הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏כלל לופיטל: פסקה חדשה)
(←‏שאלה קלה מדי?)
 
שורה 5: שורה 5:
 
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
 
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 1| ארכיון 1]]
 
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
 
*[[88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 2| ארכיון 2]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
 +
*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]
 +
  
 
=שאלות=
 
=שאלות=
  
 +
== הערה בקשר למבחן ביום שני ==
  
 +
אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
  
−
== עזרה דחופה בגבולות ==
+
אשמח אם תתחשבו בנו.
  
−
שלום לכולם,
+
:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.
−
הנושא של גבולות, הוא פשוט נושא כל כך קשה, שרק את ההגדרה לקח לי בערך 3 שעות להבין. כל הוכחה או תרגיל שהיו קשורים לגבולות לא הבנתי בכלל, ואני חייב עזרה. אפשר אלגוריתם מלא לפתרון בעיה שבא צריך למצוא ולהוכיח גבול של סדרה או להוכיח שאין גבול של סדרה?
+
−
למשל בתרגיל 3, בשאלה 1 א. צריך למצוא גבול לסדרה 1 חלקי שורש n. הבנתי שהגבול הזה הוא 0. צריך למצוא N אפסילון שבשבילו לכל n גדול מN אפסילון יתקיים ש <math>|a_n|<e</math>. חיפשתי ערכים מתאימים ובעזרת מחשבון מצאתי שלכל <math>N=[1/(e^2)]</math> כשב[] אני מתכוון לתקרה.
+
−
אבל איך עכשיו אני מתקדם? איך לעבור מ nים שגדולים מN, לan? תודה!
+
  
−
===תשובה===
 
−
הפתרון הוא דומה לדברים שעשינו בכיתה. צריך להתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math> כלומר במקרה הזה <math>|\frac{1}{\sqrt{n}}-0|<\epsilon</math> ולכן אחרי פיתוח קל מקבלים שצריך להתקיים <math>n>\frac{1}{\epsilon^2}</math>. לכל n אי השיוויון האחרון מתקיים אם"ם אי השיוויון המקורי מתקיים.
 
  
−
כל מה שנותר הוא לבחור הוא <math>N_{\epsilon}</math> כלשהו כך ש<math>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon^2}</math> ואז ברור שלכל <math>n>N_{\epsilon}</math> מתקיים <math>n>N_{\epsilon}>\frac{1}{\epsilon^2}</math> ולכן מתקיים אי השיוויון הרצוי <math>|\frac{1}{\sqrt{n}}-0|<\epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:46, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
−
::אפשר גם דוגמה להוכחה שסדרה היא מתבדרת?
+
http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/
  
−
:::הדוגמא הקלאסית הינה <math>a_n=(-1)^n</math>. נניח '''בשלילה''' שהסדרה מתכנסת לגבול L חיובי (ההוכחה עבור שליליים דומה). לכן לכל אפסילון (ובפרט עבור <math>\epsilon=1</math>) יש מקום בסדרה (<math>N_{\epsilon}</math>) כך שהחל ממנו והלאה כל איברי הסדרה (לכל <math>n>N_{\epsilon}</math>) מקיימים <math>|a_n-L|=|(-1)^n-L|<\epsilon=1</math>. לכן בפרט, יש איברים אי זוגיים שמקיימים את זה, ניקח אחד כזה ונקבל <math>|-1-L|<1</math> אבל <math>L>0</math> ולכן <math>-1-L<0</math> ולכן <math>|-1-L|=1+L</math> וביחד מקבלים <math>1+L<1</math> ולכן <math>L<0</math> וזו '''סתירה'''. לכן לא יכול להיות גבול L חיובי כזה, וכמו שאמרתי ההוכחה עבור השלילים ואפס דומה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:37, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
−
::::תודה רבה!!
+
::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.
  
−
== שאלה 1ב. ==
+
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
  
−
בקשר לסינוס של n!, מתכוונים שמה שבתוך הסינוס הוא במעלות או ברדיאנים? כי יוצאות תוצאות שונות.
+
== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==  
−
: זה לא משנה, אתה צריך להגיע לזה ש <math>sin(n!)</math> בכלל לא משפיע על הגבול. רמז לזה הוא ש<math>sin</math> היא פונקציה חסומה בין 1 ל-1-. גיל טנקוס :)
+
−
::למה זה לא משנה? הצבתי ערכים הולכים וגדלים במחשבון. כשהצבתי במעלות, יצא לי שמn=6 ומעלה, הסינוס מתאפס והסדרה היא קבועה על 0. אך כשהצבתי ברדיאנים הסדרה לא התאפסה ויצאו ערכים שונים לגמרי, כך שזה כן משפיע! ולא הבנתי מה זה אומר שהפונקציה חסומה, אתה יכול להסביר? תודה!
+
−
:::סינוס באוניברסיטה הוא '''תמיד''' ברדיאנים, זה קודם כל. <s>שנית סינוס לא מתאפס בערכים גבוהים לא ברדאינים ולא במעלות (איך זה הגיוני בכלל שהוא יתאפס בסולם אחד אבל לא בסולם אחר). </s> פונקציה חסומה בין 1 למינוס 1, כלומר שהערכים שלה קטנים שווים ל1 וגדולים שווים למינוס אחד. למשל, הפונקציה לא יכולה לקבל את הערכים 50 או מינוס 100 (לעולם). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:41, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
−
::::אני עושה במחשבון <math>sin(6!)</math> וכשהמחשבון במצב של מעלות זה נותן לי 0 (וכך גם בכל הערכים מעל 6). איך זה?
+
−
::::והנה, הפונקציה קיבלה ערך מחוץ ל1 ול1-! אתה לא מתכוון שהפונקציה -מוציאה- (לא "מקבלת") ערכים ביו 1 ל1-?
+
−
::::ודבר אחרון, אני יודע מה זה אומר חסומה, התכוונתי, האם אפשר הסבר לגבי איך זה מתקשר לתרגיל? תודה!
+
−
:::::אפס הוא כן 'בין' אחד למינוס אחד. על מנת להבין את הקשר, מומלץ לקרוא את התרגול שם דברנו על משפט שקשור לסדרות חסומות. ולגבי המעלות, אתה צודק זו טעות שלי, וזה כן הגיוני שזה קבוע אפס (כי זה הופך להיות כפולה שלימה של 360 מעלות, ולא משנה במה תכפיל זה ישאר כפולה שלימה של 360 מעלות). בכל אופן, מדובר על רדיאנים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:06, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
−
::::::אופס אפס זה בין 1 ל 1- חחח טעות שלי. תודה בכל מקרה
+
−
:::::ועכשיו הבנתי למה התכוונת. כאשר אומרים מקבלת, הכוונה היא שזה הערך המתקבל. כך או כך סינוס n! חסום לכל n.
+
−
:::::::חיפשתי ולא מצאתי. אפשר עזרה לגבי העניין של החסימה? האם יש משפט שאומר שאם פונקציה היא חסומה מלמעלה או מלמטה, אז הכפל שלה עם פונקציה אחרת "לא משפיע" על הגבול של הפונקציה המתקבלת? כי זה לא נראה לי כל כך נכון, כי אם ניקח למשל את הפונקציה הקבועה an=0, היא חסומה, וכן הפונקציה הקבועה bn=1, אזי מכפלת הפונקציות צריכה להיות 1 (כי לכאורה ה0 לא משפיע על 1) כשבעצם הגבול של הפונקציה an=0*1 הוא 0.
+
−
::::::::בתרגיל כיתה נניח אתה לא מוצא, מה לגבי תרגיל הבית? יש שם שאלה על סדרה חסומה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:29, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
−
:::::::::נחמד! תודה רבה! כשאומרים סדרה קטנה מסדרה אחרת (an<bn) מתכוונים שכל איברי הסדרה קטנים מאיברי הסדרה השנייה?
+
−
::::::::::הכוונה היא שהם קטנים איבר איבר, לא שכל איברי סדרה אחת קטנה מכל איברי הסדרה השנייה. נגיד איברי הסדרה <math>a_n=\frac{1}{n+1}:\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}</math> קטנים מאיברי הסדרה <math>b_n=\frac{1}{n}:\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:58, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
  
−
== תרגיל 3, שאלה 5ב ==
+
מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
 +
תודה.
 +
:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
 +
:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
 +
:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
 +
:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
 +
:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 +
::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.
  
−
צריך להוכיח או להפריך שאם <math>\lim_{n\to\infty}|a_n|=|a|</math> אז <math>\lim_{n\to\infty}a_n=a</math>. כמובן שזה לא נכון אם a<0, ולכן אני שואל אם התכוונתם ל-<math>\lim_{n\to\infty}a_n={\color{red}|}a{\color{red}|}</math> (וכנ"ל לגבי 5ג). תודה, [[מיוחד:תרומות/89.139.184.191|89.139.184.191]] 17:39, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
== שאלה על פתרון שאלה ==
  
−
:אין טעות בשאלה (ומגניב האדום הזה) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:42, 29 באוקטובר 2010 (IST)
+
תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
 +
:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
 +
::אוקי.
  
−
== תרגיל 3 שאלה 5 ד ==
+
== עזרה בשאלה ממבחן ==
  
−
לא הבנתי עד הסוף למה הכוונה מיתכנס במובן הרחב.. כי ברור שאם הסידרה שואפת לאפס אז ההופכי שלה ישאף לאינסוף האם עיקרון זה מספיק בישביל להגיד שהסידרה מיתכנסת במובן הרחב?
+
תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
  
−
===תשובה===
+
:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
−
למי זה ברור? אין דברים ברורים, יש הוכחות. וכאשר מושג לא מובן '''חייבים''' לחפש את ההגדרה המדוייקת שלו. במקרה הזה, סדרה '''מתכנסת במובן הרחב לאינסוף''' אם לכל 0<M קיים מקום בסדרה <math>N_M</math> כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_M</math>) מתקיים <math>a_n>M</math>.  
+
::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
 +
:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
 +
::::אוקי..
  
−
סדרה '''מתכנסת במובן הרחב למינוס אינסוף''' אם לכל 0<M קיים מקום בסדרה <math>N_M</math> כך שהחל ממנו והלאה (לכל <math>n>N_M</math>) מתקיים <math>a_n<-M</math>.
+
== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
  
−
עכשיו סתם נקודת למחשבה - תחשוב על הסדרה <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>.
+
יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
 +
:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 +
::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
 +
:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 +
::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
 +
:::::אכן.
  
−
== שאלה 7  ==
+
== רציפות במ"ש ==
  
−
הגעתי למצב שנישאר לי רק להוכיח את שורש N של N מתכנסת לאחד היסתכלתי על התרגיל שפתרתה בכיתה ואני לא מבין את ההוכחה לזה..האם זה קשור לאי שיוויון ברנולי כי לא לימדתה את זה
+
מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
 +
:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)
  
−
===תשובה===
+
== קירוב ליניארי ==
−
אל מי אתה מדבר? כי אני (ארז) הוכחתי את אי שיוויון ברנולי, ואני מניח שגם המרצה. שנית צריך להוכיח בתרגיל ש<math>\sqrt[n]{a}\rightarrow 1</math> עבור a קבוע. ידוע לנו מהכיתה ש<math>\sqrt[n]{n}\rightarrow 1</math>. מעבר לכך אתה מוזמן להגיד מה לא הבנת מההוכחה בכיתה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:19, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
  
−
== אריתמטיקה של גבולות ==
+
היי ארז,
  
−
המרצה שלנו לא הוכיח שלכל סדרה <math>\{a_n\}</math> שמתכנסת במובן הרחב מתקיים: <math>\forall c\in\mathbb{R}: \lim_{n\to\infty}a_n^c=\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)^c</math> או <math>\forall c\in\{x\in\mathbb{R}:x>0\}: \lim_{n\to\infty}a_n^c=\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)^c</math> אם הגבול או a<sub>n</sub> שווה 0. (הוא הוכיח רק שזה נכון עבור <math>c\in\mathbb{N}</math>). מותר להשתמש בזה? [[מיוחד:תרומות/82.166.216.211|82.166.216.211]] 19:29, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....
  
