הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"
(←אינטגרציה בהצבה) |
(←ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית) |
||
שורה 60: | שורה 60: | ||
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. | בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב <math>u=tan\left (\frac{x}{2}\right )</math>. | ||
− | נזכור כי 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha}, ונקבל cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}. | + | נזכור כי <math>1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha</math>}, ונקבל <math>cos^2 \left ( \frac{x}{2} \right )=\frac{1}{1+tan^2\left ( \frac{x}{2} \right )}=\frac{1}{1+u^2}</math>. |
− | נקבל בנוסף cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}. | + | נקבל בנוסף <math>cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2}</math>. |
− | לכן sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2} | + | לכן <math>sin\ x=\sqrt{ 1-cos^2 x }=\sqrt{1-\left (\frac{1-u^2}{1+u^2} \right )^2}=\sqrt{1-\frac{1-2u^2+u^4}{1+2u^2+u^4}}=\sqrt{\frac{1+2u^2+u^4-\left (1-2u^2+u^4 \right )}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{4u^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\sqrt{\frac{\left ( 2u \right )^2}{\left ( 1+u^2 \right )^2}}=\frac{2u}{1+u^2}</math> |
כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>. | כמו כן, <math>x=2\cdot arctan\ t</math>, ולכן <math>dx=\frac{2}{1+u^2} du</math>. |
גרסה מ־18:52, 29 במרץ 2013
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
תוכן עניינים
אינטגרציה "רגילה"
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה,
.
השלמה לריבוע
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-.
דוגמה
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
אינטגרציה בחלקים
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את .
לפי השיטה, נסמן , .
לכן נקבל , .
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
.
הרחבה
אינטגרציה בהצבה
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את כאשר .
נבצע הצבה: . מקבלים:
(נזכור כי , לכן אין צורך בערך מוחלט).
הרחבה
ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב .
נזכור כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): 1+tan^2\alpha=\frac{1}{cos^2 \alpha }, ונקבל .
נקבל בנוסף עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \dcot לא מוכרת): cos\ x=2\dcot cos^2\left ( \frac{x}{2} \right )-1=2\cdot\frac{1}{1+u^2}-1=\frac{2-1-u^2}{1+u^2}=\frac{1-u^2}{1+u^2} .
לכן
כמו כן, , ולכן .
דוגמה
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב . נקבל: