שיטות אינטגרציה
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש.
תוכן עניינים
אינטגרציה "רגילה"
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמה,
.
השלמה לריבוע
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שנייה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהיעזר ב-.
דוגמה
ניעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
אינטגרציה בחלקים
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את .
לפי השיטה, נסמן , .
לכן נקבל , .
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
.
הרחבה
אינטגרציה בהצבה
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמה
נחפש את כאשר .
נבצע הצבה: . מקבלים:
(נזכור כי , לכן אין צורך בערך מוחלט).
הרחבה
ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב .
נזכור כי , ונקבל .
נקבל בנוסף .
לכן
כמו כן, , ולכן .
דוגמה
ניעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב . נקבל:
הרחבה
הצבות אוילר
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם ו-.
אוילר 1 - הפולינום פריק
נניח כי הפולינום פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן .
הצבת אוילר: נציב (אפשר גם את השורש השני). נביע את באמצעות , ונוכל למצוא גם את וגם את .
דוגמה
ניעזר בהצבת אוילר: נציב . לכן , כלומר , ומכאן . לכן . בנוסף,
מקבלים:
כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
אוילר 2 - פולינום יותר כללי
ישנן שתי אפשרויות:
- בהינתן , נציב .
- בהינתן , נציב .
נביע את באמצעות , ונוכל למצוא את ואת .
דוגמה
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב . נעלה בריבוע ונקבל , כלומר . לכן , וכן .
מקבלים: