הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים)
(←‏חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים)
שורה 461: שורה 461:
 
*דוגמא:
 
*דוגמא:
 
*<math>V=\mathbb{R}^3</math>
 
*<math>V=\mathbb{R}^3</math>
−
*<math>U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}}</math>
+
*<math>U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
−
*<math>W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}}</math>
+
*<math>W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
 
*<math>U+W=V</math>
 
*<math>U+W=V</math>
 
*ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
 
*ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:

גרסה מ־06:24, 21 ביולי 2020

תוכן עניינים

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

  • שדה הוא קבוצה \mathbb{F} יחד עם שתי פעולות +,\cdot כך שמתקיימות התכונות הבאות:
  1. סגירות: לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}
  2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a+b=b+a וכן a\cdot b=b\cdot a
  3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל a,b,c\in\mathbb{F} מתקיים כי a+(b+c)=(a+b)+c וכן a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c
  4. נייטרליים: קיימים 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} כך שלכל a\in\mathbb{F} מתקיים כי 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a
  5. נגדיים: לכל a\in\mathbb{F} קיים נגדי -a\in\mathbb{F} כך ש a+(-a)=0_{\mathbb{F}}
  6. הופכיים: לכל 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} קיים הופכי a^{-1}\in \mathbb{F} כך ש a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}
  7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל a,b,c\in\mathbb{F} מתקיים כי a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c



  • יהי שדה \mathbb{F} אזי לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a\cdot b=0_{\mathbb{F}} אם ורק אם a=0_{\mathbb{F}} או b=0_{\mathbb{F}}



  • תכונות נוספות של שדות
    • (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a
    • אם a+b=a+c אזי b=c
    • אם a\neq 0_{\mathbb{F}} וגם a\cdot b = a\cdot c אזי b=c

שדות סופיים

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

  • \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}
  • (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
  • (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)


  • נסמן
    • a=(a,0)
    • i=(0,1)
  • נובע כי a+b\cdot i =(a,b)


  • הגדרות עבור z=a+b\cdot i
    • \overline{Z}=a-b\cdot i
    • |z|=\sqrt{a^2+b^2}
    • Re(z)=a
    • Im(z)=b


  • תכונות
    • z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} אם z\neq 0
    • z+\overline{z}=2\cdot Re(z)
    • z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)
    • \overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}
    • \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}


צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

  • a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)
  • cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)
  • r=\sqrt{a^2+b^2}
  • עבור הזוית נחלק למקרים:
    • אם a>0 אזי \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)
    • אם a=0 וגם b>0 אזי \theta=\frac{\pi}{2}
    • אם a=0 וגם b<0 אזי \theta=-\frac{\pi}{2}
    • אם a<0 אזי \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi



  • r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)



  • (r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)


  • עבור n\geq 2 טבעי, ומספר מרוכב a+b\cdot i\neq 0 קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה z^n=a+b\cdot i
  • הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
    • נעביר את המספר לצורתו הקוטבית a+b\cdot i = r cis(\theta)
    • הפתרונות הם z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) עבור k=0,1,...,n-1


תרגול

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

  • \mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\} קבוצת הn-יות הסדורות.
  • \mathbb{F}^{n\times m} קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה \mathbb{F}


הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

  • מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים A\in\mathbb{F}^{m\times n} ומטריצת (וקטור) קבועים \vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1}.
  • קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
  • \begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}


פעולות דירוג אלמנטריות

  • שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
    • \alpha R_i עבור 0\neq \alpha\in\mathbb{F} (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
    • R_i+\alpha R_j עבור i\neq j (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
    • R_i \leftrightarrow R_j (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)


ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה


צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

  • איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
  • מטריצה נקראת מדורגת אם:
    • אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
    • כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
  • מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
    • היא מדורגת.
    • כל האיברים הפותחים שווים ל1.
    • בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.


משתנים חופשיים ותלויים

  • משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
  • כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
  • מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
    • מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
    • אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
    • אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
    • אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.


  • מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
    • מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
    • מוודאים שאין שורת סתירה.
    • בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
    • מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.


דירוג מטריצה עם פרמטר


הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית

תרגול

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

  • תהיינה A,B\in\mathbb{F}^{n\times m} ויהי סקלר \alpha\in\mathbb{F}
    • נגדיר את A+B\in\mathbb{F}^{n\times m} על ידי [A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}
    • נגדיר את \alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m} על ידי [\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij}


כפל מטריצות

  • \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n
  • \prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n


  • תהיינה A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k}
    • נגדיר את המכפלה AB\in\mathbb{F}^{n\times k} על ידי
    • [AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj}



  • הוקטור \vec{x} הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים A ווקטור הקבועים \vec{b} אם ורק אם A\cdot \vec{x}=\vec{b}



שיטות לחישוב כפל מטריצות


  • חישוב הכפל לפי עמודות
    • \begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n
    • C_i(AB)=AC_i(B)
  • חישוב הכפל לפי שורות
    • \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n
    • R_i(AB)=R_i(A)B


תכונות של אלגברת מטריצות

  • A(B+C)=AB+AC וכן (A+B)C=AC+BC
  • \alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)
  • (\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A וכן \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B



  • מטריצת היחידה I_n\in\mathbb{F}^{n\times n} מוגדרת על ידי [I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}
  • לכל A\in\mathbb{F}^{n\times m} מתקיים כי I_n\cdot A=A\cdot I_m =A



  • לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
    • (AB)C=A(BC)


פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

  • פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

  • עבור A\in\mathbb{F}^{n\times m} נגדיר את המטריצה המשוחלפת A^t\in\mathbb{F}^{m\times n} על ידי [A^t]_{ij}=[A]_{ji}


  • R_i(A^t)=C_i^t(A)
  • C_i(A^t)=R_i^t(A)


  • (A^t)^t=A
  • (A+B)^t = A^t+B^t
  • (\alpha A)^t = \alpha A^t
  • (AB)^t=B^tA^t


עקבה

  • העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
    • עבור A\in\mathbb{F}^{n\times n} נגדיר tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}


  • תכונות העקבה:
    • tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
    • tr(\alpha A)=\alpha tr(A)
    • tr(AB)=tr(BA)


  • דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשייות A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} כך ש AB-BA=I
    • tr(AB-BA)=0 אך tr(I)=n\neq 0


תרגול

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

  • מטריצה A\in\mathbb{F}^{n\times m} נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} כך שAB=I_n וכן CA=I_m
  • אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה A^{-1} ונקרא לה ההופכית של A המקיימת AA^{-1}=I. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת A^{-1}A=I.


  • תהי A הפיכה, אזי למערכת המשוואות A\vec{x}=\vec{b} יש פתרון יחיד, והוא \vec{x}=A^{-1}\vec{b}



  • תהיינה A,B הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל AB מוגדר, אזי (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  • תהי A הפיכה אזי (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t
  • תהי A הפיכה אזי (A^{-1})^{-1}=A
  • תהי A הפיכה ויהי סקלר \alpha\neq 0 אזי (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}



מטריצות פעולה

  • תהי f פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
  • לכל n נגדיר את מטריצת הפעולה f(I_n).
  • לכל מטריצה A\in\mathbb{F}^{m\times n} מתקיים כי f(I_m)\cdot A = f(A)
  • מטריצת הפעולה היא הפיכה.


  • לכל מטריצה A\in\mathbb{F}^{m\times n} קיימת מטריצה הפיכה P\in\mathbb{F}^{m\times m} כך ש P\cdot A=CF(A)


בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

  • מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם B\neq 0 אך AB=0 או BA=0 אזי A אינה הפיכה
  • אם בA השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל B כך שהכפל מוגדר, השורה הi בAB היא שורת אפסים.
    • בBA לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
  • מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
  • מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.



  • מטריצה A היא הפיכה אם ורק אם CF(A)=I
  • אם A,B ריבועיות כך שAB=I אזי A^{-1}=B
  • תהיינה A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} ריבועיות אזי AB הפיכה אם ורק אם A,B הפיכות שתיהן
  • דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
    • \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}



אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
  • תהי מטריצה ריבועית A\in\mathbb{F}^{n\times n}
  • נדרג את מטריצת הבלוקים (A|I) קנונית.
  • אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של A יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
  • אחרת, הצורה הקנונית של A היא I ולכן היא הפיכה.
  • הגענו למטריצת הבלוקים (I|A^{-1}).


תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

  • מרחב וקטורי V מעל שדה \mathbb{F} הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
  1. סגירות: \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V
  2. חילופיות: \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w=w+u
  3. אסוציאטיביות (קיבוץ): \forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v
  4. נייטרלי לחיבור: \exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v
  5. נגדיים: \forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V
  6. נייטרלי לכפל בסקלר: \forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v
  7. דיסטריביוטיביות (פילוג): \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w



  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F} ויהיו \alpha\in\mathbb{F},u\in V אזי:
    • \alpha u = 0_V אם ורק אם \alpha=0_\mathbb{F} או u=0_V
  • כמו כן, (-1_\mathbb{F})u=-u



תתי מרחבים

  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ותהי U\subseteq V תת קבוצה של וקטורים.
  • אזי U נקרא תת מרחב של V אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של V.


  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ותהי U\subseteq V תת קבוצה של וקטורים.
  • אזי U תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
    • 0_V\in U
    • לכל v_1,v_2\in U ולכל \alpha\in\mathbb{F} מתקיים כי v_1+\alpha v_2\in U



  • תהי A\in\mathbb{F}^{m\times n} אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית N(A)\subseteq\mathbb{F}^n הינה תת מרחב וקטורי.
    • קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.


  • אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.


  • אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.



חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ויהיו U,W\subseteq V, תתי מרחב.
    • U\cap W הינו תת מרחב של V.
    • U\cup W תת מרחב של V אם ורק אם U\subseteq W או W\subseteq U.



  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ויהיו U,W\subseteq V, תתי מרחב.
  • נגדיר את סכום תתי המרחבים:
    • U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}


  • U+W הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את U,W. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
    • לכל תת מרחב U,W\subseteq T מתקיים כי U,W\subseteq U+W\subseteq T


  • U\cap W הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל בU,W. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
    • לכל תת מרחב T\subseteq U,W מתקיים כי T\subseteq U\cap W\subseteq U,W



  • דוגמא:
  • V=\mathbb{R}^3
  • U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}
  • W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}
  • U+W=V
  • ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
    • (4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1)


  • סכום ישר:
  • יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש V=U\oplus W אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
    • V=U+W
    • U\cap W =\{0_V\}


  • משפט:
  • V=U\oplus W אם ורק אם לכל וקטור v\in V קיימת הצגה יחידה v=u+w כסכום של רכיבים מU ומW.


  • כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.


תרגול

פרישה ותלות לינארית



בסיס ומימד

משפט השלישי חינם

תרגול

משפט המימדים

תרגול

הצגה פרמטרית ואלגברית

שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה

תרגול

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

  • מרחב ההעתקות

גרעין ותמונה

משפט הדרגה

תרגול

מטריצה מייצגת העתקה

יחידות הצגה לפי בסיס, קואורדינטות

משפט קיום ויחידות

מטריצת סכום והרכבה

מטריצות מעבר בין בסיסים

תרגול

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

הגדרת הדטרמיננטה

קשר בין דטרמיננטה להפיכות

כפליות הדטרמיננטה

כלל קרמר

מטריצה נלווית

תרגול

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגברה_לינארית_-_ארז_שיינר&oldid=85147