אלגברה לינארית - ארז שיינר

חומר עזר

• סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016
• מבחנים באלגברה לינארית 1

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - שדות

הגדרה ותכונות של שדה

• שדה הוא קבוצה $\mathbb{F}$ יחד עם שתי פעולות $+,\cdot$ כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b,a\cdot b\in\mathbb{F}$
2. קומוטטיביות (חילופיות): לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+b=b+a$ וכן $a\cdot b=b\cdot a$
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a+(b+c)=(a+b)+c$ וכן $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
4. נייטרליים: קיימים $0_{\mathbb{F}}\neq 1_{\mathbb{F}}\in\mathbb{F}$ כך שלכל $a\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $0_{\mathbb{F}}+a=1_{\mathbb{F}}\cdot a = a$
5. נגדיים: לכל $a\in\mathbb{F}$ קיים נגדי $-a\in\mathbb{F}$ כך ש $a+(-a)=0_{\mathbb{F}}$
6. הופכיים: לכל $0_{\mathbb{F}}\neq a\in \mathbb{F}$ קיים הופכי $a^{-1}\in \mathbb{F}$ כך ש $a\cdot a^{-1}=1_{\mathbb{F}}$
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): לכל $a,b,c\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

• יהי שדה $\mathbb{F}$ אזי לכל $a,b\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $a\cdot b=0_{\mathbb{F}}$ אם ורק אם $a=0_{\mathbb{F}}$ או $b=0_{\mathbb{F}}$

• תכונות נוספות של שדות
  • $(-1_{\mathbb{F}})\cdot a = -a$
  • אם $a+b=a+c$ אזי $b=c$
  • אם $a\neq 0_{\mathbb{F}}$ וגם $a\cdot b = a\cdot c$ אזי $b=c$

שדה המרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים

• $\mathbb{C}=\{(a,b)|a,b\in\mathbb{R}\}$
• $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
• $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

• נסמן
  • $a=(a,0)$
  • $i=(0,1)$
• נובע כי $a+b\cdot i =(a,b)$

• הגדרות עבור $z=a+b\cdot i$
  • $\overline{Z}=a-b\cdot i$
  • $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
  • $Re(z)=a$
  • $Im(z)=b$

• תכונות
  • $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$ אם $z\neq 0$
  • $z+\overline{z}=2\cdot Re(z)$
  • $z-\overline{z}=2\cdot i\cdot Im(z)$
  • $\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}$
  • $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$

צורה קרטזית וצורה קוטבית (פולרית)

• $a+b\cdot i = r\cdot cis(\theta)$
• $cis(\theta)=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)$

• $r=\sqrt{a^2+b^2}$
• עבור הזוית נחלק למקרים:
  • אם $a>0$ אזי $\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)$
  • אם $a=0$ וגם $b>0$ אזי $\theta=\frac{\pi}{2}$
  • אם $a=0$ וגם $b<0$ אזי $\theta=-\frac{\pi}{2}$
  • אם $a<0$ אזי $\theta=arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\pi$

• $r_1 cis(\theta_1)r_2 cis(\theta_2)=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)$

• $(r cis(\theta))^n = r^n cis(n\theta)$

• עבור $n\geq 2$ טבעי, ומספר מרוכב $a+b\cdot i\neq 0$ קיימים בדיוק n פתרונות למשוואה $z^n=a+b\cdot i$
• הנוסחא למציאת כל הפתרונות השונים:
  • נעביר את המספר לצורתו הקוטבית $a+b\cdot i = r cis(\theta)$
  • הפתרונות הם $z_k = \sqrt[n]{r} cis\left(\frac{\theta+2\pi k}{n}\right)$ עבור $k=0,1,...,n-1$

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 2- מערכות משוואות לינאריות

מבוא למטריצות ולמערכות משוואות לינאריות

• $\mathbb{F}^n=\{(x_1,...,x_n)|\forall i:x_i\in\mathbb{F}\}$ קבוצת הn-יות הסדורות.
• $\mathbb{F}^{n\times m}$ קבוצת המטריצות עם n שורות וm עמודות, ואיברים מהשדה $\mathbb{F}$

הגדרת מערכת משוואות לינארית וקבוצת פתרונות

• מערכת משוואות לינארית היא זוג של מטריצת מקדמים $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ ומטריצת (וקטור) קבועים $\vec{b}\in\mathbb{F}^{n\times 1}$.
• קבוצת הפתרונות למערכת המשוואות הלינארית היא קבוצת כל הn-יות המקיימות:
• $\begin{cases} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$

פעולות דירוג אלמנטריות

• שלושת פעולות הדירוג האלמנטריות:
  • $\alpha R_i$ עבור $0\neq \alpha\in\mathbb{F}$ (כפל שורה במטריצה בסקלר שונה מאפס)
  • $R_i+\alpha R_j$ עבור $i\neq j$ (הוספה לשורה קבוע כפול שורה אחרת)
  • $R_i \leftrightarrow R_j$ (החלפת שתי שורות במטריצה זו בזו)

צורה מדורגת וצורה מדורגת קנונית

• איבר בשורה נקרא פותח/מוביל/ציר אם הוא הראשון משמאל בשורה ששונה מאפס.

• מטריצה נקראת מדורגת אם:
  • אם יש שורות אפסים, כולן בתחתית.
  • כל איבר פותח נמצא מימין לאיברים הפותחים בשורות מעליו.

• מטריצה נקראת מדורגת קנונית אם:
  • היא מדורגת.
  • כל האיברים הפותחים שווים ל1.
  • בכל עמודה בה יש איבר פותח, כל האיברים מעליו שווים ל0.

משתנים חופשיים ותלויים

• משתנה נקרא תלוי אם בצורה המדורגת של המטריצה יש איבר פותח בעמודה המתאימה לו.
• כל משתנה שאינו תלוי, נקרא משתנה חופשי.

• מציאת כמות הפתרונות של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים את המטריצה שמייצגת את המערכת.
  • אם יש שורת סתירה, אין פתרון למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ואין משתנים חופשיים (כל המשתנים תלויים) אז יש פתרון יחיד למערכת.
  • אם אין שורת סתירה, ויש משתנים חופשיים, כמות הפתרונות היא מספר האיברים בשדה בחזקת מספר המשתנים החופשיים.

• מציאת הפתרון הכללי של מערכת משוואות לינארית:
  • מדרגים קנונית את המטריצה שמייצת את המערכת.
  • מוודאים שאין שורת סתירה.
  • בכל משתנה חופשי מציבים פרמטר.
  • מבטאים את המשתנים התלויים באמצעות הפרמטרים שהצבנו.

תרגול

• תרגול בנושא שדות ומערכות משוואות לינאריות

פרק 3 - אלגברת מטריצות

חיבור מטריצות וכפל בסקלר

• תהיינה $A,B\in\mathbb{F}^{n\times m}$ ויהי סקלר $\alpha\in\mathbb{F}$
  • נגדיר את $A+B\in\mathbb{F}^{n\times m}$ על ידי $[A+B]_{ij}=[A]_{ij}+[B]_{ij}$
  • נגדיר את $\alpha A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ על ידי $[\alpha A]_{ij} = \alpha [A]_{ij}$

כפל מטריצות

• $\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+\cdots +a_n$
• $\prod_{k=1}^n a_k = a_1\cdot a_2\cdots a_n$

• תהיינה $A\in\mathbb{F}^{n\times m},B\in\mathbb{F}^{m\times k}$
  • נגדיר את המכפלה $AB\in\mathbb{F}^{n\times k}$ על ידי
  • $[AB]_{ij}=R_i(A)C_j(B)=\sum_{p=1}^m[A]_{ip}[B]_{pj}$

• הוקטור $\vec{x}$ הוא פתרון למערכת המשוואות עם מטריצת המקדמים $A$ ווקטור הקבועים $\vec{b}$ אם ורק אם $A\cdot \vec{x}=\vec{b}$

שיטות לחישוב כפל מטריצות

• חישוב הכפל לפי עמודות
  • $\begin{pmatrix} | & & |\\ v_1 & \cdots & v_n \\ | & & |\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n$
  • $C_i(AB)=AC_i(B)$
• חישוב הכפל לפי שורות
  • $\begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - & v_1 & - \\ & \vdots & \\ - & v_n & - \end{pmatrix}=x_1v_1 + \cdots x_nv_n$
  • $R_i(AB)=R_i(A)B$

תכונות של אלגברת מטריצות

• $A(B+C)=AB+AC$ וכן $(A+B)C=AC+BC$
• $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A (\alpha B)$
• $(\alpha+\beta)A = \alpha A+\beta A$ וכן $\alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B$

• מטריצת היחידה $I_n\in\mathbb{F}^{n\times n}$ מוגדרת על ידי $[I_n]_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\ 0 & i\neq j\end{cases}$
• לכל $A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ מתקיים כי $I_n\cdot A=A\cdot I_m =A$

• לכל שלוש מטריצות מתקיים חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות)
  • $(AB)C=A(BC)$

פתרון כללי למערכת משוואות לא הומוגנית

• פתרון פרטי למערכת הלא הומוגנית + פתרון כללי למערכת ההומוגנית = פתרון כללי למערכת הלא הומוגנית

