גרסה מ־06:53, 30 במאי 2020 (הצגת מקור) ארז שיינר (שיחה | תרומות) (←‏פרק 6 - דטרמיננטות) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה אחרונה מ־07:30, 18 ביולי 2023 (הצגת מקור) ארז שיינר (שיחה | תרומות) (←‏הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים)
(159 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 1:		שורה 1:
	=חומר עזר=		=חומר עזר=
	*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של  ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]		*[[מדיה:16Linear1Orit.pdf|סיכומי ההרצאות של  ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
−	*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים באלגברה לינארית 1]]	+	*[[אלגברה לינארית 1/מבחנים|מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1]]
	=סרטוני ותקציר הרצאות=		=סרטוני ותקציר הרצאות=
		+	[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-s2FLlORO26_lglSVhtF-Fy פלייליסט של כל הסרטונים]
		+
		+
	==פרק 1 - שדות==		==פרק 1 - שדות==
	===הגדרה ותכונות של שדה===		===הגדרה ותכונות של שדה===
−	*הגדרת השדה	+	*'''שדה''' הוא קבוצה <math>\mathbb{F}</math> יחד עם שתי פעולות <math>+,\cdot</math> כך שמתקיימות התכונות הבאות:
−	*כפל באפס תמיד שווה אפס	+	#סגירות: לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}</math>
		+	#קומוטטיביות (חילופיות): לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+b=b+a</math> וכן <math>a\cdot b=b\cdot a</math>
		+	#אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל <math>a,b,c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math> וכן <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>
		+	#נייטרליים: קיימים <math>0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}</math> כך שלכל <math>a\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a</math>
		+	#נגדיים: לכל <math>a\in\mathbb{F}</math> קיים נגדי <math>-a\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>a+(-a)=0_{\mathbb{F}}</math>
		+	#הופכיים: לכל <math>0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F}</math> קיים הופכי <math>a^{-1}\in \mathbb{F}</math> כך ש <math>a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}</math>
		+	#דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל <math>a,b,c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math>
		+
		+
		+	<videoflash>3SAV7M1gJxM</videoflash>
		+
		+
		+	*יהי שדה <math>\mathbb{F}</math> אזי לכל <math>a,b\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>a\cdot b=0_{\mathbb{F}}</math> אם ורק אם <math>a=0_{\mathbb{F}}</math> או <math>b=0_{\mathbb{F}}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>Xv-OOeh9gj8</videoflash>
		+
		+
		+	*תכונות נוספות של שדות
		+	**<math>(-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a</math>
		+	**אם <math>a+b=a+c</math> אזי <math>b=c</math>
		+	**אם <math>a\neq 0_{\mathbb{F}}</math> וגם <math>a\cdot b = a\cdot c</math> אזי <math>b=c</math>
	===שדות סופיים===		===שדות סופיים===
−	*מודולו	+	<videoflash>quaMfbG6eTU</videoflash>
−	*בשדה אין מחלקי אפס	+
	===שדה המרוכבים===		===שדה המרוכבים===
−	*הגדרת המרוכבים	+	====הגדרת המספרים המרוכבים====
−	*צורה קרטזית וקוטבית	+	*<math>\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
−	*דה-מואבר ומציאת שורשים.	+	*<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)</math>
		+	*<math>(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)</math>
		+
		+
		+	*נסמן
		+	**<math>a=(a,0)</math>
		+	**<math>i=(0,1)</math>
		+	*נובע כי <math>a+b\cdot i =(a,b)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>aDPMK03MCLg</videoflash>
		+
		+	*הגדרות עבור <math>z=a+b\cdot i</math>
		+	**<math>\overline{z}=a-b\cdot i</math>
		+	**<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
		+	**<math>Re(z)=a</math>
		+	**<math>Im(z)=b</math>
		+
		+
		+	*תכונות
		+	**<math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> אם <math>z\neq 0</math>
		+	**<math>z+\overline{z}=2\cdot Re(z)</math>
		+	**<math>z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)</math>
		+	**<math>\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}</math>
		+	**<math>\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>OmslUn1rJqM</videoflash>
		+
		+	====צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)====
		+
		+	*<math>a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)</math>
		+	*<math>cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)</math>
		+
		+	*<math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>
		+	*עבור הזוית נחלק למקרים:
		+	**אם <math>a>0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math>
		+	**אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math>
		+	**אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\theta=-\frac{\pi}{2}</math>
		+	**אם <math>a<0</math> אזי <math>\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi</math>
		+
		+
		+	<videoflash>3GOI4vdKv4w</videoflash>
		+
		+
		+	*<math>r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>kmoxv6cTI24</videoflash>
		+
		+
		+
		+	*<math>(r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)</math>
		+
		+
		+	*עבור <math>n\geq 2</math> טבעי, ומספר מרוכב <math>a+b\cdot i\neq 0</math> קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה <math>z^n=a+b\cdot i</math>
		+	*הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
		+	**נעביר את המספר לצורתו הקוטבית <math>a+b\cdot i = r cis(\theta)</math>
		+	**הפתרונות הם <math>z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)</math> עבור <math>k=0,1,...,n-1</math>
		+
		+
		+	<videoflash>v7zmdJbGyBI</videoflash>
		+
		+	===תרגול===
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות]]
	==פרק 2- מערכות משוואות לינאריות==		==פרק 2- מערכות משוואות לינאריות==
−	===הגדרה וייצוג ע"י מטריצות===	+	===מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות===
		+	*<math>\mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\}</math> קבוצת הn-יות הסדורות.
		+	*<math>\mathbb{F}^{n\times m}</math> קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה <math>\mathbb{F}</math>
		+	<videoflash>McOiAYPFI8Y</videoflash>
−	===צורה מדורגת של מטריצה===	+
		+	===הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות===
		+	*מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> ומטריצת (וקטור) קבועים <math>\vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1}</math>.
		+	*קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
		+	*<math>\begin{cases}
		+	a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\
		+	\vdots \\
		+	a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m
		+	\end{cases}</math>
		+
		+	<videoflash>7d0-QKqsKFQ</videoflash>
		+
		+
		+	===פעולות דירוג אלמנטריות===
		+
		+	*שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
		+	**<math>\alpha R_i</math> עבור <math>0\neq \alpha\in\mathbb{F}</math> (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
