תרגיל על קבוצה פורשת
מתוך Math-Wiki
תרגיל
יהי מרחב וקטורי, ונניח קבוצה פורשת. הוכיחו או הפריכו: פורשת.
פתרון
כפי שראינו בכיתה, לוקחים כללי ובודקים האם יש כך ש- . לפי הנתון ש- פורשת ידוע שיש כך ש- , לכן אם מתקיים אז הקבוצה אכן פורשת. זה שקול למערכת המשוואות הבאה:
.
כפי שראינו בתרגול, הדירוג מוביל ליחידה ולכן יש פתרון למערכת, כלומר הקבוצה אכן פורשת.
נשאלת השאלה (מה שגרם לבלבול בתרגול...): מה היה קורה אילו לא היה פתרון למערכת? האם זה אומר שהקבוצה בהכרח לא פורשת? לצורך העניין, אם היינו לוקחים מה התשובה צריכה להיות? יש הפרכה, אך יש מצבים בהם גם הקבוצה הזו פורשת. מוזמנים למצוא דוגמאות.