גרסה אחרונה מ־08:15, 16 במאי 2022

תוכן עניינים

1 מבחנים לדוגמא
2 תקציר ההרצאות

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס.

עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא באתר של סמי זערפני.

הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה

הקדמה - גלים

מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
למדנו במד"ר על המשוואה $y''=-k^2y$ המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
הפתרון הכללי למד"ר הוא $y=a\sin(kt)+b\cos(kt)$ .
הקבוע $k$ קובע את התדר של כל גל.
הקבועים $a,b$ קובעים את האמפליטודה של כל גל.
מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה $a\sin(kt+t_0)$ , הקבוע $t_0$ קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
  - $a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)$

האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי $a\sin(kt)+b\cos(kt)$ ניתן להציג כגל יחיד?
תשובה: כן.
הוכחה:
- נסמן $z=a+bi=rcis(\theta)$
- כלומר $a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)$
שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא $r=\sqrt{a^2+b^2}$ .

האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה ומקדמי פוריה

טור פורייה הוא טור מהצורה $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים $a_n,b_n$ ?

חישובים להקדמה

ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
- $\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$
- $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]$
כעת, לכל נקבל:
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש $n-k,n+k\neq 0$ .
באופן דומה, לכל נקבל:
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש $n-k,n+k\neq 0$ .
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0$ כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
ולבסוף, עבור נקבל
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2$
שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
כמו כן קל לחשב $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx=0$

הערה חשובה:
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה $\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx$

מקדמי הטור

כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=$
$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=$
כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]$
לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx$
שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור $k=0$ .
באופן דומה נקבל כי $b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx$

הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור $2\pi$ .
לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
- תהי פונקציה $f$ , נגדיר את ההמשך המחזורי שלה $g$ על ידי:
- לכל $k\in\mathbb{Z}$ ולכל $x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)$ נגדיר $g(x)=f(x-2\pi k)$ .
- ברור ש $g(x+2\pi) = g(x)$ , כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
- ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת $g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)$

לדוגמא, ההמשך המחזורי של $x^2$ :

דוגמא

נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של $x^2$
שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0

.

שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=

=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=

- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}

שימו לב כי לכל $n\in\mathbb{N}$ מתקיים כי $cos(n\pi)=(-1)^n$

סה"כ אם ההמשך המחזורי של $x^2$ שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:

\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)

נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב $\pi$ .
$\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}$
ונקבל את הסכום המפורסם

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה

מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים

פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע סופי אם:
- 1. היא רציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות.
- 2. הגבולות החד צדדיים הרלוונטיים בכל נקודה הם סופיים.
למעשה נקודות אי הרציפות היחידות של פונקציה רציפה למקוטעין הן ממין ראשון (קפיצתיות).
פונקציה נקראת רציפה למקוטעין בקטע כללי, אם ניתן לחלק אותו לקטעים סופיים בהן הפונקציה רציפה למקוטעין.

E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין מעל השדה , המקיימות בנוסף שבכל נקודה ערך הפונקציה שווה לממוצע בין הגבולות החד צדדיים שלה, ובקצוות ערך הנקודה שווה לגבול החד צדדי המוגדר.
- לא קשה להוכיח שאכן מדובר במרחב וקטורי. בעיקר יש לשים לב לכך שסכום פונקציות בקבוצה נשאר בקבוצה.
היא מכפלה פנימית מעל E.
- $\langle g,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\overline{f(x)}dx = \overline{\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx} = \overline{\langle f,g\rangle}$
- $\langle af+bg,h\rangle = a\langle f,h\rangle + b\langle g,h\rangle$
- - בכל קטע רציפות האינטגרל על פונקציה חיובית הוא אפס אם ורק אם היא אפס.
  - כיוון שהפונקציה בכל נקודה שווה לאחד הגבולות החד צדדיים או לממוצע בניהם, נובע שאם האינטגרל לעיל מתאפס הפונקציה חייבת להתאפס לחלוטין.
נביט בנורמה המושרית $||f||^2=\langle f,f\rangle$

כעת נוכיח מספר תכונות של היטלים במרחבי מכפלה פנימית.
יש לנקוט בזהירות מיוחדת בנושא זה, כיוון שאנו עוסקים במרחבים שאינם נוצרים סופית (אין להם בסיס סופי או מימד).
ייתכן שהוכחתם חלק מהמשפטים הבאים רק עבור מרחבים נוצרים סופית.