		+	**<math>R_i+\alpha R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
		+	**<math>R_i \leftrightarrow R_j</math> (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)
		+
		+
		+	<videoflash>c0OMS3WDhro</videoflash>
		+
		+	===ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה===
		+	<videoflash>wAAnDAtYMdc</videoflash>
		+
		+
		+	===צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית===
		+
		+	*איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
		+
		+	*מטריצה נקראת מדורגת אם:
		+	**אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
		+	**כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
		+
		+	*מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
		+	**היא מדורגת.
		+	**כל האיברים הפותחים שווים ל1.
		+	**בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.
		+
		+
		+	<videoflash>0vAfIyylmJQ</videoflash>
	===משתנים חופשיים ותלויים===		===משתנים חופשיים ותלויים===
		+	*משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
		+	*כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
		+
		+	*מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
		+	**מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
		+	**אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
		+	**אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
		+	**אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.
		+
		+
		+	*מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
		+	**מדרגים '''קנונית''' את המטריצה שמייצת את המערכת.
		+	**מוודאים שאין שורת סתירה.
		+	**בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
		+	**מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.
		+
		+
		+	<videoflash>7LVNxZYqxA0</videoflash>
		+
		+	===דירוג מטריצה עם פרמטר===
		+	<videoflash>xtoSEf5__3g</videoflash>
		+
		+
		+	===הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית===
		+	<videoflash>krxl_7L1Fp8</videoflash>
		+
		+	===תרגול===
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/1|תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות]]
	==פרק 3 - אלגברת מטריצות==		==פרק 3 - אלגברת מטריצות==
	===חיבור מטריצות וכפל בסקלר===		===חיבור מטריצות וכפל בסקלר===
		+
		+	*תהיינה <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math>
		+	**נגדיר את <math>A+B\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> על ידי <math>[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}</math>
		+	**נגדיר את <math>\alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> על ידי <math>[\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>nPp9fKfX2D4</videoflash>
	===כפל מטריצות===		===כפל מטריצות===
		+	*<math>\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n</math>
		+	*<math>\prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n</math>
		+
		+	<videoflash>u2yfOPoNN_A</videoflash>
		+
		+
		+	*תהיינה <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k}</math>
		+	**נגדיר את המכפלה <math>AB\in\mathbb{F}^{n\times k}</math> על ידי
		+	**<math>[AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>kQ769lnvuQw</videoflash>
		+
		+
		+	*הוקטור <math>\vec{x}</math> הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים <math>A</math> ווקטור הקבועים <math>\vec{b}</math> אם ורק אם <math>A\cdot \vec{x}=\vec{b}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>EJvkvjukJSA</videoflash>
		+
		+
		+	====שיטות לחישוב כפל מטריצות====
		+
		+	<videoflash>9OZayHru9Qc</videoflash>
		+
		+
		+	*חישוב הכפל לפי עמודות
		+	**<math>\begin{pmatrix}
		+	| & & |\\
		+	v_1 & \cdots & v_n \\
		+	| & & |\\
		+	\end{pmatrix}
		+	\begin{pmatrix}
		+	x_1\\
		+	\vdots \\
		+	x_n
		+	\end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n</math>
		+	**<math>C_i(AB)=AC_i(B)</math>
		+	*חישוב הכפל לפי שורות
		+	**<math>\begin{pmatrix}
		+	x_1 & \cdots & x_n\\
		+	\end{pmatrix}
		+	\begin{pmatrix}
		+	- & v_1 & - \\
		+	& \vdots & \\
		+	- & v_n & -
		+	\end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n</math>
		+	**<math>R_i(AB)=R_i(A)B</math>
		+
		+
		+	<videoflash>1oxFEUvo93U</videoflash>
		+
		+	===תכונות של אלגברת מטריצות===
		+	*<math>A(B+C)=AB+AC</math> וכן <math>(A+B)C=AC+BC</math>
		+	*<math>\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)</math>
		+	*<math>(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A</math> וכן <math>\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B</math>
		+	*<math>(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>vijM_8tKysI</videoflash>
		+
		+
		+	*מטריצת היחידה <math>I_n\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מוגדרת על ידי <math>[I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}</math>
		+	*לכל <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> מתקיים כי <math>I_n\cdot A=A\cdot I_m =A</math>
		+
		+
		+	<videoflash>NgjeAJ32klI</videoflash>
		+
		+
		+	*לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
		+	**<math>(AB)C=A(BC)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>d2iJot9FD1I</videoflash>
		+
		+	===פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית===
		+
		+	*פתרון '''פרטי''' למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון '''כללי''' למערכת הלא הומוגנית
		+
		+	<videoflash>AVg19Sgbu3w</videoflash>
	===שחלוף===		===שחלוף===
		+
		+	*עבור <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> נגדיר את המטריצה המשוחלפת <math>A^t\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> על ידי <math>[A^t]_{ij}=[A]_{ji}</math>
		+
		+
		+	*<math>R_i(A^t)=C_i^t(A)</math>
		+	*<math>C_i(A^t)=R_i^t(A)</math>
		+
		+
		+	*<math>(A^t)^t=A</math>
		+	*<math>(A+B)^t = A^t+B^t</math>
		+	*<math>(\alpha A)^t = \alpha A^t</math>
		+	*<math>(AB)^t=B^tA^t</math>
		+
		+
		+	<videoflash>Z-SaVq8P4F0</videoflash>
	===עקבה===		===עקבה===
		+	*העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
		+	**עבור <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר <math>tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}</math>
		+
		+
		+	*תכונות העקבה:
		+	**<math>tr(A+B)=tr(A)+tr(B)</math>
		+	**<math>tr(\alpha A)=\alpha tr(A)</math>
		+	**<math>tr(AB)=tr(BA)</math>
		+
		+
		+	*דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות <math>A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}</math> כך ש <math>AB-BA=I</math>
		+	**<math>tr(AB-BA)=0</math> אך <math>tr(I)=n\neq 0</math>
		+
		+
		+	<videoflash>n0Ip_PY18G8</videoflash>
		+
		+	===תרגול===
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/2|תרגול בנושא אלגברת מטריצות]]
		+
		+	===מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות===
		+
		+	*מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> נקראת '''הפיכה''' אם קיימות מטריצות <math>B,C\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> כך ש<math>AB=I_n</math> וכן <math>CA=I_m</math>