−
===תשובה===
+
איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?
−
אתה צודק שזה לא הוכח בהרצאה, אפשר להניח שזה נכון (רק אתה מתכוונת לסדרה שמתכנסת, לא מתכנסת במובן הרחב) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:40, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
−
:אני כן מתכוון במובן הרחב, כאשר <math>\infty^c=\infty</math> לכל <math>c>0</math>. [[מיוחד:תרומות/82.166.216.211|82.166.216.211]] 20:09, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
  
−
::נו, אז את זה אפשר להוכיח דיי בקלות ישירות.
+
תודה!
−
:::אבל צריך להוכיח (במבחנים ובש"ב)? או שזה שמותר להשתמש בזה כמשפט? תודה, [[מיוחד:תרומות/82.166.216.211|82.166.216.211]] 20:28, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
  
−
== עזרה בהוכחת 1 ד. ==
+
:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)
  
−
הפונקציה מתכנסת לאינסוף. כדי להוכיח שהיא לא מתכנסת לאף גבול, אני יכול או להוכיח שהיא מתכנסת במובן הרחב לאינסוף, או להוכיח פשוט שהיא לא מתכנסת לגבול ממשי, נכון?
+
== עזרה בפתרון שאלה ==
−
ניסיתי להוכיח שהיא לא מתכנסת לאף גבול ממשי, ע"י הנחה בשלילה, ונתקעתי, לא הצלחתי להוכיח.
+
  
−
אז ניסיתי להוכיח שהיא מתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אבל שוב נתקעתי, כי הגעתי לאי שוויון <math>M<(3^{n-1})/(2^n)</math>, ומכאן אני צריך להגיע למשוואה שבצד אחד שלה יש רק n, וזה בלתי אפשרי.
+
שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!
−
אפשר עזרה לגבי מה לעשות? תודה רבה!
+
  
−
:תסתכל על ההערה בתחילת התרגיל, ותחשוב איך להשתמש בה כאן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:21, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
−
::אתה מתכוון לתזכורת? דבר ראשון, לא צריך להוכיח את זה? דבר שני, יש כאן מנה של פונקציות מעריכיות שזה לא בהכרח מתכנס לאינסוף!
+
::תודה.
−
:::התזכורת כן, ואין צורך להוכיח אותה. תחשוב איך להפוך את זה לצורה של התזכורת --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:57, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
−
::::הבנתי, יש לי רק שאלה: המשפט מהתזכורת עובד גם עבור פונקציה של n במקום n? כלומר <math>lim(n->inf) a^f(n)= inf</math> ? (מקווה שתבין את צורת הכתיבה שלי)
+
−
:::::אין כרגע בקורס פונקציות, לכן זה לא רלוונטי לתרגיל, אבל כן, קבוע גדול מאחד בחזקת משהו ששואף לאינסוף בהכרח ישאף לאנסוף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:35, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
−
::::::אבל השאלה היא האם צריך להוכיח שכשn שואף לאינסוף אז הפונקציה של n שנמצאת במעריך של הקבוע, שואף לאינסוף. כי אם כן, אז התרגיל נשאר באותו רמת קושי ולא עשינו פה כלום בעצם (יוצא לי a בחזקת משהו עם לוגריתם).
+
  
−
== תרגול 3-שאלה 7 ==
+
== מישפט היינה בורל  ==
  
−
ארז,שבוע טוב!
+
מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
−
אמרת שבשאלה 7 צריך להוכיח בשלילה שL שונה מאפס כדי להגיע לכך שהוא שווה לאפס. אפשר עוד כיוון בבקשה כי זה לא הולך לי..?
+
:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
−
(הצלחתי להוכיח רק את הצד שאם הגבול שווה 0 אז היא מתכנסת..)
+
−
תודה!
+
  
