזוית נחלק למקרים:
- אם $a>0$ אזי $\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)$
- אם $a=0$ וגם $b>0$ אזי $\theta=\frac{\pi}{2}$
- אם $a=0$ וגם $b<0$ אזי $\theta=-\frac{\pi}{2}$
- אם $a<0$ אזי $\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi$

$r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)$

$(r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)$

עבור $n\geq 2$ טבעי, ומספר מרוכב $a+b\cdot i\neq 0$ קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה $z^n=a+b\cdot i$
הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
- נעביר את המספר לצורתו הקוטבית $a+b\cdot i = r cis(\theta)$
- הפתרונות הם $z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)$ עבור $k=0,1,...,n-1$

תרגול

תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

$\mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\}$ קבוצת הn-יות הסדורות.
$\mathbb{F}^{n\times m}$ קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה $\mathbb{F}$

הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

פעולות דירוג אלמנטריות

ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה

צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

משתנים חופשיים ותלויים

דירוג מטריצה עם פרמטר

הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית

תרגול

תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

כפל מטריצות

שיטות לחישוב כפל מטריצות

תכונות של אלגברת מטריצות

פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

עקבה

תרגול

תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

מטריצות פעולה

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

תתי מרחבים

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

תרגול

תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

פרישה ותלות לינארית

בסיס ומימד

משפט השלישי חינם

תרגול

תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

תרגול

תרגול על משפט המימדים

הצגה פרמטרית ואלגברית

שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה

תרגול

תרגול בנושא מרחבי המטריצה

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

מרחב ההעתקות

גרעין ותמונה

משפט הדרגה

תרגול

תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

מטריצה מייצגת העתקה

יחידות הצגה לפי בסיס, קואורדינטות

משפט קיום ויחידות

מטריצת סכום והרכבה

מטריצות מעבר בין בסיסים

תרגול

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

הגדרת הדטרמיננטה

קשר בין דטרמיננטה להפיכות

כפליות הדטרמיננטה

כלל קרמר

מטריצה נלווית

תרגול

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגברה_לינארית_-_ארז_שיינר&oldid=84935