		+	*אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה '''יחידה''' שנסמנה <math>A^{-1}</math> ונקרא לה '''ההופכית''' של <math>A</math> המקיימת <math>AA^{-1}=I</math>. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת <math>A^{-1}A=I</math>.
		+
		+
		+	*תהי <math>A</math> הפיכה, אזי למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=\vec{b}</math> יש פתרון יחיד, והוא <math>\vec{x}=A^{-1}\vec{b}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>mDGV4RgivKw</videoflash>
		+
		+
		+	*תהיינה <math>A,B</math> הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל <math>AB</math> מוגדר, אזי <math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
		+	*תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t</math>
		+	*תהי <math>A</math> הפיכה אזי <math>(A^{-1})^{-1}=A</math>
		+	*תהי <math>A</math> הפיכה ויהי סקלר <math>\alpha\neq 0</math> אזי <math>(\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>yMNcwMg5TFI</videoflash>
		+
		+
		+	====מטריצות פעולה====
		+
		+
		+	*תהי <math>f</math> פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
		+	*לכל <math>n</math> נגדיר את מטריצת הפעולה <math>f(I_n)</math>.
		+	*לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מתקיים כי <math>f(I_m)\cdot A = f(A)</math>
		+	*מטריצת הפעולה היא הפיכה.
		+
		+
		+	*לכל מטריצה <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> קיימת מטריצה הפיכה <math>P\in\mathbb{F}^{m\times m}</math> כך ש <math>P\cdot A=CF(A)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>YrguBhiobxM</videoflash>
		+
		+	====בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית====
		+
		+	*מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם <math>B\neq 0</math> אך <math>AB=0</math> או <math>BA=0</math> אזי <math>A</math> אינה הפיכה
		+	*אם ב<math>A</math> השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל <math>B</math> כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב<math>AB</math> היא שורת אפסים.
		+	**ב<math>BA</math> לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
		+	*מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
		+	*מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.
		+
		+
		+	<videoflash>jjyjwLKIpO0</videoflash>
		+
		+
		+	*מטריצה <math>A</math> היא הפיכה אם ורק אם <math>CF(A)=I</math>
		+	*אם <math>A,B</math> '''ריבועיות''' כך ש<math>AB=I</math> אזי <math>A^{-1}=B</math>
		+	*תהיינה <math>A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''ריבועיות''' אזי <math>AB</math> הפיכה אם ורק אם <math>A,B</math> הפיכות שתיהן
		+
		+	*דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
		+	**<math>\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>HIyAwF_JMpc</videoflash>
		+
		+
		+	=====אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית=====
		+	*תהי מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math>
		+	*נדרג את מטריצת הבלוקים <math>(A|I)</math> קנונית.
		+	*אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של <math>A</math> יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
		+	*אחרת, הצורה הקנונית של <math>A</math> היא <math>I</math> ולכן היא הפיכה.
		+	*הגענו למטריצת הבלוקים <math>(I|A^{-1})</math>.
		+
		+
		+	<videoflash>ZCwFECBzsDA</videoflash>
−	===מטריצות הופכיות===	+	====תרגול====
		+	[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/3|תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה]]
	==פרק 4 - מרחבים וקטוריים==		==פרק 4 - מרחבים וקטוריים==
	===הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים===		===הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים===
		+
		+	*מרחב וקטורי <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
		+	#סגירות: <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V</math>
		+	#חילופיות: <math>\forall u,w\in V:u+w=w+u</math>
		+	#אסוציאטיביות (קיבוץ): <math>\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v</math>
		+	#נייטרלי לחיבור: <math>\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v</math>
		+	#נגדיים: <math>\forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V</math>
		+	#נייטרלי לכפל בסקלר: <math>\forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v</math>
		+	#דיסטריביוטיביות (פילוג): <math>\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w</math>
		+
		+
		+	<videoflash>wd1XcxGymM0</videoflash>
		+
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ויהיו <math>\alpha\in\mathbb{F},u\in V</math> אזי:
		+	**<math>\alpha u = 0_V</math> אם ורק אם <math>\alpha=0_\mathbb{F}</math> או <math>u=0_V</math>
		+	*כמו כן, <math>(-1_\mathbb{F})u=-u</math>
		+
		+
		+	<videoflash>OLYp1kVAPrA</videoflash>
	===תתי מרחבים===		===תתי מרחבים===
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים.
		+	*אזי <math>U</math> נקרא '''תת מרחב''' של <math>V</math> אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של <math>V</math>.
		+
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי <math>U\subseteq V</math> תת קבוצה של וקטורים.
		+	*אזי <math>U</math> תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
		+	**<math>0_V\in U</math>
		+	**לכל <math>v_1,v_2\in U</math> ולכל <math>\alpha\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי <math>v_1+\alpha v_2\in U</math>
		+
		+
		+	<videoflash>JYKLCPsrzY8</videoflash>
		+
		+
		+	*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>N(A)\subseteq\mathbb{F}^n</math> הינה תת מרחב וקטורי.
		+	**קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית '''אינה''' תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.
		+
		+
		+	*אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.
		+
		+
		+	*אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.
		+
		+
		+	<videoflash>ryvLbuYq5nY</videoflash>
		+
	====חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים====		====חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים====
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב.
		+	**<math>U\cap W</math> הינו תת מרחב של <math>V</math>.
		+	**<math>U\cup W</math> תת מרחב של <math>V</math> אם ורק אם <math>U\subseteq W</math> או <math>W\subseteq U</math>.
		+
		+
		+	<videoflash>CriKpGqFQvs</videoflash>
		+
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ויהיו <math>U,W\subseteq V</math>, תתי מרחב.
		+	*נגדיר את סכום תתי המרחבים:
		+	**<math>U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}</math>
		+
		+
		+	*<math>U+W</math> הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>U,W</math>. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
		+	**לכל תת מרחב <math>U,W\subseteq T</math> מתקיים כי <math>U,W\subseteq U+W\subseteq T</math>
		+
		+
		+	*<math>U\cap W</math> הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב<math>U,W</math>. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
		+	**לכל תת מרחב <math>T\subseteq U,W</math> מתקיים כי <math>T\subseteq U\cap W\subseteq U,W</math>
		+
		+
		+	<videoflash>JbSFfscwrSE</videoflash>
