גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

חזרה לדף הקורס

גלול לתחתית העמוד

תוכן עניינים

1 הוספת שאלה חדשה
2 ארכיון
3 שאלות

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.

אשמח אם תתחשבו בנו.

מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.

מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/

אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..

ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

שאלה בקשר למבחן ביום שני

מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות? תודה.

תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:

יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.

תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.

כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.

גל א.

לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.

שאלה על פתרון שאלה

תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!

אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --ארז שיינר 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי.

עזרה בשאלה ממבחן

תהי {an} כך שלכל K טבעי $a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0$ , וגם ש $lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0$ . הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!

יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --ארז שיינר 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)

הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?

הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --ארז שיינר 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)

אוקי..

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב $lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)$ . תודה מראש

אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, גל א.

לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.

Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}

כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, גל א.

נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?

אכן.

רציפות במ"ש

מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?

f(x)=xsinx

ו

x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}

. אזי

f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0

--ארז שיינר 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)

קירוב ליניארי

היי ארז,

באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....

איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?

תודה!

אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --ארז שיינר 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)

עזרה בפתרון שאלה

שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[1]]. תודה!

לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו,

\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0

בסתירה. --ארז שיינר 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)

תודה.

מישפט היינה בורל

מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה

"יהי

K

קטע סגור, ויהיו

\{I_a\}_{a\ in\ A}

קטעים פתוחים ב-

\R

כך ש-

K

מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-

K

מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי גל א.

תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום בצורה קצת פחות פורמלית

אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות

"תהי

S

קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, גל א.

אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.

בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?

אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --ארז שיינר 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

$\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}$

(לא מתרגל/ת): מתכנס, אני מיד אכתוב למה.

חזרתי:

$\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }$	$=$	$\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }$
$\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)$	$=$
$\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}$	$=$
$1\cdot e^{-2}$	$=$
$1$	$<$

והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס.

\blacksquare

פשש זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה

בקשה

שלום רב, למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.

יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!

(לא מתרגל/ת): הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור

\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}

מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן

\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0

ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית),

\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty

. אח"כ, מכיוון ש-

\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1

, מתקיים

\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1

ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף.

\blacksquare

או, זה יפה ^^

שאלה אלמנטרית

המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?

גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.

זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --ארז שיינר 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)

ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".

חתכי דדקינד

לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.

שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!

מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)

לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה

A_n/A_{L-\epsilon}

מוכלת ב-

(L-\epsilon,L)

. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.

התבלבלת, מה זה An/A_L-e?

לא התבלבלתי, זה הקבוצה

A_n

בלי הקבוצה

A_{L-\epsilon}

. תיזכר בסימונים של בדידה.

אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..

http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf

לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.

מי כתב את הפתרון הזה?

זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג ש< $e^{(x^2)}$ רציפה במ"ש.

למה זה נכון?

זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן ההרכבה רציפה במ"ש. --ארז שיינר 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)

כלל לופיטל

כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?

למדנו את זה אז כנראה שכן...

כלל לופיטל

האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?

לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --ארז שיינר 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)

מבחני קושי ודלמבר

מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!

אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)
או שזה כתוב במבחן?

הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. גל א.

ציונים

מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה

יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.

כן, תיכוניסט. תודה

הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich

איקס בריבוע

איך מוכיחים ש- $x^2$ לא רציפה במ"ש? תודה.

(לא מתרגל/ת): ראה פתרון תרגיל 8, שאלה 9.

תודה.

שאלה קלה מדי?

צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב בארכיון 15)

מישהו יודע?

פתרון של הבחינות

הי ארז,

ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?

אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.

כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?

שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).

תשובה

שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.

לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו $[0,\infty)$ ולכן זה פתרון תקין.

תשובה

אוקי, שוב תודה :-)

הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא"

גרסה אחרונה מ־15:34, 5 בפברואר 2011

תוכן עניינים

הוספת שאלה חדשה

ארכיון

שאלות

הערה בקשר למבחן ביום שני

שאלה בקשר למבחן ביום שני

שאלה על פתרון שאלה

עזרה בשאלה ממבחן

עזרה בשאלה נוספת ממבחן

רציפות במ"ש

קירוב ליניארי

עזרה בפתרון שאלה

מישפט היינה בורל

עזרה בבדיקת היתכנסות הטור

בקשה

שאלה אלמנטרית

חתכי דדקינד

בפתרון למבחן של זלצמן 2010

כלל לופיטל

כלל לופיטל

מבחני קושי ודלמבר

חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ

ציונים

איקס בריבוע

שאלה קלה מדי?

פתרון של הבחינות

תשובה

תשובה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים

@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 *[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 4| ארכיון 4]]
 *[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 45| ארכיון 5]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 6| ארכיון 6]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 7| ארכיון 7]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 8| ארכיון 8]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 9| ארכיון 9]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 10| ארכיון 10]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 11| ארכיון 11]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 12| ארכיון 12]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 13| ארכיון 13]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 14| ארכיון 14]]
+*[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15| ארכיון 15]]
 =שאלות=
-==הבוחן==
+== הערה בקשר למבחן ביום שני ==
-כמה זמן יהיה לנו לפתור את הבוחן?
-כמה שאלות יהיו לנו?
-מה יהיה המבנה שלו?
-אפשר בבקשה לקבל בחנים להכנה (חוץ מהבוחן של שנה שעברה) ופרוט על המבנה של הבוחן והזמן שיתנו לנו לעשות את הבוחן כדי שנוכל להיות מוכנים יותר טוב לפני הבוחן?
-אני אישית קראתי את כל החומר שכתבנו בהרצאה, אבל אני אשמח אם תעלו הסבר שלכם איך להתקונן, זה מאוד יעזור.. תודה רבה ובהצלחה לכולם ביום ראשון
-:לפי מה שידוע לי, יהיו 4 שאלות, מתוכן לבחור 3. נראה לי שהבוחן שעה וחצי, אבל אני ממש לא בטוחה. גם אני אשמח לתשובות לכל הדברים ששאלת.
+אני תלמיד של מיכאל שיין ולא היה לנו תרגול אחד על חתכי דדקינד בכל הסמסטר ואני בספק אם מישהו יודע איך לפתור את התרגילים בנושא חתכי דדקינד.
-:: שנה שעברה גם היה בונוס בבוחן שלהם, זה היה דבר חד פעמי או שיש סיכוי שגם השנה יעשו את זה?
-:::זו שאלה של תיכוניסטים או חברה רגילים?
-:::: של תיכוניסטים, דיברתי על הבוחן משנה שעברה שיש פה באתר
-::::: אל תבלבל, זה בוחן של הרגילים משנה שעברה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:11, 13 בנובמבר 2010 (IST)
-:::::: ארז, אתם יכולים להגיד לנו כמה זמן יהיה לבוחן או לענות על השאלות ששאלתי מקודם?? זה יעזור לי להתקונן לבוחן, למרות שלא נשאר הרבה זמן
-::::::: אני לא יודע, אני לא המתרגל שלכם. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:15, 13 בנובמבר 2010 (IST)
-== תרגיל 4 שאלה 4 ==
+אשמח אם תתחשבו בנו.
-כתוב "מצא" את הגבול. מעל לכל ספק, המילה "מצא" אומרת שצריך למצוא ולכתוב את גבול הסדרה, מבלי חובת הוכחה שזהו הגבול. בבקשה תגידו שאני צודק?
+:מצטרפת. לא היו שיעורי בית בנושא, בהרצאה לא פתרנו תרגילים, ואין במיזלר. אשמח אם תענו לי למטה על השאלה לגבי חתכי דדקינד.
-:ברור שצריך להוכיח. במתמטיקה '''תמיד''' צריך להוכיח. אחרת איך תדע שמצאת? --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 04:36, 13 בנובמבר 2010 (IST)
-::אינטואיציה. =]
-== תרגול 5 שאלה 3  ==
+מצטרף גם.. אין לנו מושג איך לגשת לתרגילים האלו כי אף פעם לא הראנו לנו איך לפתור תרגילים כאלה.. אפשר להעלות חומר ללימוד או לפחות פתרון לתרגיל שאדווארד העלה לאתר:
+http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/
-אפשר לישפוך קצת יותר אור על תנאי קושי.. אני לא מבין את הדוגמאות שפירסמתם כלומר ברור לי שצריך להוכיח שהחל מימקום מסויים האיברים של הסידרה מצטופפים יותר ויותר אבל למה בדוגמא השניה למשל פי בריבוע כפולan-1*an-2 קטן מהביטוי הראשון כלומר לא מובן לי מה העיקרון בפיתרון הזה?
+אני חושב שכמעט אף אחד בקבוצה לא יודע לפתור תרגילים כאלה..
+::ואם מישהו יודע (ולא נראה לי), אז הוא בטוח למד ממקור נוסף שאני לא מכירה.
-:נתון לך בשאלה הזו שההפרש בין כל שני איברים צמודים קטן מp כפול ההפרש בין שני האיברים הקודמים. לכן, ההפרש בין שני איברים קטן שווה מp בריבוע כפול זוג האיברים הקודם לקודמים. נניח הייתה סדרה שכל איבר בה גדול פי 2 מהאיבר הקודם, אז בסדרה הזו כל איבר גדול פי 4 מהאיבר הקודם לקודם. אין לזה קשר לתנאי קושי, זה אלגברה ואינדוקציה רגילים. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 04:56, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
-== עזרה קצרה ==
+== שאלה בקשר למבחן ביום שני ==
-יהיו שתי קבוצות חסומות A,B. אז האם זה נכון ש <math>sup{A+B}=supA+supB</math> וכנ"ל עם Inf? (כאשר הגדרת הקבוצה A+B ברורה, סכומי האיברים מהקבוצות.) תודה!
+מישהו יכול בבקשה לפרט אילו שאלות עלולות להופיע במבחן באינפי 1 ביום שני? יופיעו שאלות חישוביות?
+תודה.
+:תלוי באיזו קבוצה אתה. אם אתה אצל התיכוניסטים, מבנה המבחן הוא כדלקמן:
+:יש שש שאלות ואין בחירה ביניהן, סה"כ זמן המבחן שעתיים וחצי. כל שאלה 18 נקודות = סה"כ 108 נקודות.
+:תהיה שאלה על סדרות, על טורים, על פונקציות (גבולות וכדומה), רציפות/רציפות במ"ש, נגזרות ויישמון של נזגרות (טיילור, לופיטל וכו...). עבור תלמידיו של ד"ר שיין - יהיו חתכי דדקינד במקום ישומי הנגזרות.
+:כל מה שנכתב כאן נאמר על ידי ד"ר הורוביץ.
+:[[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::לא בדיוק - גם בקבוצה של שיין לופיטל בחומר.
-:עבור האינפימום זה בטוח נכון, הוכחנו את זה בתרגיל 1 שאלה 3 של אדוארד: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich ולדעתי זה נכון גם לסופרימום.
+== שאלה על פתרון שאלה ==
-:אבל אם אתה צריך את זה לתרגיל 4 שאלה 5 אז לא נראה לי שזה עוזר, כי כשאתה עושה סכום של קבוצות אתה מחבר כל איבר עם כל איבר. לעומת זאת בסכום של סדרות אתה מחבר רק את הראשון עם הראשון, השני עם השני, וכך הלאה. אז אפשר לקחת שתי סדרות - אחת עולה ואחת יורדת, ואז זה לא נכון.
+תרגיל 10 (http://www.math-wiki.com/images/d/db/10Infi1Targil10Sol.pdf) שאלה 2- כתבתם שקיים M כך ש fx<M>-אמ. אבל אז בפונקציה g לקחתם את הערך 1/M+1 - והרי איך אפשר לדעת בוודאות שהפונקציה רציפה בו (צריך שהיא תהיה רציפה כדי להשתמש במשפט ערך הביניים)? אם f חסומה בין שליש למינוס שליש, אז 1/M+1 הוא 4, והפונקציה מ2 ל4 לא בהכרח רציפה!
-::כן, התכוונתי להשתמש בזה בשאלה 5, להגיד שבגלל ש2 הסדרת חסומות אז מתקיים הכלל הזה ואז <math>limsupA+B=inf supA+B=inf(supA+supB)=infsupA+infsupB</math> וזהו, אבל כנראה שהחיים לא כאלה קלים. (אם מה שאמרתי גם היה נכון אז לא היינו צריכים את הנתון שAn מתכנסת, אז זה בטוח לא נכון בכל מקרה.) עכשיו אין לי מושג איך לפתור את התרגיל...
+:אפשר לקחת M גדול כרצוננו, הרי זה חסם. אם היא חסומה על ידי שליש, היא בוודאי גם חסומה על ידי אחד --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:58, 29 בינואר 2011 (IST)
-:::דרך טובה לגשת לתרגיל בlimsup,liminf היא לקחת תת סדרה מתכנסת אליהם (קיימת, כי לפי משפט הlimsup וliminf הם המקס והמינ של קבוצת הגבולות החלקיים של הסדרה). אחרי שהגענו לסדרה מתכנסת, אפשר להשתמש במשפטי אריתמטיקה של גבולות, או מבחן השוואה. אחרי כן אפשר להשתמש בעזרת הידע הזה להוכיח את מה שצריך לגבי הסדרה כולה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:22, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+::אוקי.
-== תרגיל 4 שאלה 5 ובירור כללי ==
+== עזרה בשאלה ממבחן ==
-. זה נכון ש: אם סדרה מתכנסת אז יש לה גבול חלקי אחד, limsup הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, ולכן כאשר <math>a_n</math> מתכנסת, מתקיים <math>limsupa_n=lima_n</math> ?
+תהי {an} כך שלכל K טבעי <math>a_{2k+1}-a_{2k-1}<0 \and a_{2k+2}-a_{2k}>0</math>, וגם ש <math>lim_{n->infinity}a_{n+1}-a_n=0</math>. הוכח שהסדרה מתכנסת. תודה!
-. מה ההבדל (אם יש) בין הסימון <math>sup\{a_n\}</math> לסימון <math>sup(a_n)</math>?
+:יש תת סדרה מונוטונית עולה, ותת סדרה מונוטונית יורדת. אתה צריך להראות ששתיהן חסומות ולכן מתכנסות, ואחר כך שבהכרח לאותו הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:55, 29 בינואר 2011 (IST)
+::הבנתי אותך. רק לא הצלחתי להוכיח שהתת סדרות חסומות. אפשר עזרה?
+:::הסדרה העולה חייבת להיות קטנה מהסדרה היורדת. אם הן היו עוברות אחת את השנייה, ההפרש בין שני איברים עוקבים לא היה יכול לשאוף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:06, 29 בינואר 2011 (IST)
+::::אוקי..
-. אני כבר שעות על שאלה 5, קראתי גם את ה"רמז" בארכיון 4, שבשביל להוכיח ש-<math>limsupa_n+limsupb_n=limsup\{a_n+b_n\}</math> צריך לזכור ש-limsup הוא הגבול החלקי הגדול ביותר, ויש תת סדרה שמתכנסת אליו. אבל אני לא מבינה איך זה עוזר (מלבד מה שכתבתי ב-1), וכבר אין לי שום כיוון לפתרון :(. איך עוזר ש-<math>b_n</math> חסומה? רמז? עזרה?
+== עזרה בשאלה נוספת ממבחן ==
-תודה מראש.
+יהי n טבעי, נניח f מוגדרת וגזירה n פעמים בסביבת 0, ו f0=f'0=f''0=..=f^(n-1)(0)=0 (נגזרות ב0)., f^(n)(0)=5. חשב <math>lim_{x->0}(fx/(sin2x)^n)</math>. תודה מראש
+:אני מניח שלקחת את השאלה הזו מתוך מבחן של ד"ר הורוביץ (עשיתי אותה לפני כעשר דקות). שים לב לרמז שמופיעה מתחתיה (כאשר x->0 יתקיים ש sinx/x->1), היעזר בו למציאת פונקציה שתהיה במכנה שתהיה נוחה לגזירה, והשתמש בכלל לופיטל n פעמים. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::לא הבנתי איך אפשר להשתמש ברמז כדי לפתור את התרגיל- גזרתי את הפונקציה עם לופיטל N פעמים ואף פעם לא היה "x" - רק סינוס, קוסינוס ודברים שקשורים לn. לא הבנתי מה זה אומר למה התכוונת כשאמרת להיעזר בו כדי למצוא פונקציה במכנה נוחה לגזירה.
+:::<math>Lim\frac{f(x)}{(sin2x)^n}=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}*\frac{(2x)^n}{(sin2x)^n}=...=Lim\frac{f(x)}{(2x)^n}</math> כל הגבולות כאשר איקס שואף לאפס. כעת הפונקציה במכנה "נוחה לגזירה". מה הנגזרת ה-nית שלה? הפעל את כלל לופיטל עבור הנגזרת ה-nית, קבל מסקנה עבור הנגזרת ה-(n-1) והפעל את הכלל שוב ושוב עד שתקבל מסקנה על הפונקציה המקורית. מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::::נראה לי שהבנתי. האם הפתרון הוא 5 חלקי N עצרת כפול 2 בחזקת N?
+:::::אכן.
-:ל-2, לדעתי הסימון sup(a_n) לא נכון כי אחרי ה sup אמורה לבוא הקבוצה ללא סוגריים (אולי אפשר עם אבל נהוג בלי) ולכן אם הקבוצה היא A למשל אז רושמים supA ובמקרה הזה בקבוצה היא {an} אז רושמים sup{an}.
+== רציפות במ"ש ==
-:לשאלות 1 ו-3 אני מצטרף...
-::בסדר אז האם מותר לכתוב <math>supa_n</math> ומה ההבדל של זה מ-<math>sup\{a_n\}</math>? תודה.
+מישהו יכול לעזור לי למצוא שתי סדרות כדי להפריך רציפות במ"ש של פונקציות xsinx xcosx?
+:<math>f(x)=xsinx</math> ו<math>x_n=2\pi k, y_n=2\pi k + \frac{1}{k}</math>. אזי <math>f(y_n)-f(x_n)=2\pi k sin(\frac{1}{k}) + \frac{1}{k}sin(\frac{1}{k}) \rightarrow 2\pi + 0 \neq 0</math> --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 17:11, 29 בינואר 2011 (IST)
-===תשובה===
+== קירוב ליניארי ==
-. למדנו משפט שאומר שסדרה מתכנסת אם"ם limsup an = lininf an  ואם כן אזי limsup = liminf = lim
-. אין הבדל. '''שני הסימונים חסרי משמעות''' ולא השתמשנו בהם (אלא אם המרצה השתמש בהם ואז אני לא יודע מה זה אומר). באחת השאלות מישהו השתמש בסימון כאשר הוא בעצם התכוון ל<math>sup\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},...\}</math> שזה הסופרמום של הקבוצה המכילה את איברי הסדרה a_n החל מהאיבר הn-י והלאה.
+היי ארז,
-. עוד רמז. אם a קטן שווה לb ו b קטן שווה לa אזי a=b. תנסי להראות שכל אחד מצדי המשוואה קטן שווה מהצד השני.
+באחד המבחנים ביקשו להגדיר את הקירוב הליניארי ולהסביר את חשיבותו....
---[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:31, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+איך מגדירים זאת בצורה מדוייקת ומה ההסבר הנדרש פה?
-::מה?? איך חידשת לי עכשיו עם המשפט של הסדרה שמתכנסת! אם לא היית אומר את המשפט הזה עכשיו לא היינו יכולים לפתור את התרגיל!!
-:::1. אני בטוח שזה כתוב במחשברת שלך. 2. בתרגיל בו זה מה שצריך להוכיח, אסור להשתמש במשפט, כמובן. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:02, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+תודה!
-::::אני יכול להגיד לך בביטחון מלא  שהקבוצה שלנו לא קיבלה את המשפט הזה לא בהרצאה ולא בתרגול. בהרצאה כנראה כי המרצה פשוט לא הספיק להגיע אל זה, ובתרגול כנראה המתרגל פשוט לא אמר לנו את המשפט הזה.
-:::::אוקיי. בכל מקרה, עכשיו למעשה אתה יודע להוכיח אותו. כיוון אחד ביקשתי מכם להוכיח בשיעורי הבית, והכיוון השני טריוויאלי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 14:17, 13 בנובמבר 2010 (IST)
-:תודה, אנסה! לגבי הסימונים: מה ההבדל בין <math>limsup\{a_n\}</math> לבין <math>limsup(a_n)</math> או <math>limsupa_n</math>? בכלל, איך מסמנים נכון את כל עניין הגבול העליון/תחתון אם לא רוצים להגדיר סדרה חדשה של סופרימומים/אינפימומים? יש לזה סימון מוסכם?
+:אני לא בטוח למה הוא מכוון בשאלה, עניתי על זה בתרגיל החזרה. מגדירים את זה בצורה מדוייקת (יש את הנוסחא בדפי התרגיל) ולדעתי ההסבר הוא שניתן כך להעריך פונקציות מבלי להיות מסוגלים לחשב אותן במפורש כאשר אנו כן יודעים לחשב את הפונקציה ואת הנגזרת קרוב לערך המבוקש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:56, 29 בינואר 2011 (IST)
-::אין הבדלים limsup a_n, זה הגבול העליון של הסדרה a_n (אפשר לשים סוגריים רגילות סביב a_n כאשר זה נוח, זה לא משנה כלום), אין משמעות לסוגריים מסולסלות בהקשר זה. אפשר לראות את כל הסימונים האפשריים [[88-132 סמסטר א' תשעא#הגדרת limsup ,liminf| כאן]]. אין סימון אחר להגדרה --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:46, 13 בנובמבר 2010 (IST)
-:::אז אין דרך קצרה לסמן את <math>inf\{b_1,b_2,...b_n\}</math>, בלי להגדיר את <math>\{b_n\}</math>. טוב, תודה.
-== תרגיל 5  ==
+== עזרה בפתרון שאלה ==
-<math>a_{n+1}-\varepsilon \leq a_{n}\leq a_{n+1}+\varepsilon</math> בישביל להגיד ש an חסומה?
+שאלתי את השאלה קודם, אך אני לא בטוח שהפתרון שנתנו לי נכון, לכן אבקש, ארז, אם תוכל, לבדוק שהפתרון שנתנו אכן נכון. הנה השאלה [[http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%A9%D7%99%D7%97%D7%94:88-132_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90'_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%90#.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.A4.D7.AA.D7.A8.D7.95.D7.9F_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.94]]. תודה!
-האם זה מספיק
-:זו לא ההגדרה של חסומה. אם אתה חושב שזה גורר חסימות צריך להוכיח את זה (וכמובן לנסח את התנאי כמו שצריך, מה זה אפסילון? הוא קבוע? הרי אז בוודאי זה לא נכון - לדוגמא <math>a_n=n</math> מקיימת  <math>a_{n+1} -1 \leq  a_n\leq a_{n+1}+1</math>). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:25, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+:לא קראתי את הפתרון הזה, אבל פתרתי את זה בכיתה בשיעור החזרה. אם a_n אינה קושי, אז היא אינה מתכנסת ולכן הגבול החלקי העליון והתחתון שלה שונים, לכן יש לה תת סדרה ששואפת לעליון ותת סדרה ששואפת לתחתון. ניתן לכן לבנות תת סדרה אחרת כך שאיברים הזוגיים שלה יהיו מהראשונה והאיבריים האי זוגיים שלה יהיו מהשנייה. עבור תת סדרה זו, <math>\lim |a_{n_{k+1}}-a_{n_k}| = \limsup - \liminf \neq 0</math> בסתירה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:52, 29 בינואר 2011 (IST)
-נגיד ו אפסילון קבוע וידוע שהסידרה מיתכנסת
+::תודה.
-::אם הסדרה מתכנסת אז היא חסומה, זה משפט. תחשוב על זה: ניקח אפסילון=1. אזי לכל n>N מתקיים <math>|a_n-L|<1</math>, ואז <math>-1+L<a_n<1+L</math> אז חסם מלעיל הוא <math>M=max\{a_1,a_2,...,a_{[N]},1+L\}</math> וחסם מלרע הוא <math>m=min\{a_1,a_2,...,a_{[N]},-1+L\}</math>, כאשר [N] זה העיגול למעלה של N. והסדרה מקיימת <math>|a_n|<=max\{|M|,|m|\}</math> כי <math>-max\{|M|,|m|\}=min\{-|M|,-|m|\}<=m<=a_n<=M<=max\{|M|,|m|\}</math>
+== מישפט היינה בורל  ==
-האא אוקי ואז לא משנה שמדובר ב<math>a_{n+1}</math> כי אני מגדיר מקסימום ומינימיום אחלה
+מישהוא יכול ליכתוב אותו בבקשה
+:"יהי <math>K</math> קטע סגור, ויהיו <math>\{I_a\}_{a\ in\ A}</math> קטעים פתוחים ב-<math>\R</math> כך ש-<math>K</math> מוכל ממש באיחוד של כולם. אזי קיים מספר סופי של קטעים כאלו כך ש-<math>K</math> מוכל ממש בתוך האיחוד שלהם". (אני לא הייתי בהרצאה הזו, זה מתוך מחברת שצילמתי ממישהו). מקווה שעזרתי [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-== שאלת סימון ==
+תודה פשוט בוויקפדיה זה רשום  בצורה קצת פחות פורמלית
-אם מאריתמטיקה של גבולות מגיעים לביטוי שהוא גבול של מספר קבוע-לא תלוי ב-n, האם עדיין צריך לכתוב מתחת לגבול ש-n שואף לאינסוף? לדוגמה <math>lim(n+1)=limn+lim1</math>. מתחת לגבול השמאלי כתוב n שואף לאינסוף, מתחת לגבול שבאמצע כתוב n שואף לאינסוף, ומתחת לגבול הימני?
+אולי יש לכה במיקרה גם את המישפט של בולצאנו ויירשטראס לקבוצות
+:"תהי <math>S</math> קבוצה המוכלת ממש בממשיים, קבוצה אינסופית אך גם חסומה. אזי קיימת לה נקודת הצטברות". מקווה שעזרתי, [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
+::אגב, אני לומד אצל ד"ר הורוביץ. אם אתה לא לומד אצלו, ייתכן שהמרצה שלך ניסח את זה קצת אחרת, אבל בסופו של דבר זה אותם משפטים.
+:::בולצאנו-ויירשטראס זה לא זה שלכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת?
+::::אני מנחש שהוא מתכוון לגרסא: "לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודות הצטברות" --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:26, 30 בינואר 2011 (IST)
-:עקרונית כולם הם lim כשn שואף לאינסוף כי לא למדנו עד עכשיו על שום גבול אחר. אבל דווקא מהסיבה הזו לפעמים משמיטים בכתיב את הn שואף לאינסוף, כי זה ברור. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:15, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+== עזרה בבדיקת היתכנסות הטור ==
-== גבול עליון ותחתון ==
+<math>\sum \frac{(2n)!}{(2n)^{2n}}</math>
+:{{לא מתרגל}} מתכנס, אני מיד אכתוב למה.
+:{{הערה|חזרתי:}}
+{|
+{{=|l=\overline{\lim_{n\to\infty} }\frac{(2n+2)!/(2n+2)^{2n+2} }{(2n)!/(2n)^{2n} }
+   |r=\overline{\lim}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)(2n)^{2n} }{(2n)!(2n+2)^{2n}(2n+2)^2 }
+}}
+{{=|r=\lim\left(\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\left(\frac{2n}{2n+2}\right)^{2n}\right)
+}}
+{{=|r=\lim\frac{2n+1}{2n+2}\ \cdot\ \lim\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^{-2}
+}}
+{{=|r=1\cdot e^{-2}
+}}
+{{=|r=1
+   |o=<
+}}
+|}
+:והודות לד'אלמבר הטור (שהוא טור חיובי) מתכנס. {{משל}}
+פשש  זה בדיוק מה שלא ראיתי החלק של המנה שמיתכנס ל e תודה רבה
-אוף הגעתי למסקנה שאני לא מבינה את ההגדרה של גבול עליון ותחתון. למשל, האם אריתמטיקה של גבולות פועלת? למשל <math>limsupa_n+limsupbn=lim(supa_n+supb_n)</math>?? אם כן, אז מה זה בכלל אומר <math>supa_n+supb_n</math>?
+== בקשה ==
-למשל עבור הסדרה <math>a_n=2+1/n</math> או הסדרה <math>b_n=-n</math>, כמה שווה:
+שלום רב,
+למישהו יש מושג איך לפתור את שאלה 1א במבחן הזה: http://www.studenteen.org/inf1_exam_blei_2008_a.pdf
