גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

תוכן עניינים

1 הוספת שאלה חדשה
2 ארכיון
3 שאלות

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.

מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:

יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.

תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.

כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.

גל א.

לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי $a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0$ , וגם ש $lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0$ . הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)

הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?

הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב $lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)$ . תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.

לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.

Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}

כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.

נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?

אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

f(x)=xsinx

ו

x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}

. אזי

f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0

--ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו,

\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0

בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)

תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי

K

קטע סגור, ויהיו

\{I_a\}_{a\ in\ A}

קטעים פתוחים ב-

\R

כך ש-

K

מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-

K

מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי

S

קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.

אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.

בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?

אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

$\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}$

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.

חזרתי:

$\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }$	$=$	$\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }$
$\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)$	$=$
$\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}$	$=$
$1\cdot e^{-2}$	$=$
$1$	$<$

והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס.

\blacksquare

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.

יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור

\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}

מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן

\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0

ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית),

\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty

. אח"כ, מכיוון ש-

\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1

, מתקיים

\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1

ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.

\blacksquare

או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.

זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)

ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)

לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה

A_n/A_{L-\epsilon}

מוכלת ב-

(L-\epsilon,L)

. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.

התבלבלת, מה זה An/A_L-e?

לא התבלבלתי, זה הקבוצה

A_n

בלי הקבוצה

A_{L-\epsilon}

. תיזכר בסימונים של בדידה.

אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש< $e^{(x^2)}$ רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.

כן, תיכוניסט. תודה

הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש- $x^2$ לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.

תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו $[0,\infty)$ ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)

הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא"

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

תוכן עניינים

הוספת שאלה חדשה

ארכיון

שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

שאלה בקשר למבחן ביום שני

שאלה על פתרון שאלה

עזרה בשאלה ממבחן

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

רציפות במ"ש

קירוב ליניארי

עזרה בפתרון שאלה

מישפט היינה בורל

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

בקשה

שאלה אלמנטרית

חתכי דדקינד

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כלל לופיטל

כלל לופיטל

מבחני קושי ודלמבר

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

ציונים

איקס בריבוע

שאלה קלה מדי?

