אלגברה לינארית - ארז שיינר

חומר עזר

• סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
• מבחנים ובחנים עם פתרונות מלאים באלגברה לינארית 1

סרטוני ותקציר הרצאות

פלייליסט של כל הסרטונים

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

• שדה הוא קבוצה $\mathbb{F}$ יחד עם שתי פעולות $+,\cdot$ כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}$
2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b=b+a$ וכן $a\cdot b=b\cdot a$
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+(b+c)=(a+b)+c$ וכן $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
4. נייטרליים: קיימים $0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}$ כך שלכל $a\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a$
5. נגדיים: לכל $a\in\mathbb{F}$ קיים נגדי $-a\in\mathbb{F}$ כך ש $a+(-a)=0_{\mathbb{F}}$
6. הופכיים: לכל $0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F}$ קיים הופכי $a^{-1}\in \mathbb{F}$ כך ש $a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}$
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

• יהי שדה $\mathbb{F}$ אזי לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot b=0_{\mathbb{F}}$ אם ורק אם $a=0_{\mathbb{F}}$ או $b=0_{\mathbb{F}}$

• תכונות נוספות של שדות
  • $(-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a$
  • אם $a+b=a+c$ אזי $b=c$
  • אם $a\neq 0_{\mathbb{F}}$ וגם $a\cdot b = a\cdot c$ אזי $b=c$

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

• $\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
• $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
• $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

• נסמן
  • $a=(a,0)$
  • $i=(0,1)$
• נובע כי $a+b\cdot i =(a,b)$

• הגדרות עבור $z=a+b\cdot i$
  • $\overline{z}=a-b\cdot i$
  • $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
  • $Re(z)=a$
  • $Im(z)=b$

• תכונות
  • $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$ אם $z\neq 0$
  • $z+\overline{z}=2\cdot Re(z)$
  • $z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)$
  • $\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}$
  • $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$

צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

• $a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)$
• $cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)$

• $r=\sqrt{a^2+b^2}$
• עבור הזוית נחלק למקרים:
  • אם $a>0$ אזי $\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)$
  • אם $a=0$ וגם $b>0$ אזי $\theta=\frac{\pi}{2}$
  • אם $a=0$ וגם $b<0$ אזי $\theta=-\frac{\pi}{2}$
  • אם $a<0$ אזי $\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi$

• $r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)$

• $(r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)$

• עבור $n\geq 2$ טבעי, ומספר מרוכב $a+b\cdot i\neq 0$ קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה $z^n=a+b\cdot i$
• הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
  • נעביר את המספר לצורתו הקוטבית $a+b\cdot i = r cis(\theta)$
  • הפתרונות הם $z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)$ עבור $k=0,1,...,n-1$

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

• $\mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\}$ קבוצת הn-יות הסדורות.
• $\mathbb{F}^{n\times m}$ קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה $\mathbb{F}$

הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

• מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ ומטריצת (וקטור) קבועים $\vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1}$.
• קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
• $\begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$

פעולות דירוג אלמנטריות

• שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
  • $\alpha R_i$ עבור $0\neq \alpha\in\mathbb{F}$ (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
  • $R_i+\alpha R_j$ עבור $i\neq j$ (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
  • $R_i \leftrightarrow R_j$ (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)

צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

• איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.

• מטריצה נקראת מדורגת אם:
  • אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
  • כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.

• מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
  • היא מדורגת.
  • כל האיברים הפותחים שווים ל1.
  • בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.

משתנים חופשיים ותלויים

• משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
• כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.

• מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
  • אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.

• מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
  • מוודאים שאין שורת סתירה.
  • בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
  • מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

• תהיינה $A,B\in\mathbb{F}^{n\times m}$ ויהי סקלר $\alpha\in\mathbb{F}$
  • נגדיר את $A+B\in\mathbb{F}^{n\times m}$ על ידי $[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}$
  • נגדיר את $\alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ על ידי $[\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij}$

כפל מטריצות

• $\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n$
• $\prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n$

• תהיינה $A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k}$
  • נגדיר את המכפלה $AB\in\mathbb{F}^{n\times k}$ על ידי
  • $[AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj}$

• הוקטור $\vec{x}$ הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים $A$ ווקטור הקבועים $\vec{b}$ אם ורק אם $A\cdot \vec{x}=\vec{b}$