תהי קבוצה אורתונורמלית סופית $\{e_1,...,e_n\}$ , ונקרא למרחב שהיא פורשת W.
לכל וקטור $v\in V$ נגדיר את ההיטל של $v$ על W על ידי $\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i$
נוכיח מספר תכונות לגבי ההיטל הזה:

מתקיים כי
- הוכחה:
- $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle v,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n \overline{\langle v,e_i\rangle}\langle v,e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
- $\langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle = \langle \sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i,\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i\rangle = \sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2$
- המעבר האחרון נכון כיוון ש $\{e_1,...,e_n\}$ אורתונורמלית.

מתקיים כי
- הוכחה:
- $\langle v-\widetilde{v},v-\widetilde{v}\rangle = \langle v,v\rangle - \langle v,\widetilde{v}\rangle - \langle \widetilde{v},v\rangle + \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle$
- נזכור כי $\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle$ .
- לכן קיבלנו כי $||v-\widetilde{v}||^2 = ||v||^2 - ||\widetilde{v}||^2$

מסקנה מיידית: $||\widetilde{v}||\leq ||v||$

אי שיוויון בסל

כעת תהי קבוצה אורתונורמלית אינסופית $\{e_1,e_2,...\}$ .
לכל מתקיים כי
- הוכחה:
- ראינו שלכל n מתקיים כי $\sum_{i=1}^n |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2$ .
- כלומר סדרת הסכומים החלקיים של הטור החיובי חסומה על ידי $||v||^2$ ולכן הטור מתכנס למספר שקטן או שווה לו.

בפרט נובע כי

\lim_{n\to\infty}|\langle v,e_i\rangle|=0

למת רימן לבג

ראינו כי $\{\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),...\}$ היא קבוצה אורתונורמלית ב $E$ (כרגע אנו לא צריכים את הפונקציה הקבועה).
כמו כן לכל פונקציה f הגדרנו מקדמי פורייה ע"י:
לכל $1\leq n\in \mathbb{N}$ הגדרנו $a_n=\langle f,\cos(nx)\rangle$ , ו $b_n=\langle f,\sin(nx)\rangle$

נובע מאי שיוויון בסל כי המקדמים שואפים לאפס.
כלומר:

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = 0

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = 0

למת רימן-לבג: תהי $g$ רציפה למקוטעין בקטע $[0,\pi]$ , אזי:

\lim_{n\to\infty}\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = 0

הוכחה:
- $\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{0}^\pi g(t)\cos(\frac{t}{2})\sin(nt) dt+\int_{0}^\pi g(t)\sin(\frac{t}{2})\cos(nt) dt$
- נגדיר את שתי הפונקציות $h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}$ ו $h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}$
- קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי $h_c,h_s\in E$ .
- ביחד נקבל כי $\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)\cos(nt)dt \to 0$

גרעין דיריכלה

גרעין דיריכלה הוא הפונקציה $D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}$

טענה: בכל נקודה
- הוכחה:
- נכפל ב $2\sin(\frac{t}{2})$ ונקבל בצד שמאל:
- $\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(t) + 2\sin(\frac{t}{2})\cos(2t)+...+2\sin(\frac{t}{2})\cos(nt)$
- נבחין בזהות הטריגונומטרית $2\sin(a)\cos(b) = \sin(b+a)-\sin(b-a)$
- ובפרט $2\sin(\frac{t}{2})\cos(kt) = \sin(kt+\frac{t}{2}) - \sin(kt-\frac{t}{2})$
- ביחד נקבל $\sin(\frac{t}{2}) + \sin(t+\frac{t}{2})-\sin(t-\frac{t}{2}) + \sin(2t+\frac{t}{2}) - \sin(2t-\frac{t}{2})+...+\sin(nt+\frac{t}{2}) - \sin(nt-\frac{t}{2}) = \sin(nt+\frac{t}{2}) = \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)$

נשים לב כי הפונקציה $2\sin(\frac{t}{2})$ מתאפסת בנקודות $t=2\pi k$ , בנקודות אלו לגרעין דיריכלה יש אי רציפות סליקה.
זה נכון כיוון שפרט לנקודות אלו מדובר בפונקציה רציפה.
כמו כן, גרעין דיריכלה מחזורי $2\pi$ כיוון שהוא סכום של פונקציות מחזוריות $2\pi$ .