פתרון של הבחינות

תשובה

תשובה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 7: / שורה 7: @@
 *[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 3| ארכיון 3]]
 *[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]
 =שאלות=
-==הבוחן==
-כמה זמן יהיה לנו לפתור את הבוחן?
-כמה שאלות יהיו לנו?
-מה יהיה המבנה שלו?
-אפשר בבקשה לקבל בחנים להכנה (חוץ מהבוחן של שנה שעברה) ופרוט על המבנה של הבוחן והזמן שיתנו לנו לעשות את הבוחן כדי שנוכל להיות מוכנים יותר טוב לפני הבוחן?
-אני אישית קראתי את כל החומר שכתבנו בהרצאה, אבל אני אשמח אם תעלו הסבר שלכם איך להתקונן, זה מאוד יעזור.. תודה רבה ובהצלחה לכולם ביום ראשון
-:לפי מה שידוע לי, יהיו 4 שאלות, מתוכן לבחור 3. נראה לי שהבוחן שעה וחצי, אבל אני ממש לא בטוחה. גם אני אשמח לתשובות לכל הדברים ששאלת.
+== הערה בקשר למבחן ביום שני ==
-:: שנה שעברה גם היה בונוס בבוחן שלהם, זה היה דבר חד פעמי או שיש סיכוי שגם השנה יעשו את זה?
-==בוחן לקבוצה של אפי==
+אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
-יש אפשרות שתגידו לנו מה יהיה סגנון השאלות בבוחן? לצטט משפטים? שאלות כמו בתרגילים?
-:נראה לי שאפי לא נכנס לפה, אבל אולי מישהו אחר יודע את סגנון השאלות?
-::ברור שהשאלות יהיו כמו בתרגילים. אחרת כמו מה הן כבר יכולות להיות?!? לא נראה לי שמטרתו של הבוחן היא להתחכם איתנו או להכשיל אותנו. לא יודע לגבי סגנון השאלות, וזו שאלה טובה. אולי שמישהו ישלח לו מייל? בכל אופן, להבא פרסם את שאלותיך בתחתית הדף ולא בחלקו העליון. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-==שאלה כללית==
+אשמח אם תתחשבו בנו.
-אם לסדרה יש גבול חלקי אחד ויחיד ז"א שהסידרה מתכנסת לגבול זה?
-:בשאלה 2.b בתרגיל 4 אתם נדרשים להוכיח את זה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:30, 8 בנובמבר 2010 (IST)
+:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.
-::בהוכחה שלי לשאלה זאת הנחתי כמו ברמז שהגבול הוא משהו אחר ואז הגעתי לסתירה. אבל מה אם הגבול בכלל לא קיים?
-::מצב כזה יכול בכלל להתרחש?
-:::אם כך, לא הוכחת את מה שהיה צריך להוכיח. כאשר רשום להוכיח שהגבול הינו L הכוונה שצריך להראות שיש גבול והוא L. מה שרשום שם אומר במפורש שאם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים (זה בפרט המקרה של קיום גבול חלקי יחיד) אזי הסדרה מתכנסת לגבול הזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:18, 9 בנובמבר 2010 (IST)
-== תיקון שאלה 4 תרגיל 5 ==
-על איזה תיקון בשאלה 4 תרגיל 5 אתה מדבר? בתרגיל עצמו לא מופיע תיקון...
+מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
+http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/
-:לא רשום תיקון הוא פשוט מתוקן. היה בצד הימני n+1 במקום n-1, זה הכל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:46, 9 בנובמבר 2010 (IST)
+אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
+::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.
-== בקשה לפתרון הבוחן ==
+http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
-שלום רב,
+== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
-אמנם הבוחן של הקבוצה של פרופסור זלצמן הוא ב-22/11 אבל לקבוצות של התיכוניסטים (ד"ר הורוביץ וד"ר שיין) יש בוחן ב-14/11. אני מאמין שאני מדבר בשמם של כל התיכוניסטים בבקשה להעלות את הפתרון לאתר עוד לפני הבוחן שלנו, זה מאוד יעזור לנו. תודה בכל מקרה! [[משתמש:Gordo6|גל]].
+מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
+תודה.
+:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
+:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
+:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
+:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
+:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.
-:רוב השאלות ממילא הם משיעורי הבית. חוצמזה, זה בוחן ממש קל אני בטוח שתתמודדו. אם יש שאלה ספציפית מוזמנים לשאול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:16, 9 בנובמבר 2010 (IST)
+== שאלה על פתרון שאלה ==
-::בסדר גמור. לי יש בעיה בקטע של הגדרת שלילת הגבול, אם תוכל לצטט כאן (שוב) את ההגדרה אודה לך מאוד.
-:::כפי שההפך מהמשפט ''לכל סיר יש מכסה שמתאים לו'' הוא ''קיים סיר שכל המכסים אינם מתאימים לו'', L אינו גבול של הסדרה a_n אם קיים <math>\epsilon>0</math> כך שלכל <math>N\in\mathbb{N}</math> קיים <math>n>N</math> כך שמתקיים <math>|a_n-L|\geq\epsilon</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:30, 9 בנובמבר 2010 (IST)
-::::יש לי שאלה לגבי זה (לא גל)- אפילו שאני יודע ששלילת הגבול היא כמו שאמרת, לכל N קיים n>N, אבל למה לא הופכים שת הקיים n>N ל-לכל n<N כמו שאמר לנו המתרגל שבשלילת משפט, צריך להפוך כל קיים ל-לכל ולהפך (וכן להפוך כל אי שוויון)? כלומר איך יודעים איזה חלקים במשפט להפוך ואיזה לא? תודה!
-:::::לדעתי זה משום שרוצים להביא לסתירה עם הגדרת הגבול, ואם נהפוך את הסימן כפי שאמרת לא נקבל סתירה להגדרת הגבול. מעבר להפיכת הסימנים צריך להפוך בחוכמה, ולראות איזה שינוי סימן יעזור לסתור את ההגדרה ואיזה לא יעזור לסתור אותה.
-::::::מה שאמרת לא הגיוני, כי בזמן ששוללים את המשפט לא "יודעים" מתי נקבל סתירה להגדרת הגבול, זה מה שמנסים לעשות...
-::::::לכל הופך לקיים, קיים הופך ללכל ומתקיים הופך ללא מתקיים. לכן ההפך מ'מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math> הוא 'מתקיים <math>|a_n-L|\geq \epsilon</math>' כי זו השלילה של המשפט, אנחנו לא סתם מחליפים כל 'גדול' ב'קטן'. תחשוב על המשפט 'לכל המתרגלים קוראים ארז', ההפך שלו הוא 'יש מתרגלים ששמם אינו ארז'. שים לב שלא הפכנו את 'שמם' או 'ארז'. הופכים רק את '''קיים''', '''לכל''' ו'''מתקיים'''. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:33, 10 בנובמבר 2010 (IST)
-:::::::מה?? לא הבנתי את 2 החלקים הראשונים של תגובתך. חוץ מזה, צריך הרי להפוך גם את האי שוויונים, אז למה לא הופכים את ה"אפסילון גדול מאפס" ל"אפסילון קטן מאפס"? [אני יודע, מן הסתם, לפי האינטואיציה, שהמשפט הנכון הוא עם אפסילון גדול מאפס, ואם המשפט היה עם אפסילון קטן מאפס אז הוא לא היה הגיוני, אבל אני רק רוצה לדעת "למען הפרוטוקול" למה לא הופכים את הקטע עם האפסילון, בעוד שאמורים להפוך את האי שוויונים.] תודה
-::::::::תקרא בבקשה שוב את דברי, במיוחד את הסיכום. '''לא צריך להפוך את אי השיוויונים'''. אי השיוויון התהפך רק מכיוון שהוא חלק ממשפט '''מתקיים ש...''' במקום לומר '''לא מתקיים n>3''' אנו אומרים '''מתקיים n קטן שווה 3'''. אני חוזר שנית, הופכיים בלבד את 'לכל', 'קיים', ו'מתקיים'. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:23, 10 בנובמבר 2010 (IST)
-:::::::::אבל הפכת את האי שוויון עם האפסילון, וכן כתוב לפני האי שוויון עם האפסילון "קיים"
+תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
+:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
+::אוקי.
-היה רשום -
+== עזרה בשאלה ממבחן ==
-'''לכל''' אפסילון גדול מאפס '''קיים''' N כך ש'''לכל''' n>N '''מתקיים''' an-L קטן מאפסילון.
+תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
-לאחר השלילה, המשפט הינו:
+:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
+::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
+:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
+::::אוקי..
-'''קיים''' אפסילון גדול מאפס כך ש'''לכל''' N '''קיים''' n>N כך ש'''לא מתקיים''' an-L קטן מאפסילון.
+== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
-זו השלילה, החלפנו רק את ה''לכל'', ''קיים'' ו''מתקיים''. כעת, ניתן לשים לב ש
+יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
+:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
+:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
+:::::אכן.
-לא מתקיים שan-L קטן מאפסילון <math>\iff</math> מתקיים שan-L גדול שווה אפסילון.
+== רציפות במ"ש ==
---[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:21, 10 בנובמבר 2010 (IST)
+מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
+:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)
-:תודה
+== קירוב ליניארי ==
-== תרגיל 4 שאלה 2 ==
+היי ארז,
-בשלב מסוים בהוכחה, הגעתי לשלב שבו צריך להוכיח שהגבול של 1 חלקי אינפימום של an שווה לאחד חלקי הגבול של (..). זה נכון וקל להוכיח (הוכחנו בהרצאה), חוץ מכשהאינפימום של an שווה 0, ואז זה לא נכון. מה לעשות- מותר להניח שהאינפימום של an לא שווה 0?
-===תשובה===
+באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....
-לא מותר להניח את זה, הרי רק נתון שאיברי הסדרה גדולים מאפס, תיאורטית אולי הם שואפים לאפס? יש להוכיח שהוא אינו אפס אם רוצים להשתמש בזה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:53, 10 בנובמבר 2010 (IST)
-:אבל אי אפשר להוכיח שהוא אינו אפס- כי הוא יכול להיות אפס! למשל כשאיברי הסדרה הם <math>1/n</math>!
-::האם <math>\frac{1}{n}</math> הינה סדרה שמקיימת את תנאי השאלה? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:19, 10 בנובמבר 2010 (IST)
-:::כן, כל האיברים גדולים מאחד (אלא אם אתה מתכוון לתנאי השני הזה)
-::::אני מתכוון לכל התנאים בשאלה, מן הסתם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:56, 10 בנובמבר 2010 (IST)
-:::::אז אתה מתכוון שבעזרת הנתון (המסובך) הזה אני צריך להוכיח שהגבול הנ"ל אף פעם לא שווה אפס?
-::::::אין צורך להתעסק עם גבולות, יש רק inf וsup (ראה הגדרה בעמוד הראשי). זה מסובך ברמה של: נתון ab=1 הוכח a שונה מאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:27, 10 בנובמבר 2010 (IST)
-:::::::אבל (נראה לי ש)זה לא נכון, ראשית כי כן צריך להשתמש בגבולות, מכיוון שהמשפט שאני צריך להסתמך עליו הוא שאם הגבול של סדרה שאיבריה שונים מאפס שואף לגבול ששונה מאפס אזי 1 חלקי הסדרה שואף לאחד חלקי הגבול; שנית כי הביטוי <math>lim inf {an} = sup inf {an} </math>  לא מופיע בנתון, כלומר הוא לא אף אחד מ a או b במשפטך. סלך לי אם אני מציק, אני רק מנסה להבין בצורה נכונה!
-::::::::אין צורך להשתמש במשפט שציינת (אריתמטיקה של גבולות), זה אפשרי, אבל לא חובה. אפשר להוכיח ישירות מההגדרה של liminf וlimsup ולשם מכוון הרמז כמובן. אני לא מבין מה הקשר בין השיוויון שרשמת למשהו, אבל בהחלט limsup an הוא אחד הביטויים במכפלה, ולכן שונה מאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:30, 10 בנובמבר 2010 (IST)
-:::::::::'''limsup an לא שווה לאפס על פי הנתון אבל זה לא עוזר לנו. צריך ש liminf an יהיה לא שווה לאפס. אי אפשר להוכיח את זה בעזרת הנתון!'''
-::::::::::אם אתה כל כך בטוח שלא ניתן להוכיח את זה, אתה מוזמן להביא דוגמא נגדית שמפריכה את זה. (או פשוט לעשות 'אחד-חלקי' בשני צידי המשוואה בסעיף a ואז להוכיח אותה...) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:11, 11 בנובמבר 2010 (IST)
-:::::::::::אני לא אומר שאי אפשר להוכיח את זה,,, אני אומר שאי אפשר להוכיח את זה איך שאמרת, בגלל שהנתון אומר לנו ש limsup an לא שווה אפס, אבל זה לא משנה לנו,,, אנחנו צריכים ש liminf an לא יהיה שווה לאפס!!
-::::::::::::תקרא את ההערה שלי לגבי 'אחד-חלקי' ותראה שאתה לא צריך ישירות שliminf יהיה שונה מאפס (פשוט תתחיל מ<math>\limsup \frac{1}{a_n}</math>) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:06, 11 בנובמבר 2010 (IST)
-::::::::::::::לא נראה לי שהבנת אותי: יש 2 דרכים להגיע למה שצריך להוכיח:
-::::::::::::::1) <math>limsup{1/an} =(natun)= 1/(limsup{an} =(*)=1/liminf{an}</math> שבדרך הזאת אי אפשר, כי שלב ה* זה בעצם מה שצריך להוכיח.
-::::::::::::::2) <math>limsup{1/an} =(targil2,8)= lim(1/inf{an}) =(*)= 1/(liminf{an}</math> ופה שלב הכוכבית זה מה שאני מבקש להוכיח. אם כן הבנת אותי נכון וניסית להסביר לי איך להוכיח את שלב הכוכבית בדרך 2, אז לא הבנתי איך אפשר להוכיח את זה על ידי לעשות אחד חלקי.
-:::::::::::::::זו אריתמטיקה של גבולות. אם g_n שואף לגבול שונה מאפס, אז אחד חלקי g_n שואף לאחד חלקי אותו גבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:36, 12 בנובמבר 2010 (IST)
+איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?
-::::::::::::::::
-::::::::::::::::::'''תבין: כמו שאמרתי קודם-- זה נכון רק כל איברי הסדרה שונים מאפס. אבל liminf{an} יכול להיות שווה אפס!!!!!!!!!! מה עושים???'''
-== גבול חלקי ==
+תודה!
-האם אפשר לומר שliminf של סדרה הוא החסם התחתון שלה בהכרח?
+:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)
-===תשובה===
+== עזרה בפתרון שאלה ==
-לא. לסדרה אין חסם תחתון (אין כזו הגדרה) ניתן להסתכל על החסם התחתון של הקבוצה המכילה את כל איברי הסדרה, וגם אז התשובה היא לא. אם זה היה נכון, ההגדרה הייתה הרבה יותר פשוטה, לא? אנחנו לא מסבכים את העניינים סתם.
+שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!
-דוגמא נגדית:
+:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
-<math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>. גם הlimsup וגם הliminf של הסדרה שווים לאפס. אבל החסם העליון והתחתון של הקבוצה המכילה את איברי הסדרה הינם מינוס אחד וחצי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:22, 10 בנובמבר 2010 (IST)
+::תודה.
-== תרגיל 4 שאלה 2 ==
+== מישפט היינה בורל  ==
-אני לא מבין איך אמורים להוכיח שהגבול שווה L, כלומר איך להוכיח שמגיעים לסתירה בשלילת הגבול, אם כל מה שידוע לנו שהגבול העליון והתחתון שווים לL. אף פעם לא למדנו על שום קשר בין הגבול של הסדרה לגבול העליון והתחתון ולכן התרגיל הזה הוא בגדר בלתי אפשרי בעליל.
+מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
+:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-:למדנו שמספר הוא גבול חלקי של סדרה אם הוא גבול של תת סדרה שלה. למדנו את הגדרת שלילת הגבול. למדנו את משפט בולצנו וירשטראס. ולמדנו עוד הרבה דברים מגניבים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 21:47, 10 בנובמבר 2010 (IST)
+תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית
-::ררררגע: אי אפשר להגיד ש <math>inf{a_n}<a_n<sup{a_n}</math> (קטן שווה לא קטן) ולכן עפ טענת הסנדביץ an שואף לL?
-:::תלוי למה אתה מתכוון בביטויים שרשמת. מה זה <math>inf\{a_n\}</math> ? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:15, 11 בנובמבר 2010 (IST)
-::::האינפימום של an...?
-:::::an היא סדרה, לסדרה אין אינפימום. יש אינפימום לקבוצה המכילה את איברי הסדרה, מהכיוון הזה יכול להיות הגיון בדברים, ויש את הlimsup וliminf לגביהם אי השיוויון הנ"ל לא נכון באופן כללי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:14, 11 בנובמבר 2010 (IST)
-::::::כן ארז, האינפימום של הקבוצה שמכילה את הסדרה.
-:::::::את כל הסדרה? כלומר <math>\{a_1,a_2,....\}</math>? אם כן אז אין לך נתונים על המספר הזה - הוא לא שווה לliminf או limsup. אם תגדיר אבל נכון, ותיקח גבול בשני הצדדים, אתה יכול לפתור את התרגיל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:59, 11 בנובמבר 2010 (IST)
-::::::::התכוונתי של הקבוצה bn של כל איברי an מהמקום הn  (כמו תמיד!!!!!!!!!!!!). ואפשר להגיד ש liminfan<an<limsupan לכן an שואף לL מ.ש.ל?
-:::::::::אפשר לומר ש<math>\forall n: c_n\leq a_n \leq b_n</math> וכמו כן <math>\limsup a_n = \lim b_n</math> וגם <math>\liminf a_n = \lim c_n</math> ולכן סנדביץ ולכן משל. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 22:06, 11 בנובמבר 2010 (IST)
-::::::::::תודה
-== שאלה 7 תרגיל 5 ==
+אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
+:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
+:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
+::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)
-האם מדובר בסדרה שורש 5+....?
+== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
-אחרת מה המשמעות???
-:אני לא מבין את השאלה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:16, 11 בנובמבר 2010 (IST)
+<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
+:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
+:{{הערה|חזרתי:}}
+{|
+{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
+   |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
+}}
+{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
+}}
+{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
+}}
+{{=|r=1\cdot e^{-2}
+}}
+{{=|r=1
+   |o=<
+}}
+|}
+:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
+פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה
-== תרגיל 4 ש'  6 ==
+== בקשה ==
-דברים לא מובנים:
+שלום רב,
-- לא צריך תנאי התחלה, אנחנו אמורים להביע את an כפונקציה של a1?
+למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
+תודה מראש!
+:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
+::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
+:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
+::::או, זה יפה ^^
-- מתכוונים שצריך להביע ממש את an כפונקציה של n (בלתי אפשרי) או שצריך להביע את a2n ואת a2n+1 כפונקציות של n?
+== שאלה אלמנטרית ==
-- אם מצאתי כמה (מס סופי) של תת סדרות ששואפות לכמה גבולות, והסדרות האלה "מכסות" את כל an (אין לי כוח להגדרה מדויקת, זה היה בתרגול), אז לפי משפט מהתרגול אפשר להגיד שאלה כל הגבולות החלקיים של הפונקציה, כלומר סיימנו את התרגיל. אז מה צריך להוכיח באינדוקציה אם ככה, ולמה?
+המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?
+:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
-===תשובה===
+::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
--כן.
--זה אותו דבר, מה ההבדל? לצורך העניין - כן, למצוא נוסחא לזוגיים ונוסחא לאי-זוגיים.
+:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
--להוכיח את הנוסחא כפונקציה של n באינדוקציה.
+== חתכי דדקינד ==
-:זה בכלל לא אותו דבר. זה מטעה את הסטודנטים!
-::מהנסיון שלי סטודנטים טועים לבד. או במילים אחרות - נו באמת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:06, 11 בנובמבר 2010 (IST)
-== תרגיל 5 לבוחן? ==
+לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.
-אני בקבוצה של אדוארד ואצלו צריך להגיש את תרגיל 4 ביום ראשון הקרוב, שזהו גם היום בו יתקיים הבוחן.
+שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
+:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
-אז השאלה היא אם כדאי כהכנה לבוחן לעשות גם את תרגיל 5, האם הוא מתאים בחומר שלו?
+::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
+:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
+::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
+:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..
-:אני לא יודע לגבי הקבוצה של אדוארד. אני לומד אצל אפי, ואצלנו תרגיל 5 כן מתאים לבוחן, למרות שביום הבוחן נגיש גם אנחנו רק את תרגיל 4. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-::טוב, תודה. זה אותו הבוחן, לא?
+http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
+:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
+'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
+::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...
-:::לא יודע, תלוי אם הוא יכלול גם את מה שאתם למדתם על חתכי דדקינד וכל אלה (שאצל ד"ר הורוביץ הם לא נלמדו עדיין). אם כן - אז וודאי שהבחנים יהיהו שונים. אם לא - ייתכן שהם יהיו זהים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==
-::::אין חתכי דדקינד, לא למדנו אותם בתרגול בכלל. יש אולי מישהו "מלמעלה" שיכול להגיד לי תשובה בטוחה ב-100%?
+כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
+ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.
-== חידוד הגדרת הגבול העליון ==
+למה זה נכון?
-עפ"י הגדרת הגבול העליון: תהי סדרה<math>a_{n}</math>. נגדיר סדרה <math>b_{n}</math> באופן הבא:<math>b_{n}= sup\left \{ a_{n},a_{n+1}... \right \}</math> אזי <math>\lim_{n \to \infty } sup a_{n}= inf \left \{ b_{1},b_{2},b_{3}... \right \}</math>.
+:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)
-נגדיר: <math>\left \{ a_{n} \right \}= 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}</math> במקרה כזה עפ"י ההגדרה מה אמור להיות הגבול העליון, האם  <math>\lim_{n \to \infty }sup a_{n}=1</math>, או שהוא בעצם: <math>\lim_{n \to \infty }sup a_{n}=\frac{1}{5}</math>?
-:אני לא מבין, הסדרה עוצרת כך סתם פתאום? סדרה חייבת להיות אינסופי. אם היא ממשיכה בחוקיות הזו היא מתכנסת לאפס ולכן גם הlimsup שלה שווה אפס. תחשב את הb_n ואז את הinf שלהם ותווכח בעצמך. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 05:00, 12 בנובמבר 2010 (IST)
+== כלל לופיטל ==
-== אם מונוטונית אז מתכנסת אז תת סדרה שלה גם מתכנסת? ==
+כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
+:למדנו את זה אז כנראה שכן...
-נתון שסדרה מונוטונית, אז עפ"י משפט היא מתכנסת, האם נכון לומר בעקבות כך שכל תת סדרה שלה גם מתכנסת (במובן הרחב/צר)? ואם כן, האם גם נכון לומר שכל תת סדרה שלה מונוטונית(יורדת/עולה/לא ממש עולה/לא ממש יורדת)?
+== כלל לופיטל ==
-:<span style="font-size: 0.8em;">לא מתרגל</span> כל תת סדרה של סדרה מתכנסת מתכנסת בעצמה לאותו הגבול. אם נתון שסדרה מונוטונית אזי היא מתכנסת במובן הרחב. כמו כן תת סדרה של סדרה מונוטונית היא מונוטונית בעצמה (מאותו סוג: עולה/יורדת...). [[משתמש:לידור.א.|-לידור.א.-]] 11:09, 12 בנובמבר 2010 (IST)
+האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?
-== שאלה ==
+:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
-בתרגיל 3 הוכחנו שהסדרה <math>(1+x/n)^n</math> מתכנסת ל <math>e^x</math>. האם זה נכון גם ש  <math>(1+x/a_n)^{a_n}</math> מתכנסת ל <math>e^x</math>? (התכוונתי לan בחזקה.) אם כן, אפשר להגיד את זה ללא הוכחה? תודה!
+== מבחני קושי ודלמבר ==
-:{{לא מתרגל}}זה נכון כי:
-:{|
-{{equation|l=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{a_n}\right)^{a_n}
-          |r=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x\cdot\tfrac1 x}{a_n\cdot\tfrac1 x}\right)^{a_n}
-          |c=עבור <math>x\ne0</math> (עבור x=0 - טריוויאלי):
-}}
-{{equation|r=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{b_n}\right)^{b_n\cdot x}
-          |c=נגדיר <math>b_n=a_n\cdot\tfrac{1}{x}\to\infty</math>:
-}}
-{{equation|r=e^x
-}}
-|}
-:אבל אני לא יודע אם צריך להוכיח. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]][[שיחת משתמש:אור שחף|<sup>שיחה</sup>]] 15:11, 12 בנובמבר 2010 (IST)
+מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
+:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.
+== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==
+צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
+:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
+מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
+:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
+::כן, תיכוניסט. תודה
+:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich
+== איקס בריבוע ==
+איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
+:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
+::תודה.
+== שאלה קלה מדי? ==
+צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
+:מישהו יודע?
+== פתרון של הבחינות ==
+הי ארז,
+ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?
+אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.
+כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?
+שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
+===תשובה===
+שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.
-== תרגיל 4 שאלה 4 ==
+לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.
-כתוב "מצא" את הגבול. מעל לכל ספק, המילה "מצא" אומרת שצריך למצוא ולכתוב את גבול הסדרה, מבלי חובת הוכחה שזהו הגבול. בבקשה תגידו שאני צודק?
+====תשובה====
+אוקי, שוב תודה :-)