שיטות לחישוב כפל מטריצות

• חישוב הכפל לפי עמודות
  • $\begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n$
  • $C_i(AB)=AC_i(B)$
• חישוב הכפל לפי שורות
  • $\begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n$
  • $R_i(AB)=R_i(A)B$

תכונות של אלגברת מטריצות

• $A(B+C)=AB+AC$ וכן $(A+B)C=AC+BC$
• $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)$
• $(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A$ וכן $\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B$
• $(\alpha \beta)A=\alpha(\beta A)$

• מטריצת היחידה $I_n\in\mathbb{F}^{n\times n}$ מוגדרת על ידי $[I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}$
• לכל $A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ מתקיים כי $I_n\cdot A=A\cdot I_m =A$

• לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
  • $(AB)C=A(BC)$

פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

• פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

• עבור $A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ נגדיר את המטריצה המשוחלפת $A^t\in\mathbb{F}^{m\times n}$ על ידי $[A^t]_{ij}=[A]_{ji}$

• $R_i(A^t)=C_i^t(A)$
• $C_i(A^t)=R_i^t(A)$

• $(A^t)^t=A$
• $(A+B)^t = A^t+B^t$
• $(\alpha A)^t = \alpha A^t$
• $(AB)^t=B^tA^t$

עקבה

• העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
  • עבור $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ נגדיר $tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}$

• תכונות העקבה:
  • $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
  • $tr(\alpha A)=\alpha tr(A)$
  • $tr(AB)=tr(BA)$

• דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשיות $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ כך ש $AB-BA=I$
  • $tr(AB-BA)=0$ אך $tr(I)=n\neq 0$

תרגול

• תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

• מטריצה $A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות $B,C\in\mathbb{F}^{m\times n}$ כך ש$AB=I_n$ וכן $CA=I_m$
• אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה $A^{-1}$ ונקרא לה ההופכית של $A$ המקיימת $AA^{-1}=I$. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת $A^{-1}A=I$.

• תהי $A$ הפיכה, אזי למערכת המשוואות $A\vec{x}=\vec{b}$ יש פתרון יחיד, והוא $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$

• תהיינה $A,B$ הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל $AB$ מוגדר, אזי $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• תהי $A$ הפיכה אזי $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$
• תהי $A$ הפיכה אזי $(A^{-1})^{-1}=A$
• תהי $A$ הפיכה ויהי סקלר $\alpha\neq 0$ אזי $(\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}$

מטריצות פעולה

• תהי $f$ פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
• לכל $n$ נגדיר את מטריצת הפעולה $f(I_n)$.
• לכל מטריצה $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ מתקיים כי $f(I_m)\cdot A = f(A)$
• מטריצת הפעולה היא הפיכה.

• לכל מטריצה $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ קיימת מטריצה הפיכה $P\in\mathbb{F}^{m\times m}$ כך ש $P\cdot A=CF(A)$

בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

• מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם $B\neq 0$ אך $AB=0$ או $BA=0$ אזי $A$ אינה הפיכה
• אם ב$A$ השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל $B$ כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב$AB$ היא שורת אפסים.
  • ב$BA$ לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
• מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
• מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.

• מטריצה $A$ היא הפיכה אם ורק אם $CF(A)=I$
• אם $A,B$ ריבועיות כך ש$AB=I$ אזי $A^{-1}=B$
• תהיינה $A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ריבועיות אזי $AB$ הפיכה אם ורק אם $A,B$ הפיכות שתיהן

• דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
  • $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית

• תהי מטריצה ריבועית $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$
• נדרג את מטריצת הבלוקים $(A|I)$ קנונית.
• אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של $A$ יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
• אחרת, הצורה הקנונית של $A$ היא $I$ ולכן היא הפיכה.
• הגענו למטריצת הבלוקים $(I|A^{-1})$.

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

• מרחב וקטורי $V$ מעל שדה $\mathbb{F}$ הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: $\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V$
2. חילופיות: $\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w=w+u$
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): $\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v$
4. נייטרלי לחיבור: $\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v$
5. נגדיים: $\forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V$
6. נייטרלי לכפל בסקלר: $\forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v$
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): $\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w$

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ ויהיו $\alpha\in\mathbb{F},u\in V$ אזי:
  • $\alpha u = 0_V$ אם ורק אם $\alpha=0_\mathbb{F}$ או $u=0_V$
• כמו כן, $(-1_\mathbb{F})u=-u$

תתי מרחבים

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ותהי $U\subseteq V$ תת קבוצה של וקטורים.
• אזי $U$ נקרא תת מרחב של $V$ אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של $V$.