+תודה מראש!
+:{{לא מתרגל}} יש לי רעיון מתחכם, אבל יקח לי קצת זמן לכתוב אותו.
+::יש סיכוי שתכתוב אותו כאן בכל זאת היום או מחר? תודה מראש!
+:::{{לא מתרגל}}הרעיון הכללי - נוכיח שזה שואף לאינסוף. לשם כך מוכיחים שהטור <math>\sum \frac{2^n n! (4n)^n}{(4n)!}</math> מתכנס (מבחן ד'אלמבר), לכן <math>\frac{2^n (n!) (4n)^n}{(4n)!}\to0</math> ולכן (מכיוון שהסדרה הזו חיובית), <math>\frac{(4n)!}{2^n (n!) (4n)^n}\to\infty</math>. אח"כ, מכיוון ש-<math>\forall n\in\mathbb N:\ \binom{3n}{n}\ge1</math>, מתקיים <math>\forall n\in\mathbb N:\ \sqrt[n]{\binom{3n}{n}}\ge1</math> ולבסוף נקבל שהסדרה הכללית מתכנסת במובן הרחב לאינסוף. {{משל}}
+::::או, זה יפה ^^
-. <math>limsup(a_n)</math>
+== שאלה אלמנטרית ==
-. <math>lim(supa_n+supb_n)</math>
+המרצה שלנו כתב בתחילת הקורס: P בריבוע זוגי -> P זוגי. זה כנראה נכון רק כאשר P שלם. יש לזה הוכחה קלה?
-. <math>sup(a_2)</math>
+:גם אני חיפשתי הוכחה עוד מזמן, והגעתי למסקנה שההוכחה היא פשוט של-p בריבוע יש את כל הגורמים של p, פעמיים. אז אם הוא זוגי זה אומר שיש לו את הגורם 2. נניח בשלילה של-p אין את הגורם 2. אבל ל-p בריבוע יש את הגורם 2, לכן חייב להיות ל-p את שורש 2. בסתירה לכך שהוא שלם. לכן יש ל-p את הגורם 2 כלומר הוא זוגי.
-. <math>supa_2+supb_2</math>
+::זה נכון עבור שלמים, אחרת אין משמעות לזוגי. זה נובע מחומר שהוא לא של הקורס הזה. יש משפט שאומר שאם ראשוני מחלק את ab אז הוא מחלק את a או מחלק את b, לכן אם 2 מחלק את aa=a^2 סימן שהוא מחלק את a. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:08, 30 בינואר 2011 (IST)
-אבל לא בעזרת המשפט שהופך את זה לאינפימום של סדרת הסופרימומים (כמו שכתוב בעמוד הראשי), אלא לפי הגדרת גבול של סדרה.
+:::ואני הופתעתי שלא מצאתי דרך מתמטית להוכחה אפילו שהמרצה כתב "קל להוכיח ש...".
-גם לא הבנתי איזו מן סדרה זו. כלומר אם נגיד <math>c_n=supa_n</math> אז <math>limc_n=limsupa_n</math>, ואז כמה שווה <math>c_1</math>? וכמה <math>c_5</math>?
+== חתכי דדקינד ==
-בקיצור אני מבולבלת.
+לקבוצה של ד"ר שיין תהיה במבחן שאלה על חתכי דדקינד. הבעיה היא שלא היה תרגול בנושא, וגם אין שאלות עם תשובות במיזלר או בכל מקום אחר שבו חיפשתי.
-===תשובה===
+שיין מסר 3 תרגילים בנושא, אבל אין לי מושג לאיזה פתרון הוא מצפה. כלומר, מה הכוונה "שפה של חתכי דדקינד"? אפשר בבקשה לראות פתרון של אחת או כמה מהשאלות הבאות: http://sites.google.com/site/eduardkontorovich/home/%D7%94%D7%9B%D7%A0%D7%94%D7%9C%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%9F.pdf?attredirects=0&d=1 בבקשה ותודה רבה מראש!
-קודם כל, בכלל ובפרט, הדרך היחידה ללמוד את המקצוע היא בעזרת ההגדרות שאנחנו נותנים. אין שום משמעות לlimsup פרט להגדרות בעמוד הראשי, אז איך את רוצה תשובה בלי זה?
+:מצטרף, במיוחד אם אפשר את הפתרון לשאלה 1 (הפתרון היחיד שאני מצאתי הוא "שסדרת החסמים העליונים של An מתכנסת", אבל סדרת החסמים העליונים של An היא בעצם סדרת הממשיים הנוצרים ע"י החתכים, כלומר לא אמרתי כלום בפתרון הזה.)
-אין דבר כזה sup a_n. כאשר אומרים <math>limsup a_n</math> הכוונה היא '''בלבד''' לזו שבעמוד הראשי, בוודאי לא לגבול של אובייקט בשם sup a_n. זה בערך כמו לשאול על הגדרת הגבול איך מחשבים את הli של m a_n. (מהביטוי lim a_n).
+::לי בפתרון חשוב במיוחד לראות את הנימוקים והניסוח, כלומר ה"שפה" של דדקינד. אז למרות שאני חושבת שאני יודעת את התשובה הסופית של 1, יעזור לי מאוד מאוד לראות פתרון מלא של 100 במבחן. אז התשובה, כלומר התנאי, הוא: לכל אפסילון חיובי קיים N כך שלכל n טבעי גדול מ-N, מתקיים שהקבוצה <math>A_n/A_{L-\epsilon}</math> מוכלת ב-<math>(L-\epsilon,L)</math>. בעצם שינוי של ההגדרה של ההתכנסות.
+:::התבלבלת, מה זה An/A_L-e?
+::::לא התבלבלתי, זה הקבוצה <math>A_n</math> בלי הקבוצה <math>A_{L-\epsilon}</math>. תיזכר בסימונים של בדידה.
+:::::אוקי.. אבל אני לא רואה איך התנאי פה קשור להתכנסות של סדרת המספרים. אולי תסבירי מה הכוונה פה. אבל בעצם, הרעיון הזה של לקחת את תנאי ההתכנסות למספרים ולהעתיק אותו לחתכים הוא רעיון ממש טוב, נראה לי שהוא יכול לעבוד. בזכות הרעיון שלך פתרתי את זה כך: צריך לעשות קודם כמה הכנות. נגדיר: חתך  A הוא "חיובי" אם המס' שמייצר אותו (תמיד קיים) גדול מאפס, או במילים אחרות שכל מספר שקטן nאפס שייך לA (כנ"ל עם שלילי, אי שלילי וכו'). (הערה- כשאני אומר חתך A אני מתכוון לחתך A,A'). כמו כן "A-" הוא החתך שמייצר את המספר הנגדי לA, והרי הוכחנו בכיתה שלכל מספר ממשי יש נגדי ושכל מספר מיוצר ע"י חתך יחיד (כי אם המספר רציונלי, ניקח תמיד חתך מהסוג הראשון, ואם המספר אי רציונלי ניקח חתך מהסוג השלישי), ולכן ההגדרה טובה, ולבסוף נגדיר "|A|" כ-A אם A חיובי וכ- A- אם A שלילי, וב0 ברור. כעת התנאי יהיה שאם לכל אפסילון גדולה E (חתך) חיובית (גדולה מאפס=חיובית כמו שהגדרתי) קיים N כך שלכל n>N מתקיים שהחתך |An-L| מוכל בחתך E. (שוב, החלק השמאלי של החתך), אז סדרת החתכים מתכנסת לL. עכשיו רק צריך להוכיח שזה תנאי הכרחי ומספיק. אולי אנסה בהמשך ואגיד לך אם יש תוצאות..
-כן הזכרנו את <math>sup \{a_n,a_{n+1},...\}</math> בעמוד הראשי - זה החסם העליון (שלמדנו בתחילת הסמסטר) של הקבוצה (הרי הגדרנו רק חסם עליון של קבוצות) של האיברים שרשומים בסוגריים המסולסלות. החסם העליון הינו מספר, ולכן <math>b_n</math> המוזכרת שם הינה סדרה של מספרים ולכן יש לה גבול רגיל.
-. הגבול העליון הוא 2 (וגם התחתון, כי הגבול העליון והגבול התחתון של סדרה מתכנסת שווים לגבול שלה, וזו סדרה שמתכנסת ל2)
+http://dl.dropbox.com/u/2237179/infi1dedekind.pdf
+:לא הבנתי אף אחד מהפתרונות שלו ואני גם לא בטוח שהם נכונים.
+'''מי כתב את הפתרון הזה?'''
+::זה מה ששיין שלח לתלמידים שלו במייל. תודה שיין, אבל זה כל כך לא בסדר ומלחיץ שלא פתרנו תרגילים כאלו קודם...
-. אין שום משמעות לביטוי הזה, לא תראי אותו כתוב בשום מקום.
+== בפתרון למבחן של זלצמן 2010 ==
-. כנ"ל
+כתוב בפיתרון לשאלה 5.ג
+ש<<math>e^{(x^2)}</math> רציפה במ"ש.
-. כנ"ל
+למה זה נכון?
+:זה לא נכון, וגם לא רשום שם. רשום שם שהיא רציפה, ובגלל שסינוס גם רציפה, ההרכבה רציפה ומחזורית ולכן '''ההרכבה''' רציפה במ"ש. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:12, 30 בינואר 2011 (IST)
-כן יש משמעות לביטוי <math>limsup (a_n + b_n) </math> ובמקרה הזה מכיוון ש<math>a_n+b_n</math> היא סדרה המתכנסת במובן הרחב למינוס אינסוף, כך גם הגבול החלקי הגדול ביותר יהיה מינוס אינסוף.
+== כלל לופיטל ==
+כלל לופיטל הוא בחומר של הקבוצה של שיין?
+:למדנו את זה אז כנראה שכן...
-השאלה הראשונה בתרגיל 5 מראה שבהגדרה שבעמוד הראשי ניתן היה להחליף את <math>inf\{b_1,b_2,...\}</math> בביטוי <math>lim b_n</math> מכיוון שזו סדרה מונוטונית יורדת.
+== כלל לופיטל ==
---[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:32, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+האם אפשר להשתמש בכלל לופיטל כדי למצוא גבולות בקצוות כאשר בודקים רציפות במ"ש של פונקציה?
-:אז בעצם בביטוי <math>limsupa_n</math> אין שום דבר שקשור ל-lim, חוץ מזה שזה הגבול החלקי הגדול ביותר. כלומר אי אפשר להפעיל עליו אריתמטיקה של גבולות, אי אפשר כלום, אפשר רק להפוך אותו ל-<math>inf\{b_1,b_2,...\}</math> כאשר <math>b_n=sup\{a_n,a_{n+1},...\}</math>, ולשכוח שהיה שם גבול אי פעם. אני צודקת?
+:לדעתי כן, מומלץ לשאול את המרצה או המתרגל בעת המבחן בנוסף. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:24, 30 בינואר 2011 (IST)
-:תודה רבה!
-::בדיוק. זו הסיבה שאני נותן לכם (בבית ובכיתה) משפטים דומים לאריתמטיקה, אבל לא כל משפטים האריתמטיקה עובדים פה (למשל <math>limsup a_n + limsup b_n</math> באופן כללי יכול להיות שונה מאשר <math>limsup (a_n+b_n)</math>. דוגמא פשוטה <math>a_n=3\cdot (-1)^n, b_n = 3 \cdot (-1)^{n+1}</math>. תנסי לבד לחשב את <math>limsup a_n, limsup b_n, limsup (a_n+b_n)</math> ותראי שאכן נוסחאת האריתמטיקה הנ"ל נכשלת (כלומר אין שיוויון). --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:18, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+== מבחני קושי ודלמבר ==
-== שאלה 4 ==
+מבחן קושי הוא עם limsup בשני המקרים (התכנסות והתבדרות) ומבחן דלמבר הוא עם limsup במקרה של התכנסות ו liminf במקרה של התבדרות, או שיש לי טעות? תודה!
+:אין טעות. תסתכל על ההוכחות שלהם ותבין למה.
-האם בשאלה 4 ניתן לכתוב להגיד את הגבול, ואז לכתוב הוכחה במילים (לא הכי פורמלית בעולם, אבל מתקבלת)? כמו "מכיוון ש {an+bn} חסומה, הסדרה bn חייבת "לבטל" את איברי an ששואפים לאינסוף... או שאסור? אם אסור, אז אין לי מושג איך פותרים את התרגיל ואשמח לרמז. תודה
+== חקירת פונקציות, המבחן של ד"ר הורוביץ ==
-===תשובה===
+צריך לזכור בעל-פה את הסדר של הסעיפים בחקירת פונקציות? (תחום הגדרה ונקודות אי רציפות, האם הפונקציה זוגית/אי-זוגית/לא זה ולא זה, אסימפטוטות, תחומי עלייה+ירידה+נקודות קריטיות, תחומי קעירות+קמירות+נקודות פיתול, טבלת ערכים)<br/>או שזה כתוב במבחן?
-אסור, כמובן (:
+:הוא אמר שלא בטוח שהוא יכתוב את זה. אבל הוא גם אמר שאין חובה לעשות לפיהסדר שהוא רשם אם כל הסעיפים כלולים. [[משתמש:Gordo6|גל א.]]
-רמז: אריתמטיקה של גבולות. תציבו כמה דוגמאות, תראו לאן הסדרה מתכנסת, תנסו להסתכל על המרחק בין איברי הסדרה לבין הגבול, ותראו אם הוא אכן שואף לאפס. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:21, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+== [[מדיה:10Infi1TargilFinalGrades.pdf|ציונים]] ==