שחלוף

• עבור $A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ נגדיר את המטריצה המשוחלפת $A^t\in\mathbb{F}^{m\times n}$ על ידי $[A^t]_{ij}=[A]_{ji}$

• $R_i(A^t)=C_i^t(A)$
• $C_i(A^t)=R_i^t(A)$

• $(A^t)^t=A$
• $(A+B)^t = A^t+B^t$
• $(\alpha A)^t = \alpha A^t$
• $(AB)^t=B^tA^t$

עקבה

• העקבה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום איברי האלכסון:
  • עבור $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ נגדיר $tr(A)=\sum_{i=1}^n[A]_{ii}$

• תכונות העקבה:
  • $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
  • $tr(\alpha A)=\alpha tr(A)$
  • $tr(AB)=tr(BA)$

• דוגמא: לא קיימות מטריצות ממשייות $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ כך ש $AB-BA=I$
  • $tr(AB-BA)=0$ אך $tr(I)=n\neq 0$

תרגול

• תרגול בנושא אלגברת מטריצות

מטריצות הפיכות ומטריצות הופכיות

• מטריצה $A\in\mathbb{F}^{n\times m}$ נקראת הפיכה אם קיימות מטריצות $B,C\in\mathbb{F}^{m\times n}$ כך ש$AB=I_n$ וכן $CA=I_m$
• אם מטריצה היא הפיכה, קיימת מטריצה יחידה שנסמנה $A^{-1}$ ונקרא לה ההופכית של $A$ המקיימת $AA^{-1}=I$. כמו כן היא המטריצה היחידה המקיימת $A^{-1}A=I$.

• תהי $A$ הפיכה, אזי למערכת המשוואות $A\vec{x}=\vec{b}$ יש פתרון יחיד, והוא $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$

• תהיינה $A,B$ הפיכות מעל אותו שדה כך שהכפל $AB$ מוגדר, אזי $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
• תהי $A$ הפיכה אזי $(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$
• תהי $A$ הפיכה אזי $(A^{-1})^{-1}=A$
• תהי $A$ הפיכה ויהי סקלר $\alpha\neq 0$ אזי $(\alpha A)^{-1}=\alpha^{-1}A^{-1}$

מטריצות פעולה

• תהי $f$ פונקצית פעולה המבצעת פעולת דירוג אלמנטרית מסוימת.
• לכל $n$ נגדיר את מטריצת הפעולה $f(I_n)$.
• לכל מטריצה $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ מתקיים כי $f(I_m)\cdot A = f(A)$
• מטריצת הפעולה היא הפיכה.

• לכל מטריצה $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ קיימת מטריצה הפיכה $P\in\mathbb{F}^{m\times m}$ כך ש $P\cdot A=CF(A)$

בדיקת הופכיות ומציאת ההופכית

• מטריצה מחלקת אפס אינה הפיכה. כלומר, אם $B\neq 0$ אך $AB=0$ או $BA=0$ אזי $A$ אינה הפיכה
• אם ב$A$ השורה הi היא שורת אפסים, אזי לכל $B$ כך שהכפל מוגדר, השורה הi ב$AB$ היא שורת אפסים.
  • ב$BA$ לא חייבת להיות שורת אפסים, לעומת זאת.
• מטריצה עם שורת אפסים אינה הפיכה.
• מטריצה הפיכה חייבת להיות ריבועית.

• מטריצה $A$ היא הפיכה אם ורק אם $CF(A)=I$
• אם $A,B$ ריבועיות כך ש$AB=I$ אזי $A^{-1}=B$
• תהיינה $A,B\in\mathbb{F}^{n\times n}$ ריבועיות אזי $AB$ הפיכה אם ורק אם $A,B$ הפיכות שתיהן

• דוגמא לשתי מטריצות לא הפיכות שמכפלתן הפיכה (זה לא סותר את המשפטים לעיל כיוון שהמטריצות אינן ריבועיות).
  • $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

אלגוריתם לבדיקת הפיכות ומציאת ההופכית

• תהי מטריצה ריבועית $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$
• נדרג את מטריצת הבלוקים $(A|I)$ קנונית.
• אם בשלב כלשהו נגלה שבצורה המדורגת של $A$ יש שורת אפסים, אזי היא אינה הפיכה.
• אחרת, הצורה הקנונית של $A$ היא $I$ ולכן היא הפיכה.
• הגענו למטריצת הבלוקים $(I|A^{-1})$.

תרגול

תרגול בנושא מטריצות הפיכות ומטריצות פעולה

פרק 4 - מרחבים וקטוריים

הגדרה ותכונות של מרחבים וקטוריים

• מרחב וקטורי $V$ מעל שדה $\mathbb{F}$ הוא קבוצת איברים (הנקראים וקטורים) יחד עם פעולת חיבור וכפל בסקלר, כך שמתקיימות התכונות הבאות:

1. סגירות: $\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w\in V \and \alpha u\in V$
2. חילופיות: $\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}:u+w=w+u$
3. אסוציאטיביות (קיבוץ): $\forall u,w,v\in V\forall \alpha,\beta\in\mathbb{F}:(u+w)+v=u+(w+v) \and \alpha(\beta v) = (\alpha \beta) v$
4. נייטרלי לחיבור: $\exists 0_V\in V\forall v\in V:0_V+v=v$
5. נגדיים: $\forall v\in V\exists (-v)\in V: v+(-v)=0_V$
6. נייטרלי לכפל בסקלר: $\forall v\in V: 1_\mathbb{F}\cdot v = v$
7. דיסטריביוטיביות (פילוג): $\forall u,w\in V\forall \alpha\in\mathbb{F}: (\alpha+\beta)u = \alpha u+\beta u \and \alpha(u+w)=\alpha u +\alpha w$

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$ ויהיו $\alpha\in\mathbb{F},u\in V$ אזי:
  • $\alpha u = 0_V$ אם ורק אם $\alpha=0_\mathbb{F}$ או $u=0_V$
• כמו כן, $(-1_\mathbb{F})u=-u$

תתי מרחבים

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ותהי $U\subseteq V$ תת קבוצה של וקטורים.
• אזי $U$ נקרא תת מרחב של $V$ אם הוא מהווה מרחב וקטורי יחד עם פעולת החיבור והכפל בסקלר של $V$.

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ותהי $U\subseteq V$ תת קבוצה של וקטורים.
• אזי $U$ תת מרחב אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
  • $0_V\in U$
  • לכל $v_1,v_2\in U$ ולכל $\alpha\in\mathbb{F}$ מתקיים כי $v_1+\alpha v_2\in U$

• תהי $A\in\mathbb{F}^{m\times n}$ אזי קבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית $N(A)\subseteq\mathbb{F}^n$ הינה תת מרחב וקטורי.
  • קבוצת הפתרונות של מערכת לא הומוגנית אינה תת מרחב וקטורי כיוון שהיא אינה מכילה את וקטור האפס.

• אוסף המטריצות הסימטריות מהווה תת מרחב של אוסף המטריצות הריבועיות.

• אוסף הפולינומים שמתאפסים בנקודה מסויימת, מהווה תת מרחב של אוסף הפולינומים.

חיתוך, סכום, וסכום ישר של תתי מרחבים

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ויהיו $U,W\subseteq V$, תתי מרחב.
  • $U\cap W$ הינו תת מרחב של $V$.
  • $U\cup W$ תת מרחב של $V$ אם ורק אם $U\subseteq W$ או $W\subseteq U$.

• יהי $V$ מ"ו מעל שדה $\mathbb{F}$, ויהיו $U,W\subseteq V$, תתי מרחב.
• נגדיר את סכום תתי המרחבים:
  • $U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}$

• $U+W$ הינו תת המרחב הקטן ביותר שמכיל את $U,W$. כלומר סכום תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב $U,W\subseteq T$ מתקיים כי $U,W\subseteq U+W\subseteq T$

• $U\cap W$ הינו תת המרחב הגדול ביותר שמוכל ב$U,W$. כלומר חיתוך תתי מרחבים הוא תת מרחב וגם:
  • לכל תת מרחב $T\subseteq U,W$ מתקיים כי $T\subseteq U\cap W\subseteq U,W$

תרגול

• תרגול על מרחבים ותתי מרחבים

בסיס ומימד

תרגול

• תרגול על תלות, פרישה, בסיס ומימד

משפט המימדים

תרגול

• תרגול על משפט המימדים

שלושת מרחבי המטריצה ודרגת מטריצה

תרגול

• תרגול בנושא מרחבי המטריצה

פרק 5 - העתקות לינאריות

העתקות, הרכבת העתקות, הפיכות העתקות

• מרחב ההעתקות

גרעין ותמונה

תרגול

• תרגול על העתקות, גרעין ותמונה, משפט הדרגה

מטריצה מייצגת העתקה

מטריצות מעבר בין בסיסים

תרגול

• תרגול המכיל קואורדינטות ומטריצות מעבר בין בסיסים
• תרגול בנושא מטריצות מייצגות העתקות
• תרגול נוסף בנושא העתקות

פרק 6 - דטרמיננטות

תרגול

• תרגול בנושא דטרמיננטות
• תרגול נוסף בנושא דטרמיננטות
• עוד אחד