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ותהי $U\subseteq V$ תת קבוצה של וקטורים.
• אזי $U$ תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
  • $0_V\in U$
  • לכל $v_1,v_2\in U$ ולכל $\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $v_1+\alpha v_2\in U$

• תהי $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית $N(A)\subseteq\mathbb{F}^n$ הינה תת מרחב וקטורי.
  • קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.

• אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.

• אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ויהיו $U,W\subseteq V$, תתי מרחב.
  • $U\cap W$ הינו תת מרחב של $V$.
  • $U\cup W$ תת מרחב של $V$ אם ורק אם $U\subseteq W$ או $W\subseteq U$.

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ויהיו $U,W\subseteq V$, תתי מרחב.
• נגדיר את סכום תתי המרחבים:
  • $U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}$

• $U+W$ הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את $U,W$. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב $U,W\subseteq T$ מתקיים כי $U,W\subseteq U+W\subseteq T$

• $U\cap W$ הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב$U,W$. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב $T\subseteq U,W$ מתקיים כי $T\subseteq U\cap W\subseteq U,W$

• דוגמא:
• $V=\mathbb{R}^3$
• $U=\{(a,b,a+b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
• $W=\{(a+b,a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
• $U+W=V$
• ניתן להציג וקטור בשתי דרכים שונות כסכום של רכיב מU ועוד רכיב מW:
  • $(4,4,4)=(0,2,2)+(4,2,2)=(1,2,3)+(3,2,1)$

• סכום ישר:
• יהי V מ"ו ויהיו U,W תתי מרחב. אומרים ש $V=U\oplus W$ אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
  • $V=U+W$
  • $U\cap W =\{0_V\}$

• משפט:
• $V=U\oplus W$ אם ורק אם לכל וקטור $v\in V$ קיימת הצגה יחידה $v=u+w$ כסכום של רכיבים מU ומW.

• כלומר בדוגמא לעיל, הסכום אינו ישר, כיוון שהצגנו וקטור אחד בשתי דרכים שונות.

תרגול

• תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

פרישה ותלות לינארית

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ ותהי $S\subseteq V$.
  • וקטור $x\in V$ נקרא צירוף לינארי של הקבוצה $S$ אם $x=0_V$ או קיימים וקטורים בקבוצה $v_1,...,v_n\in S$ וסקלרים מהשדה $a_1,...,a_n\in\mathbb{F}$ כך ש $x=a_1v_1+...+a_nv_n$
• כלומר, ניתן "ליצור" את x בעזרת פעולות המרחב הוקטורי על הקבוצה S (או שx=0)
• אוסף כל הוקטורים במרחב שהם צירופים לינאריים של S נקרא $span(S)$.

• טענה: יהי V מ"ו ותהי $S\subseteq V$ אזי $span(S)$ הוא תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את $S$. כלומר:
  • $span(S)$ תת מרחב וקטורי
  • לכל תת מרחב $T$ כך ש $S\subseteq T$ מתקיים כי $S\subseteq span(S)\subseteq T$

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ותהי n-ית וקטורים $(v_1,...,v_n)\in V^n$. אומרים שהוקטורים $v_1,...,v_n$ (לאו דווקא שונים) תלויים לינארית או ת"ל בקיצור, אם קיימים סקלרים $a_1,...,a_n\in\mathbb{F}$ לא כולם אפס כך שהצירוף הלינארי מתאפס $a_1v_1 +...+a_nv_n=0_V$.
• אם הוקטורים אינם תלויים לינארית, אומרים שהם בלתי תלויים לינארית או בת"ל בקיצור.
• קבוצה $S\subseteq V$ נקראת תלוייה לינארית אם קיימים $v_1,...,v_n\in S$ וקטורים שונים שתלויים לינארית.