		+
		+
		+
		+	*דוגמא:
		+	*<math>V=\mathbb{R}^3</math>
		+	*<math>U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
		+	*<math>W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}</math>
		+	*<math>U+W=V</math>
		+	*ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
		+	**<math>(4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1)</math>
		+
		+
		+	*סכום ישר:
		+	*יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש <math>V=U\oplus W</math> אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
		+	**<math>V=U+W</math>
		+	**<math>U\cap W =\{0_V\}</math>
		+
		+
		+	*משפט:
		+	*<math>V=U\oplus W</math> אם ורק אם לכל וקטור <math>v\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' <math>v=u+w</math> כסכום של רכיבים מU ומW.
		+
		+
		+	*כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.
		+
		+
		+	<videoflash>T3OkiTwXoH0</videoflash>
		+
		+	====תרגול====
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/4|תרגול על מרחבים ותתי מרחבים]]
	===פרישה ותלות לינארית===		===פרישה ותלות לינארית===
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>.
		+	**וקטור <math>x\in V</math> נקרא '''צירוף לינארי''' של הקבוצה <math>S</math> אם <math>x=0_V</math> או קיימים וקטורים בקבוצה <math>v_1,...,v_n\in S</math> וסקלרים מהשדה <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
		+	*כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
		+	*אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא <math>span(S)</math>.
		+
		+
		+	*טענה: יהי V מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> אזי <math>span(S)</math> הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את <math>S</math>. כלומר:
		+	**<math>span(S)</math> תת מרחב וקטורי
		+	**לכל תת מרחב <math>T</math> כך ש <math>S\subseteq T</math> מתקיים כי <math>S\subseteq span(S)\subseteq T</math>
		+
		+
		+	<videoflash>4hLYHhGE-68</videoflash>
		+
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, ותהי n-ית וקטורים <math>(v_1,...,v_n)\in V^n</math>. אומרים שהוקטורים <math>v_1,...,v_n</math> (לאו דווקא שונים) '''תלויים לינארית''' או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{F}</math> '''לא כולם אפס''' כך שהצירוף הלינארי מתאפס <math>a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V</math>.
		+	*אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם '''בלתי תלויים לינארית''' או בת"ל בקיצור.
		+	*קבוצה <math>S\subseteq V</math> נקראת תלוייה לינארית אם קיימים <math>v_1,...,v_n\in S</math> וקטורים '''שונים''' שתלויים לינארית.
		+
		+
		+	<videoflash>7xoVNM3OX2A</videoflash>
		+
		+
		+
		+	*יהיו <math>v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n</math>.
		+	*הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה <math>x_1v_1+...+x_kv_k=0_V</math> הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
		+	**בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות <math>x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| &  & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| &  & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix}</math>
		+	*לכן אם נשים את הוקטורים '''בעמודות''' מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש '''פתרון יחיד''' כלומר <math>N(A)=\{0_v\}</math>
		+
		+
		+	*באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם <math>v\in span\{v_1,...,v_k\}</math>:
		+	**נשים את הוקטורים <math>v_1,...,v_k</math> '''בעמודות''' מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
		+	**הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.
		+
		+
		+	<videoflash>JOYrFXvKwzY</videoflash>
	===בסיס ומימד===		===בסיס ומימד===
		+	*לֶמת ההחלפה של שטייניץ
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו ותהיינה <math>A\subseteq V</math> בת"ל וכן <math>B\subseteq V</math> פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>).
		+	*אזי לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>b\notin A\setminus \{a\}</math> וגם הקבוצה <math>(A\setminus \{a\})\cup \{b\}</math> בת"ל.
		+
		+	<videoflash>_vIuR0AuJ68</videoflash>
		+
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>B\subseteq V</math> קבוצה פורשת (כלומר <math>sp(B)=V</math>) כך ש <math>|B|=n</math> (כלומר יש בה n וקטורים).
		+	*תהי בנוסף <math>A\subseteq V</math> קבוצה בת"ל, אזי <math>|A|\leq |B|</math> (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).
		+
		+
		+	<videoflash>nHeL8a3KNhs</videoflash>
		+
		+
		+	*הגדרת בסיס:
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו ותהי <math>S\subseteq V</math> קבוצת וקטורים.
		+	*אם <math>S</math> בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר <math>sp(S)=V</math>) אזי היא נקראת '''בסיס''' למרחב <math>V</math>.
		+
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית <math>B\subseteq V</math> שפורשת את כל המרחב <math>sp(B)=V</math>).
		+	*אזי קיים לו בסיס סופי.
		+	*כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
		+	*כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות '''המימד''' של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים <math>dim(V)=|B|</math>.
		+
		+
		+	*כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.
		+
		+
		+	<videoflash>UR9LnbO4QGE</videoflash>
		+
		+
		+	====העשרה====
		+
		+	*לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
		+	*ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
		+	*נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
		+	*B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
		+	*B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.
		+
		+
		+	<videoflash>qzUDzq2pB1Q</videoflash>
		+
		+	====משפט השלישי חינם====
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו ממימד <math>n</math> ותהי <math>S\subseteq V</math>.
		+	*אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו<math>S</math> מהווה בסיס למרחב <math>V</math>.
		+	**<math>S</math> בת"ל
		+	**<math>S</math> פורשת (כלומר <math>sp(S)=V</math>)
		+	**<math>|S|=n</math> (כלומר כמות הוקטורים ב<math>S</math> שווה למימד)
		+
		+
		+	<videoflash>PuWBn0h7POQ</videoflash>
		+
		+
		+	*יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב.
		+	*אם <math>\dim (U)=\dim (V)</math> אזי <math>U=V</math>
		+
		+
		+	<videoflash>Ab1UEuTwM_U</videoflash>
		+
		+	====תרגול====
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/5|תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד]]
	===משפט המימדים===		===משפט המימדים===
		+	<math>sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>eLO8bpTu3N4</videoflash>
		+
		+
		+	*<math>\dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>47JbbBo48BA</videoflash>
		+
		+
		+	====תרגול====
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|תרגול על משפט המימדים]]
	===הצגה פרמטרית ואלגברית===		===הצגה פרמטרית ואלגברית===
		+	<videoflash>N-NLiHVo3_0</videoflash>
−	===שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה===	+	===שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים===
		+
		+	*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math>
		+	**<math>R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n</math>
		+	**<math>C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m</math>
		+	**<math>N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n</math>
		+
		+
		+	<videoflash>KC3s33u3x4o</videoflash>
		+
		+
		+	*<math>R(AB)\subseteq R(B)</math>
		+	*<math>C(AB)\subseteq C(A)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>WWcHqqshzlo</videoflash>
		+
		+
		+	*על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
		+	*על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.
		+
		+
		+	<videoflash>W3jcV4O-FLc</videoflash>
		+
		+
		+	*ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
		+	*לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.
		+
		+
		+	<videoflash>XKutm8q2elw</videoflash>
		+
		+
		+	====תרגול====
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/7|תרגול בנושא מרחבי המטריצה]]
		+
		+	===דרגה של מטריצה===
		+
		+	*בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.
		+
		+
		+	<videoflash>pMNQF8yucGs</videoflash>
		+
		+
		+	*כל הגדלים הבאים שווים:
		+	**דרגה של מטריצה
		+	**מימד מרחב העמודות
		+	**מימד מרחב השורות
		+	**מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
		+	**מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית
		+
		+
		+	*כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.
		+
		+
		+	*ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).
		+
		+
		+	<videoflash>K3GRdLnuVm4</videoflash>
	==פרק 5 - העתקות לינאריות==		==פרק 5 - העתקות לינאריות==
	===העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות===		===העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות===
−	*מרחב ההעתקות	+
		+
		+	*יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>.
		+	*פונקציה <math>T:V\to W</math> נקראת '''העתקה לינארית''' אם לכל <math>v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F}</math> היא מקיימת:
		+	**<math>T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2</math>
		+	**<math>T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1</math>
		+
		+
		+	*שימו לב לסימון <math>Tv_1=T(v_1)</math>
		+
		+
		+	<videoflash>jU5KHYC2E7s</videoflash>
		+
		+
		+	====פעולות בין העתקות לינאריות====
		+
		+
		+	*הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
		+	*סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
		+	*הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית
		+
		+
		+	<videoflash>YxwGnruuVzk</videoflash>
	===גרעין ותמונה===		===גרעין ותמונה===
−	====משפט הדרגה====	+
		+	* תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית
		+	** הגרעין <math>\ker T=\{v\in V|Tv=0_W\}</math> הוא תת מרחב של התחום <math>V</math>
		+	** התמונה <math>Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\}</math> היא תת מרחב של הטווח <math>W</math>
		+
		+
		+	*ההעתקה <math>T:V\to W</math> חח"ע אם ורק אם <math>\dim\ker T=0</math>
		+	*ההעתקה <math>T:V\to W</math> על אם ורק אם <math>\dim Im T = \dim W</math>
		+
		+
		+	<videoflash>8dQ9s5sLfGY</videoflash>
		+
		+
		+	====משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות====
		+
		+	*תהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס לV.
		+	*אזי <math>Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>jT-LlnbGFmM</videoflash>
		+
		+
		+	*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית אזי <math>\dim \ker T +\dim Im T = \dim V</math>
		+
		+
		+	*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> אזי <math>\dim N(A) + rank(A)=n</math>
		+
		+
		+	<videoflash>iJWnxV8jZ3A</videoflash>
		+
		+
		+	*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
		+	**אם T חח"ע אז <math>\dim V\leq \dim W</math>
		+	**אם T על אזי <math>\dim V \geq \dim W</math>
		+	**אם <math>\dim V = \dim W</math> אזי T חח"ע אם"ם T על.
		+
		+
		+	*העתקה לינארית נקראת גם '''הומומורפיזם'''. העתקה לינארית הפיכה נקראת '''איזומורפיזם'''.
		+	*מרחבים וקטוריים נקראים '''איזומורפייים''' זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
		+	*מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.
		+
		+
		+	<videoflash>Y-NJvNQWFzM</videoflash>
		+
		+	====תרגול====
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/8|תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה]]
		+
		+	===יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה===
		+
		+	*יהי V מ"ו ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
		+	*אזי לכל <math>x\in V</math> '''קיימת''' הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
		+	**<math>x=a_1v_1+...+a_nv_n</math>
		+
		+
		+	<videoflash>qzvrMPhp3eY</videoflash>
		+
		+
		+	*יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
		+	*תהיינה סדרת וקטורים <math>w_1,...,w_n\in W</math> לאו דווקא שונים.
		+	*אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
		+	**לכל i מתקיים כי <math>Tv_i=w_i</math>
		+
		+
		+	<videoflash>NvTFxVhaenY</videoflash>
	===מטריצה מייצגת העתקה===		===מטריצה מייצגת העתקה===
		+	<videoflash>IOYMxNgkQoY</videoflash>
−	====יחידות הצגה לפי בסיס, קואורדינטות====	+
		+	====קואורדינטות====
		+
		+	*יהי V מ"ו ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס סדור לV.
		+	*לכל <math>v\in V</math> נגדיר את '''וקטור הקואורדינטות לפי B''' להיות הסקלים מההצגה היחידה:
		+	**<math>[v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}</math> אם ורק אם <math>v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n</math>
		+
		+
		+	*מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!
		+
		+
		+	<videoflash>wi8TNSA5Los</videoflash>
		+
		+
		+	*נגדיר פונקציה <math>T:V\to \mathbb{F}^n</math> ע"י <math>Tv=[v]_B</math>, אזי T היא איזומורפיזם. לכן
		+	**<math>[a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B</math>
		+	**הסדרה <math>u_1,...,u_k\in V</math> בת"ל אם ורק אם הסדרה <math>[u_1]_B,...,[u_k]_B</math> בת"ל
		+	**<math>v\in span\{u_1,...,u_k\}</math> אם ורק אם <math>[v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>VSpBzsMVgMw</videoflash>
	====משפט קיום ויחידות====		====משפט קיום ויחידות====
		+	*יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל אותו שדה <math>\mathbb{F}</math>.
		+	*נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
		+	*נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
		+	*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית.
		+	*אזי:
		+	**'''קיימת''' מטריצה '''יחידה''' <math>[T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> המקיימת:
		+	**לכל <math>v\in V</math> מתקיים כי <math>[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C</math>
−	====מטריצת סכום והרכבה====	+
		+
		+	*על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
		+	**נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
		+	**נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