-:אני יודע לאן הסדרה מתכנסת, אני רק לא יודע איך להוכיח את זה, שלא לדבר על להבין איך אריתמטיקה של גבולות קשור כאן- An שואפת לאינסוף! איך אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות על סדרות כל כך לא-קונקרטיות?
-::a_n לא מתכנסת, אבל כביכול <math>\frac{a_n}{b_n}</math> מתכנסת. תעשה מה שאמרתי... תבדוק את המרחק בין <math>\frac{a_n}{b_n}</math> לבין הגבול. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:49, 13 בנובמבר 2010 (IST)
-:::הכוונה היא כמו בהגדרת גבול? אם כן, זה מה שהגעתי אליו <math>|an/bn-L|<e -> (-e+L)bn<an<(e+L)bn ->(-e+L)limbn<infinity<(e+L)limbn</math> כאשר L מספר שאותו אני יודע. מכאן אני לא יודע מה עושים
-::::אם תרשום מהו L ותפתח את הביטוי <math>\frac{a_n}{b_n} - L</math> מה תקבל?
-:::::ואו- הבנתי- כמעט הצלחתי! הבעיה היחידה שנותרה לי, והיא עדיין בעיה קשה שאין לי מושג איך לפתור ואני עדיין צריך בה עזרה, היא איך לעבור מ n_k לn. בעזרת העובדה ש an+bn חסומה הגעתי לביטוי שדומה למה שצריך להוכיח רק עם n_k במקום עם n, מכיוון שסדרה חסומה היא לא בהכרח מתכנסת אלא רק יש לה תת סדרה מתכנסת. עכשיו יש לי בעיה דומה לבעיה בשאלה 5 (שאלה מתחת לזאת)- איך לעבור לביטוי עם n? תודה!
-::::::דווקא פה אין צורך לעבור לתת סדרה מתכנסת. למדנו משפט בתרגיל שעוזר לחשב גבול של סדרה חסומה כפול סדרה אחרת. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:44, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+מספר תעודת הזהות שלי (312491822), ואפילו לא מספר דומה לו, לא מופיע בדף הציונים שפורסם היום. אתם יכולים לבדוק את זה? תודה רבה
+:יתכן ואתה תיכוניסט? אלו ציונים רק לתלמידים של זלצמן.
+::כן, תיכוניסט. תודה
+:::הציונים של התיכוניסטים שאדוארד מתרגל מופיעים באתר שלו: sites.google.com/site/eduardkontorovich
-== תרגיל 4 שאלה 5 ==
+== איקס בריבוע ==
+איך מוכיחים ש-<math>x^2</math> לא רציפה במ"ש? תודה.
+:{{לא מתרגל}}ראה [[מדיה:10Infi1Targil8Sol.pdf|פתרון תרגיל 8]], שאלה 9.
+::תודה.
+== שאלה קלה מדי? ==
+צ"ל או להפריך שאם הטור an מתכנס והטור bn מתבדר אז הטור an+bn מתבדר. לכאורה אפשר להניח בשלילה שהטור an+bn מתכנס, ואז הטור an + הטור bn מתכנס (*), לכן הטור an ועוד הטור bn פחות הטור an = הטור bn מתכנס, בסתירה. אבל ב-(*) הזזנו את המקום של אינסוף איברים, ולכן ההוכחה לא מספיקה. מה לעשות? (ניסיתי לרפד באפסים כמו שכתוב ב[[שיחה:88-132 סמסטר א' תשעא/ ארכיון 15#משפט רימן|ארכיון 15]])
+:מישהו יודע?
+== פתרון של הבחינות ==
+הי ארז,
+ראשית תודה שהעלת לנו את הפתרון לבחינות כל כך מהר. יתכן ששאלתי לא במקום משום שאני לא לומד אצל זלצמן - אבל מה עם הפתרון לשאלות 3 ו-6 בבחינה שלו? הן היו שאלות של ציטוט משפטים?
+אגב, אולי לבחינות של התיכוניסטים כדאי להוסיף הבהרה ששאר השאלות שלא פורסם להן פתרון היו בבחינה של זלצמן (שאלה 1 של הורוביץ = שאלה 1 של זלצמן, שאלה 2 של הורוביץ = שאלה 7 של זלצמן, שאלה 4 של הורוביץ = שאלה 4 של זלצמן, שאלה 5 של הורוביץ = שאלה 2 של זלצמן). כמו כן כדאי להוסיף שהבחינה של ד"ר שיין זהה לבחינה של ד"ר הורוביץ, למעט בשאלה 6 שעסקה בחתכי דדקינד.
+כעת שאלה לגבי הפתרונות עצמם: בשאלה 5ג (של זלצמן) כתבת ששורש איקס רציפה בכל הממשיים, אבל זה כמובן לא נכון כי היא מוגדרת רק בממשיים החיוביים. האם יש דרך אחרת להוכיח רציפות במ"ש בסעיף זה בלי להתבסס על טענה זו?
+שוב תודה על פרסום הפתרונות (במיוחד עבור המבחן של ד"ר הורוביץ שזה בכלל לא מובן מאליו).
+===תשובה===
+שאלה 3 הייתה ציטוט משפטים, שאלה 6 עסקה בנגזרות, ושאלה 8 הייתה להוכיח את משפט קנטור - לא כתבתי להן פתרונות, כמו כן לא כתבתי פתרון לשאלה על חתכי דדיקינד.
-בעזרת העזרה של ארז משאלות קודמות, הגעתי לכך ש limsup (an+bn) = liman + limbnk, כאשר bnk תת סדרה מתכנסת של bn. אבל אין לי מושג איך להמשיך מכאן. אפשר רמז? תודה!
+לגבי 5ג, לא צריך ששורש איקס יהיה רציף במ"ש על כל הממשיים, אלא רציף במ"ש בתמונה של הפונקציה עליה הוא מורכב - במקרה זה הערך המוחלט ותמונתו <math>[0,\infty)</math> ולכן זה פתרון תקין.
-:אתה יכול להראות מהמצב הזה בקלות שצד אחד קטן שווה מהצד השני (בשיוויון אותו רוצים להוכיח). אז כל מה שנותר הוא להראות בדרך נוספת שגם הצד השני קטן לשווה לצד הראשון, ואז הוכחת שיוויון. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 19:31, 13 בנובמבר 2010 (IST)
+====תשובה====
-::אופס, התבלבלתי- הגעתי לכך ש limsup (an+bn'''k''') = liman + limbnk. עדיין אפשר שצד אחד ממה שצריך להוכיח קטן מהשני? למרות ששני הצדדים לא מופיעים במה שצריך להוכיח?
+אוקי, שוב תודה :-)
-:::אתה יכול להגיע גם למה שרשמת בקלות מההגדרות. בפעם ה-איקס (איקס גבוה): יש תת סדרה שמתכנסת לlimsup מכיוון שלפי משפט הוא הגבול החלקי הגדול ביותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:45, 13 בנובמבר 2010 (IST)