• יהיו $v_1,...,v_k\in\mathbb{F}^n$.
• הם בת"ל אם ורק אם הפתרון היחיד למשוואה $x_1v_1+...+x_kv_k=0_V$ הוא שכל הסקלרים הם אפסים.
  • בעזרת חישוב הכפל לפי עמודות $x_1v_1+...+x_kv_k=\begin{pmatrix}| & & | \\ v_1 & \cdots & v_k\\| & & |\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_k\end{pmatrix}$
• לכן אם נשים את הוקטורים בעמודות מטריצה A, נקבל שהם בת"ל אם ורק אם למערכת המשוואות ההומוגנית יש פתרון יחיד כלומר $N(A)=\{0_v\}$

• באופן דומה, אלגוריתם לקבוע האם $v\in span\{v_1,...,v_k\}$:
  • נשים את הוקטורים $v_1,...,v_k$ בעמודות מטריצה A, ונשים את v בעמודה כוקטור הקבועים.
  • הוקטור שייך למרחב אם ורק אם למערכת הלא הומוגנית יש פתרון.

בסיס ומימד

• לֶמת ההחלפה של שטייניץ
• יהי $V$ מ"ו ותהיינה $A\subseteq V$ בת"ל וכן $B\subseteq V$ פורשת (כלומר $sp(B)=V$).
• אזי לכל $a\in A$ קיים $b\in B$ כך ש $b\notin A\setminus \{a\}$ וגם הקבוצה $(A\setminus \{a\})\cup \{b\}$ בת"ל.

• יהי $V$ מ"ו ותהי $B\subseteq V$ קבוצה פורשת (כלומר $sp(B)=V$) כך ש $|B|=n$ (כלומר יש בה n וקטורים).
• תהי בנוסף $A\subseteq V$ קבוצה בת"ל, אזי $|A|\leq |B|$ (כלומר כמות הוקטורים בקבוצה בת"ל קטנה או שווה לכמות הוקטורים בקבוצה פורשת).

• הגדרת בסיס:
• יהי $V$ מ"ו ותהי $S\subseteq V$ קבוצת וקטורים.
• אם $S$ בת"ל וגם פורשת את כל המרחב (כלומר $sp(S)=V$) אזי היא נקראת בסיס למרחב $V$.

• יהי $V$ מ"ו נוצר סופית (כלומר קיימת קבוצה סופית $B\subseteq V$ שפורשת את כל המרחב $sp(B)=V$).
• אזי קיים לו בסיס סופי.
• כמו כן, בכל שני בסיסים במרחב יש בדיוק את אותה כמות הוקטורים.
• כמות הוקטורים בבסיס מוגדרת להיות המימד של המרחב. כלומר בהנתן בסיס B מגדירים $dim(V)=|B|$.

• כל תת מרחב של מרחב נוצר סופית גם נוצר סופית, ולכן גם עבורו מוגדר מימד.

העשרה

• לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
• ניקח שרשרת מקסימלית של קבוצות בת"ל M.
• נגדיר את האיחוד הכללי של M להיות B.
• B בת"ל, כי אם יש בה וקטורים תלויים, הם הגיעו מאחד הקבוצות (בשרשרת כל מספר סופי של קבוצות מוכלות באחת מהן)
• B פורשת, אחרת היה ניתן להגדיל אותה באמצעות וקטור שאינו נפרש על ידה, היינו מקבלים קבוצה בת"ל חדשה שניתן להוסיף לשרשרת המקסימלית, בסתירה.

משפט השלישי חינם

• יהי $V$ מ"ו ממימד $n$ ותהי $S\subseteq V$.
• אזי אם שניים מבין התנאים הבאים מתקיימים, גם השלישי מתקיים ו$S$ מהווה בסיס למרחב $V$.
  • $S$ בת"ל
  • $S$ פורשת (כלומר $sp(S)=V$)
  • $|S|=n$ (כלומר כמות הוקטורים ב$S$ שווה למימד)

• יהי $V$ מ"ו נוצר סופית, ויהי $U\subseteq V$ תת מרחב.
• אם $\dim (U)=\dim (V)$ אזי $U=V$

תרגול

• תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

$sp(A\cup B) = sp(A)+sp(B)$

• $\dim (U+W) = \dim(U)+\dim(W) - \dim(U\cap W)$

תרגול

• תרגול על משפט המימדים

שלושת מרחבי המטריצה ומציאת בסיסים

• תהי $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$
  • $R(A)=sp\{R_1(A),...,R_m(A)\}\subseteq \mathbb{F}^n$
  • $C(A)=sp\{C_1(A),...,C_n(A)\}\subseteq \mathbb{F}^m$
  • $N(A)=\{x\in\mathbb{F}^n|Ax=0\}\subseteq \mathbb{F}^n$

• $R(AB)\subseteq R(B)$
• $C(AB)\subseteq C(A)$

• על מנת למצוא בסיס לחיתוך בין תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה אלגברית והחיתוך הוא אוסף הפתרונות של המשוואות משתי המערכות.
• על מנת למצוא בסיס לסכום תתי מרחבים, נציג את שניהם בצורה פרמטרית והסכום נפרש ע"י איחוד הקבוצות הפורשות.