		+	**נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.
		+
		+
		+	*<math>[T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}</math>
		+
		+
		+
		+	<videoflash>iglkE9qqy84</videoflash>
		+
		+	====המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית====
		+
		+	*יהיו <math>V,W</math> מ"ו ממימד סופי מעל השדה <math>\mathbb{F}</math> עם בסיסים <math>B,C</math> בהתאמה.
		+	*תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית, ויהי סקלר <math>\alpha\in\mathbb{F}</math>
		+	*אזי
		+	**<math>[T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C</math>
		+	**<math>[\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C</math>
		+	**<math>[S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B</math>
		+	**ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת <math>[T]^B_C</math> הפיכה
		+	***אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי <math>[T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}</math>
		+
		+
		+
		+	<videoflash>EYU0bMBYEJM</videoflash>
	====מטריצות מעבר בין בסיסים====		====מטריצות מעבר בין בסיסים====
		+	*<math>[I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}</math>
		+	*<math>\left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C</math>
		+
		+
		+	<videoflash>FIoJr-dRk9Y</videoflash>
		+
		+	===שלוש צורות הצגת ההעתקה===
		+	*ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
		+	**נוסחא מפורשת
		+	**לפי בסיס
		+	**בעזרת מטריצה מייצגת
		+
		+
		+	<videoflash>ouEdwylqPiQ</videoflash>
		+
		+
		+	=====תרגול=====
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/6|תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים]]
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/9|תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות]]
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/10|תרגול נוסף בנושא העתקות]]
	==פרק 6 - דטרמיננטות==		==פרק 6 - דטרמיננטות==
	===תמורות===		===תמורות===
−	===הגדרת הדטרמיננטה===	+	*נגדיר את אוסף התמורות <math>S_n</math> להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה <math>\{1,2,...,n\}</math> לעצמה.
−	===קשר בין דטרמיננטה להפיכות===
−	===כפליות הדטרמיננטה===	+	*לכל תמורה (פונקציה) <math>f\in S_n</math> נגדיר את סימן התמורה <math>sign(f)=\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}</math>
		+	*תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.
−	===כלל קרמר===	+
		+	*כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי <math>sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)</math>
		+
		+
		+	*עבור תמורת הזהות <math>I\in S_n</math> מתקיים כי<math>sign(I)=1</math>
		+
		+
		+	<videoflash>Lmk0izbQR08</videoflash>
		+
		+
		+	*חילוף הוא תמורה <math>(i\ j)\in S_n</math> המחליפה בין האיברים <math>i,j</math> ושולחת את שאר האיברים לעצמם.
		+
		+
		+	*חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).
		+
		+
		+	*מחזור הוא תמורה <math>(p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k)</math> וסימנו הוא <math>(-1)^{k-1}</math>
		+	*המחזור שולח כל איבר <math>p_{i-1}</math> ל<math>p_i</math>, את <math>p_k</math> ל<math>p_1</math> ואת שאר האיברים לעצמם.
		+
		+
		+	*כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.
		+
		+
		+	<videoflash>oXntZnnoHfM</videoflash>
		+
		+	===הגדרת הדטרמיננטה ותכונות===
		+	*עבור מטריצה ריבועית <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את הדטרמיננטה:
		+	**<math>det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>iS2k9gdW51A</videoflash>
		+
		+
		+	*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ויהיו <math>1\leq i\neq j\leq n</math> כך ש <math>R_i(A)=R_j(A)</math> אזי <math>det(A)=0</math>
		+	*כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.
		+
		+
		+	<videoflash>OJG5zEfaJRE</videoflash>
		+
		+
		+
		+	*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ותהי <math>B</math> המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על <math>A</math> אזי:
		+	**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i+a\cdot R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=|A|</math>
		+	**אם פעולת הדירוג היא <math>a\cdot R_i</math> אזי <math>|B|=a\cdot |A|</math>
		+	**אם פעולת הדירוג היא <math>R_i \leftrightarrow R_j</math> עבור <math>i\neq j</math> אזי <math>|B|=-|A|</math>
		+
		+
		+	<videoflash>QpfCfN5K8VY</videoflash>
		+
		+	===חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות===
		+
		+	*עבור מטריצה משולשית <math>A</math> מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.
		+
		+
		+	*מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.
		+
		+
		+	*לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי <math>|AB|=|A|\cdot |B|</math>
		+
		+
		+	<videoflash>kaM3ugX7izs</videoflash>
		+
		+	===דטרמיננטת המשוחלפת===
		+
		+	*<math>|A^t|=|A|</math>
		+
		+
		+	*פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות
		+
		+
		+	<videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash>
		+
		+	===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה===
		+
		+	*<math>A_{ij}</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
		+	*הדטרמיננטה <math>|A_{ij}|</math> נקראית '''מינור'''.
		+
		+
		+	*לכל i מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math>
		+	*לכל j מתקיים כי <math>det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|</math>
		+
		+
		+	<videoflash>Yb1rS4lNyWk</videoflash>
	===מטריצה נלווית===		===מטריצה נלווית===
		+
		+	*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> נגדיר את המטריצה הנלווית <math>adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> ע"י:
		+	**<math>[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|</math>
		+
		+
		+	*מתקיים כי <math>A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I</math>
		+
		+
		+	*אם A הפיכה מתקיים כי <math>A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)</math>
		+
		+
		+	*מתקיים כי <math>|adj(A)|=|A|^{n-1}</math>
		+
		+
		+	<videoflash>yAnz13JHpK8</videoflash>
		+
		+	===כלל קרמר===
		+	*תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> '''הפיכה''' ויהי <math>b\in\mathbb{F}^n</math> וקטור קבועים.
		+	*אזי הפתרון היחיד <math>\vec{x}=(x_1,...,x_n)</math> למערכת המשוואות <math>A\vec{x}=b</math> מקיים כי:
		+	*לכל i ערך המשתנה נתון ע"י <math>x_i =\frac{|A_i|}{|A|}</math>
		+	*כאשר <math>A_i</math> היא המטריצה המתקבלת מ<math>A</math> על ידי החלפת העמודה ה<math>i</math> בוקטור הקבועים <math>b</math>
		+
		+
		+	*במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
		+	*במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.
		+
		+
		+	<videoflash>1Avy8_3DzdU</videoflash>
		+
		+	===תרגול===
		+	*[[מדיה:88-112-2011S11.pdf|תרגול בנושא דטרמיננטות]]
		+	*[[מדיה:88-112-2011S12b.pdf|תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות]]
		+	*[[88-112 לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעא/מערך תרגול/11|עוד אחד]]

---

גרסה אחרונה מ־07:30, 18 ביולי 2023

חומר עזר

• סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
• מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1

סרטוני ותקציר הרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

• שדה הוא קבוצה יחד עם שתי פעולות כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: לכל מתקיים כי
2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל מתקיים כי וכן
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל מתקיים כי וכן
4. נייטרליים: קיימים כך שלכל מתקיים כי
5. נגדיים: לכל קיים נגדי כך ש
6. הופכיים: לכל קיים הופכי כך ש
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל מתקיים כי

• יהי שדה אזי לכל מתקיים כי אם ורק אם או

• תכונות נוספות של שדות
  • 
  • אם אזי
  • אם וגם אזי

שדות סופיים

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

• 
• 
• 

• נסמן
  • 
  • 
• נובע כי

• הגדרות עבור
  • 
  • 
  • 
  • 

• תכונות
  • אם
  • 
  • 
  • 
  • 

צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

• 
• 

• 
• עבור הזוית נחלק למקרים:
  • אם אזי
  • אם וגם אזי
  • אם וגם אזי
  • אם אזי

• 

• 

• עבור טבעי, ומספר מרוכב קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה
• הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
  • נעביר את המספר לצורתו הקוטבית
  • הפתרונות הם עבור

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

• קבוצת הn-יות הסדורות.
• קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה

הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

• מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים ומטריצת (וקטור) קבועים .
• קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
• 

פעולות דירוג אלמנטריות

• שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
  • עבור (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
  • עבור (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
  • (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)

ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה

צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

• איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.

• מטריצה נקראת מדורגת אם:
  • אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
  • כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.

• מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
  • היא מדורגת.
  • כל האיברים הפותחים שווים ל1.
  • בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.

משתנים חופשיים ותלויים

• משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
• כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.

• מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
  • אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.

• מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
  • מוודאים שאין שורת סתירה.
  • בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
  • מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.

דירוג מטריצה עם פרמטר

הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

• תהיינה ויהי סקלר
  • נגדיר את על ידי
  • נגדיר את על ידי

כפל מטריצות

• 
• 

• תהיינה
  • נגדיר את המכפלה על ידי
  • 

• הוקטור הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים ווקטור הקבועים אם ורק אם

שיטות לחישוב כפל מטריצות

• חישוב הכפל לפי עמודות
  • 
  • 
• חישוב הכפל לפי שורות
  • 
  • 

תכונות של אלגברת מטריצות

• וכן
• 
• וכן
• 

• מטריצת היחידה מוגדרת על ידי
• לכל מתקיים כי

• לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
  • 

פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

• פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

• עבור נגדיר את המטריצה המשוחלפת על ידי

• 
• 

• 
• 
• 
• 

עקבה

• העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
  • עבור נגדיר

• תכונות העקבה:
  • 
  • 
  • 

• דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות כך ש
  • אך

תרגול

• תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

• מטריצה נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות כך ש וכן
• אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה ונקרא לה ההופכית של המקיימת . כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת .

• תהי הפיכה, אזי למערכת המשוואות יש פתרון יחיד, והוא

• תהיינה הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל מוגדר, אזי
• תהי הפיכה אזי
• תהי הפיכה אזי
• תהי הפיכה ויהי סקלר אזי

מטריצות פעולה

• תהי פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
• לכל נגדיר את מטריצת הפעולה .
• לכל מטריצה מתקיים כי
• מטריצת הפעולה היא הפיכה.

• לכל מטריצה קיימת מטריצה הפיכה כך ש

בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

• מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם אך או אזי אינה הפיכה
• אם ב השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב היא שורת אפסים.
  • ב לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
• מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
• מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.

• מטריצה היא הפיכה אם ורק אם
• אם ריבועיות כך ש אזי
• תהיינה ריבועיות אזי הפיכה אם ורק אם הפיכות שתיהן

• דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
  • 

אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית

• תהי מטריצה ריבועית
• נדרג את מטריצת הבלוקים קנונית.
• אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
• אחרת, הצורה הקנונית של היא ולכן היא הפיכה.
• הגענו למטריצת הבלוקים .

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

• מרחב וקטורי מעל שדה הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות:
2. חילופיות:
3. אסוציאטיביות (קיבוץ):
4. נייטרלי לחיבור:
5. נגדיים:
6. נייטרלי לכפל בסקלר:
7. דיסטריביוטיביות (פילוג):

• יהי מ"ו מעל שדה ויהיו אזי:
  • אם ורק אם או
• כמו כן,

תתי מרחבים

• יהי מ"ו מעל שדה , ותהי תת קבוצה של וקטורים.
• אזי נקרא תת מרחב של אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של .

• יהי מ"ו מעל שדה , ותהי תת קבוצה של וקטורים.
• אזי תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
  • 
  • לכל ולכל מתקיים כי

• תהי אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית הינה תת מרחב וקטורי.
  • קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.

• אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.

• אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

• יהי מ"ו מעל שדה , ויהיו , תתי מרחב.
  • הינו תת מרחב של .
  • תת מרחב של אם ורק אם או .

• יהי מ"ו מעל שדה , ויהיו , תתי מרחב.
• נגדיר את סכום תתי המרחבים:
  • 

• הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את . כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב מתקיים כי

• הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב מתקיים כי

• דוגמא:
• 
• 
• 
• 
• ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
  • 

• סכום ישר:
• יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
  • 
  • 

• משפט:
• אם ורק אם לכל וקטור קיימת הצגה יחידה כסכום של רכיבים מU ומW.

• כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.

תרגול

• תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

פרישה ותלות לינארית

• יהי מ"ו מעל שדה ותהי .
  • וקטור נקרא צירוף לינארי של הקבוצה אם או קיימים וקטורים בקבוצה וסקלרים מהשדה כך ש
• כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
• אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא .

• טענה: יהי V מ"ו ותהי אזי הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את . כלומר:
  • תת מרחב וקטורי
  • לכל תת מרחב כך ש מתקיים כי

• יהי מ"ו מעל שדה , ותהי n-ית וקטורים . אומרים שהוקטורים (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס .
• אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
• קבוצה נקראת תלוייה לינארית אם קיימים וקטורים שונים שתלויים לינארית.

• יהיו .
• הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
  • בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות
• לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר

• באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם :
  • נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
  • הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.

בסיס ומימד

• לֶמת ההחלפה של שטייניץ
• יהי מ"ו ותהיינה בת"ל וכן פורשת (כלומר ).
• אזי לכל קיים כך ש וגם הקבוצה בת"ל.

• יהי מ"ו ותהי קבוצה פורשת (כלומר ) כך ש (כלומר יש בה n וקטורים).
• תהי בנוסף קבוצה בת"ל, אזי (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).

• הגדרת בסיס:
• יהי מ"ו ותהי קבוצת וקטורים.
• אם בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר ) אזי היא נקראת בסיס למרחב .

• יהי מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית שפורשת את כל המרחב ).
• אזי קיים לו בסיס סופי.
• כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
• כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים .

• כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.

העשרה

• לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
• ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
• נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
• B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
• B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.

משפט השלישי חינם

• יהי מ"ו ממימד ותהי .
• אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו מהווה בסיס למרחב .
  • בת"ל
  • פורשת (כלומר )
  • (כלומר כמות הוקטורים ב שווה למימד)

• יהי מ"ו נוצר סופית, ויהי תת מרחב.
• אם אזי

תרגול

• תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

• 

תרגול

• תרגול על משפט המימדים

הצגה פרמטרית ואלגברית

שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים

• תהי
  • 
  • 
  • 

• 
• 

• על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
• על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.

• ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
• לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.

תרגול

• תרגול בנושא מרחבי המטריצה

דרגה של מטריצה

• בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.

• כל הגדלים הבאים שווים:
  • דרגה של מטריצה
  • מימד מרחב העמודות
  • מימד מרחב השורות
  • מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
  • מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית

• כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

• ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

• יהיו מ"ו מעל אותו שדה .
• פונקציה נקראת העתקה לינארית אם לכל היא מקיימת:
  • 
  • 

• שימו לב לסימון

פעולות בין העתקות לינאריות

• הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
• סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
• הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית

גרעין ותמונה

• תהי העתקה לינארית
  • הגרעין הוא תת מרחב של התחום
  • התמונה היא תת מרחב של הטווח

• ההעתקה חח"ע אם ורק אם
• ההעתקה על אם ורק אם

משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות

• תהי העתקה לינארית ויהי בסיס לV.
• אזי

• תהי העתקה לינארית אזי

• תהי אזי

• תהי העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
  • אם T חח"ע אז
  • אם T על אזי
  • אם אזי T חח"ע אם"ם T על.

• העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
• מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
• מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.

תרגול

• תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה

• יהי V מ"ו ויהי בסיס סדור לV.
• אזי לכל קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
  • 

• יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי בסיס סדור לV.
• תהיינה סדרת וקטורים לאו דווקא שונים.
• אזי קיימת העתקה לינארית יחידה המקיימת:
  • לכל i מתקיים כי

מטריצה מייצגת העתקה

קואורדינטות

• יהי V מ"ו ויהי בסיס סדור לV.
• לכל נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
  • אם ורק אם

• מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!

• נגדיר פונקציה ע"י , אזי T היא איזומורפיזם. לכן
  • 
  • הסדרה בת"ל אם ורק אם הסדרה בת"ל
  • אם ורק אם

משפט קיום ויחידות

• יהיו מ"ו מעל אותו שדה .
• נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
• נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
• תהי העתקה לינארית.
• אזי:
  • קיימת מטריצה יחידה המקיימת:
  • לכל מתקיים כי

• על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
  • נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
  • נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
  • נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.

• 

המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית

• יהיו מ"ו ממימד סופי מעל השדה עם בסיסים בהתאמה.
• תהי העתקה לינארית, ויהי סקלר
• אזי
  • 
  • 
  • 
  • ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת הפיכה
    • אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי

מטריצות מעבר בין בסיסים

• 
• 

שלוש צורות הצגת ההעתקה

• ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
  • נוסחא מפורשת
  • לפי בסיס
  • בעזרת מטריצה מייצגת

תרגול

• תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
• תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
• תרגול נוסף בנושא העתקות

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

• נגדיר את אוסף התמורות להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה לעצמה.

• לכל תמורה (פונקציה) נגדיר את סימן התמורה
• תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.

• כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי

• עבור תמורת הזהות מתקיים כי

• חילוף הוא תמורה המחליפה בין האיברים ושולחת את שאר האיברים לעצמם.

• חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).

• מחזור הוא תמורה וסימנו הוא
• המחזור שולח כל איבר ל, את ל ואת שאר האיברים לעצמם.

• כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.

הגדרת הדטרמיננטה ותכונות

• עבור מטריצה ריבועית נגדיר את הדטרמיננטה:
  • 

• תהי ויהיו כך ש אזי
• כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.

• תהי ותהי המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על אזי:
  • אם פעולת הדירוג היא עבור אזי
  • אם פעולת הדירוג היא אזי
  • אם פעולת הדירוג היא עבור אזי

חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות

• עבור מטריצה משולשית מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.

• מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

• לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי

דטרמיננטת המשוחלפת

• 

• פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות

נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה

• היא המטריצה המתקבלת מ על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
• הדטרמיננטה נקראית מינור.

• לכל i מתקיים כי
• לכל j מתקיים כי

מטריצה נלווית

• תהי נגדיר את המטריצה הנלווית ע"י:
  • 

• מתקיים כי

• אם A הפיכה מתקיים כי

• מתקיים כי

כלל קרמר

• תהי הפיכה ויהי וקטור קבועים.
• אזי הפתרון היחיד למערכת המשוואות מקיים כי:
• לכל i ערך המשתנה נתון ע"י
• כאשר היא המטריצה המתקבלת מ על ידי החלפת העמודה ה בוקטור הקבועים

• במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
• במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.

תרגול

• תרגול בנושא דטרמיננטות
• תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות
• עוד אחד