אלגברה לינארית - ארז שיינר

חומר עזר

• סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
• מבחנים באלגברה לינארית 1

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

• שדה הוא קבוצה $\mathbb{F}$ יחד עם שתי פעולות $+,\cdot$ כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}$
2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b=b+a$ וכן $a\cdot b=b\cdot a$
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+(b+c)=(a+b)+c$ וכן $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
4. נייטרליים: קיימים $0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}$ כך שלכל $a\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a$
5. נגדיים: לכל $a\in\mathbb{F}$ קיים נגדי $-a\in\mathbb{F}$ כך ש $a+(-a)=0_{\mathbb{F}}$
6. הופכיים: לכל $0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F}$ קיים הופכי $a^{-1}\in \mathbb{F}$ כך ש $a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}$
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

• יהי שדה $\mathbb{F}$ אזי לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot b=0_{\mathbb{F}}$ אם ורק אם $a=0_{\mathbb{F}}$ או $b=0_{\mathbb{F}}$

• תכונות נוספות של שדות
  • $(-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a$
  • אם $a+b=a+c$ אזי $b=c$
  • אם $a\neq 0_{\mathbb{F}}$ וגם $a\cdot b = a\cdot c$ אזי $b=c$

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

• $\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
• $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
• $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

• נסמן
  • $a=(a,0)$
  • $i=(0,1)$
• נובע כי $a+b\cdot i =(a,b)$

• צורה קרטזית וקוטבית
• דה-מואבר ומציאת שורשים.
• צמוד מרוכב ושאר הגדרות, הדגמה ע"י פולינום עם מקדמים ממשיים ושורש מרוכב.

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

תרגול

• תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הופכיות

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

תתי מרחבים

תרגול

• תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

בסיס ומימד

תרגול

• תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

תרגול

• תרגול על משפט המימדים

שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה

תרגול

• תרגול בנושא מרחבי המטריצה

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

• מרחב ההעתקות

גרעין ותמונה

תרגול

• תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

מטריצה מייצגת העתקה

מטריצות מעבר בין בסיסים

תרגול

• תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
• תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
• תרגול נוסף בנושא העתקות

פרק 6 - דטרמיננטות

תרגול

• תרגול בנושא דטרמיננטות
• תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות
• עוד אחד