• ניתן להשלים כל קבוצה בת"ל לבסיס.
• לוקחים את הקבוצה הבת"ל, מוסיפים לה בסיס כלשהו, מדרגים בעמודות ומוחקים את הוקטורים המיותרים.

תרגול

• תרגול בנושא מרחבי המטריצה

דרגה של מטריצה

• בכל צורה מדורגת של A, האיברים הפותחים נמצאים באותן העמודות.

• כל הגדלים הבאים שווים:
  • דרגה של מטריצה
  • מימד מרחב העמודות
  • מימד מרחב השורות
  • מספר השורות השונות מאפס בצורה המדורגת
  • מספר המשתנים התלויים במערכת ההומוגנית

• כמו כן, מימד מרחב האפס שווה למספר המשתנים החופשיים.

• ביחד מקבלים את משפט הדרגה (שנוכיח במדויק בהמשך): דרגת המטריצה ועוד מימד מרחב האפס שווה לכמות עמודות המטריצה (מספר המשתנים).

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

• יהיו $V,W$ מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$.
• פונקציה $T:V\to W$ נקראת העתקה לינארית אם לכל $v_1,v_2\in V,\alpha\in\mathbb{F}$ היא מקיימת:
  • $T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2$
  • $T(\alpha v_1)=\alpha Tv_1$

• שימו לב לסימון $Tv_1=T(v_1)$

פעולות בין העתקות לינאריות

• הרכבת העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
• סכום וכפל בסקלר של העתקות לינאריות היא העתקה לינארית
• הפונקציה ההופכית של העתקה לינארית הפיכה היא העתקה לינארית

גרעין ותמונה

• תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית
  • הגרעין $\ker T=\{v\in V|Tv=0_W\}$ הוא תת מרחב של התחום $V$
  • התמונה $Im T=\{Tv|v\in V\}=\{w\in W|\exists v\in V:Tv=w\}$ היא תת מרחב של הטווח $W$

• ההעתקה $T:V\to W$ חח"ע אם ורק אם $\dim\ker T=0$
• ההעתקה $T:V\to W$ על אם ורק אם $\dim Im T = \dim W$

משפט הדרגה להעתקות לינאריות ולמטריצות

• תהי העתקה לינארית $T:V\to W$ ויהי $\{v_1,...,v_n\}$ בסיס לV.
• אזי $Im T=span\{Tv_1,...,Tv_n\}$

• תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית אזי $\dim \ker T +\dim Im T = \dim V$

• תהי $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי $\dim N(A) + rank(A)=n$

• תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית בין מרחבים וקטוריים נוצרים סופית.
  • אם T חח"ע אז $\dim V\leq \dim W$
  • אם T על אזי $\dim V \geq \dim W$
  • אם $\dim V = \dim W$ אזי T חח"ע אם"ם T על.

• העתקה לינארית נקראת גם הומומורפיזם. העתקה לינארית הפיכה נקראת איזומורפיזם.
• מרחבים וקטוריים נקראים איזומורפייים זה לזה, אם קיים איזומורפיזם בינהם (זהו יחס שקילות).
• מרחבים וקטוריים נוצרים סופית איזומורפיים זה לזה, אם ורק אם המימדים שלהם שווים.

