88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א
1
שאלת הוכחה מההרצאה
2
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
פתרון:
נבצע הצבה אוניברסאלית לקבל
ב
נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל
ג
ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
או ההצבה באופן הבא:
3
א
קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:
פתרון:
כיוון ש
וכיוון ש מתבדר
שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.
ב
הוכיחו שאם פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל מתבדר.
פתרון:
אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן
האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.
4
מצאו את טור מקלורין של הפונקציה וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.
פתרון:
ראשית, נשים לב כי .
שנית, נזכר או נפתח את הטור
וביחד נקבל
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.
5
נגדיר סדרת פונקציות
א
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול: