הבדלים בין גרסאות בדף "שיטות אינטגרציה"
(←פונקציה רציונאלית) |
(←פירוק לשברים חלקיים) |
||
שורה 84: | שורה 84: | ||
[[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]] | [[מדיה:09Infi2Universal.pdf|הרחבה]] | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==הצבות אוילר== | ==הצבות אוילר== |
גרסה מ־10:03, 21 במרץ 2018
בדף זה יוצגו מספר שיטות אינטגרציה הניתנות לשימוש. בסיום הדף מצורף קובץ המסכם את מה שנכתב כאן.
תוכן עניינים
אינטגרציה "רגילה"
הכוונה היא לבצע את האינטגרל לפי חוקי הגזירה. לדוגמא,
דף אינטגרלים
השלמה לריבוע
כאשר נקבל פונקציה רציונאלית שבמונה שלה יש מספר ובמכנה שלה פולינום ממעלה שניה, ניתן להשלים את הפולינום לריבוע ולהעזר ב- .
דוגמא
נעזר בהשלמה לריבוע של המכנה. נקבל:
אינטגרציה בחלקים
לפי נוסחת הגזירה של מכפלת פונקציות (נוסחת לייבניץ), אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על ידי גזירה).
דוגמא
לפי השיטה, נסמן .
לכן נקבל .
לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים, נקבל:
אינטגרציה בהצבה
לפי כלל השרשרת, אנו מקבלים:
(ניתן לוודא על-ידי גזירה).
דוגמא
כאשר .
נבצע הצבה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): u=\sin^2(x)\ \Rightarrow\ du=2\sin(x)\cos(x)dx=\sin(2x)dx\
מקבלים:
(נזכור כי , לכן אין צורך בערך מוחלט).
ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית
בהינתן פונקציה אשר משולבות בה פונקציות טריגונומטריות (ועדיף שהיא תהיה מנה של חיבור וכפל שלהן), אזי נציב .
נזכור כי , ונקבל .
נקבל בנוסף .
לכן:
כמו כן, .
לסיכום,
דוגמא
נעזר בהצבה הטריגונומטרית האוניברסלית. נציב . נקבל:
הצבות אוילר
הצבות אוילר מתייחסות למקרה של פונקציה "רציונאלית" אשר הרכיבים בה הם ו- .
אוילר 1 - הפולינום פריק
נניח כי הפולינום פריק (מעל הממשיים, כמובן). נסמן .
הצבת אוילר: נציב (אפשר גם את השורש השני). נביע את באמצעות , ונוכל למצוא גם את וגם את .
דוגמא
נעזר בהצבת אוילר: נציב .
לכן , כלומר , ומכאן .
לכן .
בנוסף,
מקבלים:
כאשר האינטגרל האחרון ניתן לפתרון באמצעות פירוק לשברים חלקיים.
אוילר 2 - פולינום יותר כללי
ישנן שתי אפשרויות:
- בהינתן , נציב .
- בהינתן , נציב .
נביע את באמצעות , ונוכל למצוא את ואת .
דוגמא
ניעזר בהצבת אוילר (האופציה הראשונה): נציב .
נעלה בריבוע ונקבל , כלומר .
לכן ,
וכן .
מקבלים:
פונקציה רציונאלית
על מנת לחשב אינטגרל על פונקציה רציונאלית (כאשר פולינומים), עלינו לעקוב אחרי השלבים הבאים:
- אם דרגת המונה גדולה מדרגת המכנה, נבצע חילוק פולינומים.
- נבצע פירוק לשברים חלקיים.
- נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.
ניתן לקרוא כאן את האלגוריתם המלא.