תרגול

• תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

יחידות הצגה לפי בסיס ומשפט ההגדרה

• יהי V מ"ו ויהי $\{v_1,...,v_n\}$ בסיס סדור לV.
• אזי לכל $x\in V$ קיימת הצגה יחידה כצירוף לינארי של איברי הבסיס:
  • $x=a_1v_1+...+a_nv_n$

• יהיו V,W מ"ו מעל אותו שדה, ויהי $\{v_1,...,v_n\}$ בסיס סדור לV.
• תהיינה סדרת וקטורים $w_1,...,w_n\in W$ לאו דווקא שונים.
• אזי קיימת העתקה לינארית יחידה $T:V\to W$ המקיימת:
  • לכל i מתקיים כי $Tv_i=w_i$

מטריצה מייצגת העתקה

קואורדינטות

• יהי V מ"ו ויהי $B=\{v_1,...,v_n\}$ בסיס סדור לV.
• לכל $v\in V$ נגדיר את וקטור הקואורדינטות לפי B להיות הסקלים מההצגה היחידה:
  • $[v]_B=\begin{pmatrix}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{pmatrix}$ אם ורק אם $v=\alpha_1v_1+...+\alpha_nv_n$

• מה עושים עם הקואורדינטות? כופלים באיברי הבסיס!

• נגדיר פונקציה $T:V\to \mathbb{F}^n$ ע"י $Tv=[v]_B$, אזי T היא איזומורפיזם. לכן
  • $[a_1u_1+...+a_ku_k]_B=a_1[u_1]_B+...+a_k[u_k]_B$
  • הסדרה $u_1,...,u_k\in V$ בת"ל אם ורק אם הסדרה $[u_1]_B,...,[u_k]_B$ בת"ל
  • $v\in span\{u_1,...,u_k\}$ אם ורק אם $[v]_B\in span \{[u_1]_B,...,[u_k]_B\}$

משפט קיום ויחידות

• יהיו $V,W$ מ"ו מעל אותו שדה $\mathbb{F}$.
• נניח V ממימד n וB בסיס סדור שלו.
• נניח W ממימד m וC בסיס סדור שלו.
• תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית.
• אזי:
  • קיימת מטריצה יחידה $[T]_C^B\in\mathbb{F}^{m\times n}$ המקיימת:
  • לכל $v\in V$ מתקיים כי $[T]_C^B[v]_B=[Tv]_C$

• על מנת למצוא את המטריצה המייצגת:
  • נפעיל את ההעתקה על איברי הבסיס של התחום.
  • נמצא את הקואורדינטות של תמונות איברי בסיס התחום לפי בסיס הטווח.
  • נשים את וקטורי הקואורדינטות שמצאנו בעמודות ונקבל את המטריצה המייצגת.

• $[T]_C^B= \begin{pmatrix}| & & | \\ \left[T v_1 \right]_C & \cdots & \left[ T v_n \right]_C \\ | & & | \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^{m\times n}$

המטריצה המייצגת את ההעתקה ההופכית

• יהיו $V,W$ מ"ו ממימד סופי מעל השדה $\mathbb{F}$ עם בסיסים $B,C$ בהתאמה.
• תהי $T:V\to W$ העתקה לינארית, ויהי סקלר $\alpha\in\mathbb{F}$
• אזי
  • $[T+S]^B_C=[T]^B_C+[S]^B_C$
  • $[\alpha T]^B_C=\alpha[T]^B_C$
  • $[S\circ T]_D^B=[S]^C_D[T]_C^B$
  • ההעתקה T הפיכה אם ורק אם המטריצה המייצגת $[T]^B_C$ הפיכה
    • אם ההעתקה הפיכה, מתקיים כי $[T^{-1}]^C_B = \left([T]^B_C\right)^{-1}$

מטריצות מעבר בין בסיסים

• $[I]_{C_2}^{C_1}[T]_{C_1}^{B_1}[I]_{B_1}^{B_2}=[T]_{C_2}^{B_2}$
• $\left([I]_C^B\right)^{-1}=[I]_B^C$

שלוש צורות הצגת ההעתקה

• ניתן להציג העתקה לינארית בשלוש דרכים:
  • נוסחא מפורשת
  • לפי בסיס
  • בעזרת מטריצה מייצגת

תרגול

• תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
• תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
• תרגול נוסף בנושא העתקות

פרק 6 - דטרמיננטות

תמורות

• נגדיר את אוסף התמורות $S_n$ להיות קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מהקבוצה $\{1,2,...,n\}$ לעצמה.

• לכל תמורה (פונקציה) $f\in S_n$ נגדיר את סימן התמורה $sign(f)=\Pi_{i<j}\frac{f(j)-f(i)}{j-i}$
• תמורה נקראת חיובית או זוגית אם סימנה שווה 1, ושלילית או אי זוגית אם סימנה שווה מינוס 1.

• כפליות הסימן - לכל שתי תמורות מתקיים כי $sign(f\circ g)=sign(f)\cdot sign(g)$

• עבור תמורת הזהות $I\in S_n$ מתקיים כי$sign(I)=1$

• חילוף הוא תמורה $(i\ j)\in S_n$ המחליפה בין האיברים $i,j$ ושולחת את שאר האיברים לעצמם.

• חילוף הוא תמורה שלילית (אי זוגית).

• מחזור הוא תמורה $(p_1\ p_2\ \cdots\ p_k)=(p_1\ p_2)\circ(p_2\ p_3)\circ \cdots \circ(p_{k-1}\ p_k)$ וסימנו הוא $(-1)^{k-1}$
• המחזור שולח כל איבר $p_{i-1}$ ל$p_i$, את $p_k$ ל$p_1$ ואת שאר האיברים לעצמם.

• כל תמורה ניתן להציג כהרכבה של מחזורים (זרים) וכך ניתן בקלות לחשב את סימנה.

הגדרת הדטרמיננטה ותכונות

• עבור מטריצה ריבועית $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ נגדיר את הדטרמיננטה:
  • $det(A)=|A|=\sum_{f\in S_n}sign(f)\Pi_{i=1}^n[A]_{i,f(i)}$

• תהי $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ויהיו $1\leq i\neq j\leq n$ כך ש $R_i(A)=R_j(A)$ אזי $det(A)=0$
• כלומר הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית עם שתי שורות זהות היא אפס.

• תהי $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ותהי $B$ המתקבלת מהפעלת פעולת דירוג על $A$ אזי:
  • אם פעולת הדירוג היא $R_i+a\cdot R_j$ עבור $i\neq j$ אזי $|B|=|A|$
  • אם פעולת הדירוג היא $a\cdot R_i$ אזי $|B|=a\cdot |A|$
  • אם פעולת הדירוג היא $R_i \leftrightarrow R_j$ עבור $i\neq j$ אזי $|B|=-|A|$

חישוב הדטרמיננטה, קשר להפיכות וכפליות

• עבור מטריצה משולשית $A$ מתקיים כי הדטרמיננטה היא מכפלת איברי האלכסון.

• מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.

• לכל שתי מטריצות ריבועיות מתקיים כי $|AB|=|A|\cdot |B|$

דטרמיננטת המשוחלפת

• $|A^t|=|A|$

• פעולות דירוג עמודות משפיעות על הדטרמיננטה בדיוק כמו פעולות דירוג שורות

נוסחת לפלס - חישוב הדטרמיננטה לפי שורה, ופיתוח הדטרמיננטה לפי עמודה

• $A_{ij}$ היא המטריצה המתקבלת מ$A$ על ידי מחיקת השורה הi והעמודה הj שלה.
• הדטרמיננטה $|A_{ij}|$ נקראית מינור.

• לכל i מתקיים כי $det(A)=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|$
• לכל j מתקיים כי $det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}|A_{ij}|$

מטריצה נלווית

• תהי $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ נגדיר את המטריצה הנלווית $adj(A)\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ע"י:
  • $[adj(A)]_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ji}|$

• מתקיים כי $A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A = |A|\cdot I$

• אם A הפיכה מתקיים כי $A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)$

• מתקיים כי $|adj(A)|=|A|^{n-1}$

כלל קרמר

• תהי $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ הפיכה ויהי $b\in\mathbb{F}^n$ וקטור קבועים.
• אזי הפתרון היחיד $\vec{x}=(x_1,...,x_n)$ למערכת המשוואות $A\vec{x}=b$ מקיים כי:
• לכל i ערך המשתנה נתון ע"י $x_i =\frac{|A_i|}{|A|}$
• כאשר $A_i$ היא המטריצה המתקבלת מ$A$ על ידי החלפת העמודה ה$i$ בוקטור הקבועים $b$

• במקרה בו יש לנו מטריצה עם שימוש נרחב בפרמטרים, קשה לדרג אותה אך קל לחשב דטרמיננטה.
• במקרים אלה ייתכן ויהיה רצוי למצוא את ההופכית בעזרת הנלווית, ולפתור מערכת משוואות באמצעות כלל קרמר.

תרגול

• תרגול בנושא דטרמיננטות
• תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות
• עוד אחד