הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות)
(←‏דטרמיננטת המשוחלפת)
שורה 919: שורה 919:
 
===דטרמיננטת המשוחלפת===
 
===דטרמיננטת המשוחלפת===
  
 +
*<math>|A^t|=|A|</math>
  
−
<videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash>
 
  
 +
*פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות
 +
 +
 +
<videoflash>i6tF0z_cXN8</videoflash>
  
 
===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה===
 
===נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה===

גרסה מ־11:31, 20 באוגוסט 2020

תוכן עניינים

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

  • שדה הוא קבוצה \mathbb{F} יחד עם שתי פעולות +,\cdot כך שמתקיימות התכונות הבאות:
  1. סגירות: לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}
  2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a+b=b+a וכן a\cdot b=b\cdot a
  3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל a,b,c\in\mathbb{F} מתקיים כי a+(b+c)=(a+b)+c וכן a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c
  4. נייטרליים: קיימים 0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F} כך שלכל a\in\mathbb{F} מתקיים כי 0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a
  5. נגדיים: לכל a\in\mathbb{F} קיים נגדי -a\in\mathbb{F} כך ש a+(-a)=0_{\mathbb{F}}
  6. הופכיים: לכל 0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F} קיים הופכי a^{-1}\in \mathbb{F} כך ש a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}
  7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל a,b,c\in\mathbb{F} מתקיים כי a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c



  • יהי שדה \mathbb{F} אזי לכל a,b\in\mathbb{F} מתקיים כי a\cdot b=0_{\mathbb{F}} אם ורק אם a=0_{\mathbb{F}} או b=0_{\mathbb{F}}



  • תכונות נוספות של שדות
    • (-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a
    • אם a+b=a+c אזי b=c
    • אם a\neq 0_{\mathbb{F}} וגם a\cdot b = a\cdot c אזי b=c

שדות סופיים

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

  • \mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}
  • (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)
  • (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)


  • נסמן
    • a=(a,0)
    • i=(0,1)
  • נובע כי a+b\cdot i =(a,b)


  • הגדרות עבור z=a+b\cdot i
    • \overline{Z}=a-b\cdot i
    • |z|=\sqrt{a^2+b^2}
    • Re(z)=a
    • Im(z)=b


  • תכונות
    • z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2} אם z\neq 0
    • z+\overline{z}=2\cdot Re(z)
    • z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)
    • \overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}
    • \overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}


צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

  • a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)
  • cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)
  • r=\sqrt{a^2+b^2}
  • עבור הזוית נחלק למקרים:
    • אם a>0 אזי \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)
    • אם a=0 וגם b>0 אזי \theta=\frac{\pi}{2}
    • אם a=0 וגם b<0 אזי \theta=-\frac{\pi}{2}
    • אם a<0 אזי \theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi



  • r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)



  • (r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)


  • עבור n\geq 2 טבעי, ומספר מרוכב a+b\cdot i\neq 0 קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה z^n=a+b\cdot i
  • הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
    • נעביר את המספר לצורתו הקוטבית a+b\cdot i = r cis(\theta)
    • הפתרונות הם z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right) עבור k=0,1,...,n-1


תרגול

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

  • \mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\} קבוצת הn-יות הסדורות.
  • \mathbb{F}^{n\times m} קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה \mathbb{F}


הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

  • מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים A\in\mathbb{F}^{m\times n} ומטריצת (וקטור) קבועים \vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1}.
  • קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
  • \begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}


פעולות דירוג אלמנטריות

  • שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
    • \alpha R_i עבור 0\neq \alpha\in\mathbb{F} (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
    • R_i+\alpha R_j עבור i\neq j (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
    • R_i \leftrightarrow R_j (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)


ייצוג מערכת משוואות בעזרת מטריצה


צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

  • איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.
  • מטריצה נקראת מדורגת אם:
    • אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
    • כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.
  • מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
    • היא מדורגת.
    • כל האיברים הפותחים שווים ל1.
    • בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.


משתנים חופשיים ותלויים

  • משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
  • כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.
  • מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
    • מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
    • אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
    • אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
    • אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.


  • מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
    • מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
    • מוודאים שאין שורת סתירה.
    • בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
    • מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.


דירוג מטריצה עם פרמטר


הוכחת קיום ויחידות צורה מדורגת קנונית

תרגול

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

  • תהיינה A,B\in\mathbb{F}^{n\times m} ויהי סקלר \alpha\in\mathbb{F}
    • נגדיר את A+B\in\mathbb{F}^{n\times m} על ידי [A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}
    • נגדיר את \alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m} על ידי [\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij}


כפל מטריצות

  • \sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n
  • \prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n


  • תהיינה A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k}
    • נגדיר את המכפלה AB\in\mathbb{F}^{n\times k} על ידי
    • [AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj}



  • הוקטור \vec{x} הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים A ווקטור הקבועים \vec{b} אם ורק אם A\cdot \vec{x}=\vec{b}



שיטות לחישוב כפל מטריצות


  • חישוב הכפל לפי עמודות
    • \begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n
    • C_i(AB)=AC_i(B)
  • חישוב הכפל לפי שורות
    • \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n
    • R_i(AB)=R_i(A)B


תכונות של אלגברת מטריצות

  • A(B+C)=AB+AC וכן (A+B)C=AC+BC
  • \alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)
  • (\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A וכן \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B



  • מטריצת היחידה I_n\in\mathbb{F}^{n\times n} מוגדרת על ידי [I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}
  • לכל A\in\mathbb{F}^{n\times m} מתקיים כי I_n\cdot A=A\cdot I_m =A



  • לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
    • (AB)C=A(BC)


פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

  • פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

  • עבור A\in\mathbb{F}^{n\times m} נגדיר את המטריצה המשוחלפת A^t\in\mathbb{F}^{m\times n} על ידי [A^t]_{ij}=[A]_{ji}


  • R_i(A^t)=C_i^t(A)
  • C_i(A^t)=R_i^t(A)


  • (A^t)^t=A
  • (A+B)^t = A^t+B^t
  • (\alpha A)^t = \alpha A^t
  • (AB)^t=B^tA^t


עקבה

  • העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
    • עבור A\in\mathbb{F}^{n\times n} נגדיר tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}


  • תכונות העקבה:
    • tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
    • tr(\alpha A)=\alpha tr(A)
    • tr(AB)=tr(BA)


  • דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות A,B\in\mathbb{R}^{n\times n} כך ש AB-BA=I
    • tr(AB-BA)=0 אך tr(I)=n\neq 0


תרגול

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

  • מטריצה A\in\mathbb{F}^{n\times m} נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות B,C\in\mathbb{F}^{m\times n} כך שAB=I_n וכן CA=I_m
  • אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה A^{-1} ונקרא לה ההופכית של A המקיימת AA^{-1}=I. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת A^{-1}A=I.


  • תהי A הפיכה, אזי למערכת המשוואות A\vec{x}=\vec{b} יש פתרון יחיד, והוא \vec{x}=A^{-1}\vec{b}



  • תהיינה A,B הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל AB מוגדר, אזי (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  • תהי A הפיכה אזי (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t
  • תהי A הפיכה אזי (A^{-1})^{-1}=A
  • תהי A הפיכה ויהי סקלר \alpha\neq 0 אזי (\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}



מטריצות פעולה

  • תהי f פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
  • לכל n נגדיר את מטריצת הפעולה f(I_n).
  • לכל מטריצה A\in\mathbb{F}^{m\times n} מתקיים כי f(I_m)\cdot A = f(A)
  • מטריצת הפעולה היא הפיכה.


  • לכל מטריצה A\in\mathbb{F}^{m\times n} קיימת מטריצה הפיכה P\in\mathbb{F}^{m\times m} כך ש P\cdot A=CF(A)


בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

  • מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם B\neq 0 אך AB=0 או BA=0 אזי A אינה הפיכה
  • אם בA השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל B כך שהכפל מוגדר, השורה הi בAB היא שורת אפסים.
    • בBA לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
  • מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
  • מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.



  • מטריצה A היא הפיכה אם ורק אם CF(A)=I
  • אם A,B ריבועיות כך שAB=I אזי A^{-1}=B
  • תהיינה A,B\in\mathbb{F}^{n\times n} ריבועיות אזי AB הפיכה אם ורק אם A,B הפיכות שתיהן
  • דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
    • \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}



אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית
  • תהי מטריצה ריבועית A\in\mathbb{F}^{n\times n}
  • נדרג את מטריצת הבלוקים (A|I) קנונית.
  • אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של A יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
  • אחרת, הצורה הקנונית של A היא I ולכן היא הפיכה.
  • הגענו למטריצת הבלוקים (I|A^{-1}).


תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

  • מרחב וקטורי V מעל שדה \mathbb{F} הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:
  1. סגירות: \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V
  2. חילופיות: \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w=w+u
  3. אסוציאטיביות (קיבוץ): \forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v
  4. נייטרלי לחיבור: \exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v
  5. נגדיים: \forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V
  6. נייטרלי לכפל בסקלר: \forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v
  7. דיסטריביוטיביות (פילוג): \forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w



  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F} ויהיו \alpha\in\mathbb{F},u\in V אזי:
    • \alpha u = 0_V אם ורק אם \alpha=0_\mathbb{F} או u=0_V
  • כמו כן, (-1_\mathbb{F})u=-u



תתי מרחבים

  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ותהי U\subseteq V תת קבוצה של וקטורים.
  • אזי U נקרא תת מרחב של V אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של V.


  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ותהי U\subseteq V תת קבוצה של וקטורים.
  • אזי U תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
    • 0_V\in U
    • לכל v_1,v_2\in U ולכל \alpha\in\mathbb{F} מתקיים כי v_1+\alpha v_2\in U



  • תהי A\in\mathbb{F}^{m\times n} אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית N(A)\subseteq\mathbb{F}^n הינה תת מרחב וקטורי.
    • קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.


  • אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.


  • אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.



חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ויהיו U,W\subseteq V, תתי מרחב.
    • U\cap W הינו תת מרחב של V.
    • U\cup W תת מרחב של V אם ורק אם U\subseteq W או W\subseteq U.



  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ויהיו U,W\subseteq V, תתי מרחב.
  • נגדיר את סכום תתי המרחבים:
    • U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}


  • U+W הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את U,W. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
    • לכל תת מרחב U,W\subseteq T מתקיים כי U,W\subseteq U+W\subseteq T


  • U\cap W הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל בU,W. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
    • לכל תת מרחב T\subseteq U,W מתקיים כי T\subseteq U\cap W\subseteq U,W



  • דוגמא:
  • V=\mathbb{R}^3
  • U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}
  • W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}
  • U+W=V
  • ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
    • (4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1)


  • סכום ישר:
  • יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש V=U\oplus W אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
    • V=U+W
    • U\cap W =\{0_V\}


  • משפט:
  • V=U\oplus W אם ורק אם לכל וקטור v\in V קיימת הצגה יחידה v=u+w כסכום של רכיבים מU ומW.


  • כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.


תרגול

פרישה ותלות לינארית

  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F} ותהי S\subseteq V.
    • וקטור x\in V נקרא צירוף לינארי של הקבוצה S אם x=0_V או קיימים וקטורים בקבוצה v_1,...,v_n\in S וסקלרים מהשדה a_1,...,a_n\in\mathbb{F} כך ש x=a_1v_1+...+a_nv_n
  • כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
  • אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא span(S).


  • טענה: יהי V מ"ו ותהי S\subseteq V אזי span(S) הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את S. כלומר:
    • span(S) תת מרחב וקטורי
    • לכל תת מרחב T כך ש S\subseteq T מתקיים כי S\subseteq span(S)\subseteq T



  • יהי V מ"ו מעל שדה \mathbb{F}, ותהי n-ית וקטורים (v_1,...,v_n)\in V^n. אומרים שהוקטורים v_1,...,v_n (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים a_1,...,a_n\in\mathbb{F} לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V.
  • אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
  • קבוצה S\subseteq V נקראת תלוייה לינארית אם קיימים v_1,...,v_n\in S וקטורים שונים שתלויים לינארית.



  • יהיו v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n.
  • הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה x_1v_1+...+x_kv_k=0_V הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
    • בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix}
  • לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר N(A)=\{0_v\}


  • באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם v\in span\{v_1,...,v_k\}:
    • נשים את הוקטורים v_1,...,v_k בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
    • הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.


בסיס ומימד

  • לֶמת ההחלפה של שטייניץ
  • יהי V מ"ו ותהיינה A\subseteq V בת"ל וכן B\subseteq V פורשת (כלומר sp(B)=V).
  • אזי לכל a\in A קיים b\in B כך ש b\notin A\setminus \{a\} וגם הקבוצה (A\setminus \{a\})\cup \{b\} בת"ל.



  • יהי V מ"ו ותהי B\subseteq V קבוצה פורשת (כלומר sp(B)=V) כך ש |B|=n (כלומר יש בה n וקטורים).
  • תהי בנוסף A\subseteq V קבוצה בת"ל, אזי |A|\leq |B| (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).



  • הגדרת בסיס:
  • יהי V מ"ו ותהי S\subseteq V קבוצת וקטורים.
  • אם S בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר sp(S)=V) אזי היא נקראת בסיס למרחב V.


  • יהי V מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית B\subseteq V שפורשת את כל המרחב sp(B)=V).
  • אזי קיים לו בסיס סופי.
  • כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
  • כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים dim(V)=|B|.


  • כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.



העשרה

  • לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
  • ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
  • נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
  • B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
  • B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.


משפט השלישי חינם

  • יהי V מ"ו ממימד n ותהי S\subseteq V.
  • אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים וS מהווה בסיס למרחב V.
    • S בת"ל
    • S פורשת (כלומר sp(S)=V)
    • |S|=n (כלומר כמות הוקטורים בS שווה למימד)



  • יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי U\subseteq V תת מרחב.
  • אם \dim (U)=\dim (V) אזי U=V


תרגול

משפט המימדים

sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B)



  • \dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W)



תרגול

הצגה פרמטרית ואלגברית

שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים

  • תהי A\in\mathbb{F}^{m\times n}
    • R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n
    • C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m
    • N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n



  • R(AB)\subseteq R(B)
  • C(AB)\subseteq C(A)



  • על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
  • על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.



  • ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
  • לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.



תרגול

דרגה של מטריצה

  • בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.



  • כל הגדלים הבאים שווים:
    • דרגה של מטריצה
    • מימד מרחב העמודות
    • מימד מרחב השורות
    • מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
    • מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית


  • כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.


  • ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).


פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

  • יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה \mathbb{F}.
  • פונקציה T:V\to W נקראת העתקה לינארית אם לכל v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F} היא מקיימת:
    • T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2
    • T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1


  • שימו לב לסימון Tv_1=T(v_1)



פעולות בין העתקות לינאריות

  • הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
  • סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
  • הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית


גרעין ותמונה

  • תהי T:V\to W העתקה לינארית
    • הגרעין \ker T=\{v\in V|Tv=0_W\} הוא תת מרחב של התחום V
    • התמונה Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\} היא תת מרחב של הטווח W


  • ההעתקה T:V\to W חח"ע אם ורק אם \dim\ker T=0
  • ההעתקה T:V\to W על אם ורק אם \dim Im T = \dim W



משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות

  • תהי העתקה לינארית T:V\to W ויהי \{v_1,...,v_n\} בסיס לV.
  • אזי Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}



  • תהי T:V\to W העתקה לינארית אזי \dim \ker T +\dim Im T = \dim V


  • תהי A\in\mathbb{F}^{m\times n} אזי \dim N(A) + rank(A)=n



  • תהי T:V\to W העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
    • אם T חח"ע אז \dim V\leq \dim W
    • אם T על אזי \dim V \geq \dim W
    • אם \dim V = \dim W אזי T חח"ע אם"ם T על.


  • העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
  • מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
  • מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.


תרגול

יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה

  • יהי V מ"ו ויהי \{v_1,...,v_n\} בסיס סדור לV.
  • אזי לכל x\in V קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
    • x=a_1v_1+...+a_nv_n



  • יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי \{v_1,...,v_n\} בסיס סדור לV.
  • תהיינה סדרת וקטורים w_1,...,w_n\in W לאו דווקא שונים.
  • אזי קיימת העתקה לינארית יחידה T:V\to W המקיימת:
    • לכל i מתקיים כי Tv_i=w_i


מטריצה מייצגת העתקה


קואורדינטות

  • יהי V מ"ו ויהי B=\{v_1,...,v_n\} בסיס סדור לV.
  • לכל v\in V נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
    • [v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix} אם ורק אם v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n


  • מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!



  • נגדיר פונקציה T:V\to \mathbb{F}^n ע"י Tv=[v]_B, אזי T היא איזומורפיזם. לכן
    • [a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B
    • הסדרה u_1,...,u_k\in V בת"ל אם ורק אם הסדרה [u_1]_B,...,[u_k]_B בת"ל
    • v\in span\{u_1,...,u_k\} אם ורק אם [v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}


משפט קיום ויחידות

  • יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה \mathbb{F}.
  • נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
  • נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
  • תהי T:V\to W העתקה לינארית.
  • אזי:
    • קיימת מטריצה יחידה [T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n} המקיימת:
    • לכל v\in V מתקיים כי [T]_C^B[v]_B=[Tv]_C


  • על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
    • נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
    • נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
    • נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.


  • [T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}


המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית

  • יהיו V,W מ"ו ממימד סופי מעל השדה \mathbb{F} עם בסיסים B,C בהתאמה.
  • תהי T:V\to W העתקה לינארית, ויהי סקלר \alpha\in\mathbb{F}
  • אזי
    • [T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C
    • [\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C
    • [S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B
    • ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת [T]^B_C הפיכה
      • אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי [T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}


מטריצות מעבר בין בסיסים

  • [I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}
  • \left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C


שלוש צורות הצגת ההעתקה

  • ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
    • נוסחא מפורשת
    • לפי בסיס
    • בעזרת מטריצה מייצגת



תרגול

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

  • נגדיר את אוסף התמורות S_n להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה \{1,2,...,n\} לעצמה.


  • לכל תמורה (פונקציה) f\in S_n נגדיר את סימן התמורה sign(f)=\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}
  • תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.


  • כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)


  • עבור תמורת הזהות I\in S_n מתקיים כיsign(I)=1



  • חילוף הוא תמורה (i\ j)\in S_n המחליפה בין האיברים i,j ושולחת את שאר האיברים לעצמם.


  • חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).


  • מחזור הוא תמורה (p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k) וסימנו הוא (-1)^{k-1}
  • המחזור שולח כל איבר p_{i-1} לp_i, את p_k לp_1 ואת שאר האיברים לעצמם.


  • כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.


הגדרת הדטרמיננטה ותכונות

  • עבור מטריצה ריבועית A\in\mathbb{F}^{n\times n} נגדיר את הדטרמיננטה:
    • det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}



  • תהי A\in\mathbb{F}^{n\times n} ויהיו 1\leq i\neq j\leq n כך ש R_i(A)=R_j(A) אזי det(A)=0
  • כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.



  • תהי A\in\mathbb{F}^{n\times n} ותהי B המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על A אזי:
    • אם פעולת הדירוג היא R_i+a\cdot R_j עבור i\neq j אזי |B|=|A|
    • אם פעולת הדירוג היא a\cdot R_i אזי |B|=a\cdot |A|
    • אם פעולת הדירוג היא R_i \leftrightarrow R_j עבור i\neq j אזי |B|=-|A|


חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות

  • עבור מטריצה משולשית A מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.


  • מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.


  • לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי |AB|=|A|\cdot |B|


דטרמיננטת המשוחלפת

  • |A^t|=|A|


  • פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות


נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה

מטריצה נלווית


כלל קרמר


תרגול

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אלגברה_לינארית_-_ארז_שיינר&oldid=85660