−
:רמז: אריתמטיקה של גבולות. מה אפשר לעשות כאשר גבול הסדרה שונה מאפס? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:36, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית
 +
 
 +
אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
 +
:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 +
::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
 +
:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
 +
::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)
 +
 
 +
== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
 +
 
 +
<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
 +
:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
 +
:{{הערה|חזרתי:}}
 +
{|
 +
{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
 +
  |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
 +
}}
 +
{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
 +
}}
 +
{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
 +
}}
 +
{{=|r=1\cdot e^{-2}
 +
}}
 +
{{=|r=1
 +
  |o=<
 +
}}
 +
|}
 +
:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
 +
פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה
 +
 
 +
== בקשה ==
 +
 
 +
שלום רב,
 +
למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
 +
תודה מראש!
 +
:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
 +
::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
 +
:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
 +
::::או, זה יפה ^^
 +
 
 +
== שאלה אלמנטרית ==
 +
 
 +
המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?
 +
 
 +
:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
 +
 
 +
::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
 +
 
 +
:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
 +
 
 +
== חתכי דדקינד ==
 +
 
 +
לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.
 +
 
 +
שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
 +
:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
 +
 
 +
::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
 +
:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
 +
::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
 +
:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..
 +
 
 +
 
 +
http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
 +
:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
 +
'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
 +
::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...
 +
 
 +
== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==
 +
 
 +
כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
 +
ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.
 +
 
 +
למה זה נכון?
 +
 
 +
:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)
  
 
== כלל לופיטל ==
 
== כלל לופיטל ==
  
−
מותר להשתמש בכלל לופיטל? ובכלל, האם מותר להשתמש '''בכל''' מה שלמדנו בביה"ס? תודה, [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 22:16, 30 באוקטובר 2010 (IST)
+
כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
 +
:למדנו את זה אז כנראה שכן...
 +
 
 +
== כלל לופיטל ==
 +
 
 +
האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?
 +
 
 +
:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
 +
 
 +
== מבחני קושי ודלמבר ==
 +
 
 +
מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
 +
:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.
 +
 
 +
== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==
 +
 
 +
צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
 +
:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
 +
 
 +
== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
 +
 
 +
מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
 +
:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
 +
::כן, תיכוניסט. תודה
 +
:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich
 +
 
 +
== איקס בריבוע ==
 +
 
 +
איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
 +
:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
 +
::תודה.
 +
 
 +
== שאלה קלה מדי? ==
 +
 
 +
צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
 +
:מישהו יודע?
 +
 
 +
== פתרון של הבחינות ==
 +
 
 +
הי ארז,
 +
 
 +
ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?
 +
 
 +
אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.
 +
 
 +
כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?
 +
 
 +
שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
 +
 
 +
===תשובה===
 +
שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.
 +
 
 +
לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.
 +
 
 +
====תשובה====
 +
אוקי, שוב תודה :-)

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון


שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.


מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
גל א.
לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0, וגם ש lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n). תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.
לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n} כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.
נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

f(x)=xsinx וx_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}. אזי f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0 --ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, \lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0 בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי K קטע סגור, ויהיו \{I_a\}_{a\ in\ A} קטעים פתוחים ב-\R כך ש-K מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-K מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי S קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.
אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
חזרתי:
\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 } = \overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right) =
\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2} =
1\cdot e^{-2} =
1 <
והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. \blacksquare

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור \sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!} מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן \frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0 ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), \frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty. אח"כ, מכיוון ש-\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1, מתקיים \forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1 ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. \blacksquare
או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה A_n/A_{L-\epsilon} מוכלת ב-(L-\epsilon,L). בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
לא התבלבלתי, זה הקבוצה A_n בלי הקבוצה A_{L-\epsilon}. תיזכר בסימונים של בדידה.
אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..


http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש<e^{(x^2)} רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
כן, תיכוניסט. תודה
הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש-x^2 לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.
תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו [0,\infty) ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-132_סמסטר_א%27_תשעא&oldid=9666