נחשב את האינטגרל על גרעין דיריכלה:
ראשית, לכל $1\leq k \in \mathbb{N}$ מתקיים:

\int_0^\pi \cos(kt)dt = \left[\frac{\sin(kt)}{k}\right]_0^\pi = 0

לכן נקבל:

\frac{1}{\pi}\int_0^\pi D_n(t)dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[\frac{1}{2} + \cos(t) + \cos(2t)+...+\cos(nt)\right]dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}

הסכומים החלקיים של טור פוריה

תהיה נקודה x, נביט בסדרת הסכומים החלקיים של טור הפוריה המתאים לפונקציה $f$ שהיא מחזורית $2\pi$ :

S_n = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)

נציב את מקדמי פוריה ונקבל כי:

S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2}f(t)dt + \sum_{k=1}^n \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)dt\right]\cos(kx)+\left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)dt\right]\sin(kx)=

= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\left[\frac{1}{2}f(t)+\sum_{k=1}^n f(t)\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt=

=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\left[\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(k(t-x))\right]dt

זה בעצם גרעין דיריכלה, כלומר קיבלנו כי:

S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt

שימו לב ששינוי מספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, ולכן נקודות אי הרציפות הסליקות של גרעין דיריכלה לא פוגעות בהוכחה.

טענה: תהי $f$ פונקציה מחזורית $2\pi$ . אזי לכל $a\in\mathbb{R}$ מתקיים כי:

\int_{-\pi}^\pi f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx

כלומר, השטח מתחת לגרף הפונקציה שווה על כל קטע באורך .
- הוכחה:

\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx = \int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx

נבצע הצבה

t=x-2\pi

באינטגרל השני ונקבל:

\int_{\pi}^{\pi+a} f(x)dx = \{t=x-2\pi, dt=dx\} = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t+2\pi)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(t)dt = \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx

ביחד נקבל כי:

\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(x)dx=\int_{-\pi+a}^{\pi} f(x)dx + \int_{-\pi}^{-\pi+a}f(x)dx = \int_{-\pi}^\pi f(x)dx

נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:

S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du

כיוון שגרעין דיריכלה ו

f

הן מחזוריות, נקבל:

S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt

הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה

סימונים והגדרות

נסמן את הגבול החד צדדי מימין ב $f(d^+)=\lim_{x\to d^+}f(x)$ .
נסמן את הגבול החד צדדי משמאל ב $f(d^-)=\lim_{x\to d^-}f(x)$ .
שימו לב: אם הפונקציה רציפה למקוטעין, הערכים הללו תמיד מוגדרים.

נגדיר את הנגזרת הימנית ע"י $f'(x^+) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t)-f(x^+)}{t}$ .
נגדיר את הנגזרת השמאלית ע"י $f'(x^-) = \lim_{t\to 0^-}\frac{f(x+t)-f(x^-)}{t}$ .
שימו לב: ייתכן ש $f'(d^+)=f'(d^-)$ אך הפונקציה אינה גזירה בd. זה יקרה אם היא לא רציפה בנקודה.

דוגמא:

נביט בפונקציה $f(x)=\frac{x}{|x|}$
מתקיים כי $f(0^+)=1$ , ו $f(0^-)=-1$ .
כמו כן מתקיים כי $f'(0^+)=f'(0^-)=0$ .

כמובן שהפונקציה אינה רציפה ואינה גזירה ב0.

משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה

תהי $f$ פונקציה מחזורית $2\pi$ , רציפה למקוטעין כך שבכל נקודה הנגזרות החד צדדיות שלה קיימות וסופיות.
אזי לכל $x\in\mathbb{R}$ הטור עם מקדמי הפוריה של $f$ מתכנס:

\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)

בפרט, בכל נקודה בה הפונקציה רציפה טור הפוריה מתכנס נקודתית לפונקציה, ובכל נקודה בה יש אי רציפות קפיצתית טור הפוריה מתכנס לממוצע הגבולות מימין ומשמאל.

הוכחה

תהי נקודה $x\in\mathbb{R}$ .
נביט בפונקציה $g(t) = \frac{f(x+t) - f(x^+)}{2\sin(\frac{t}{2})}$
$\lim_{t\to 0^+}g(t) = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(x+t) - f(x^+)}{t}\frac{\frac{t}{2}}{\sin(\frac{t}{2})} = f'(x^+)\cdot 1$
כיוון שהנגזרות החד צדדיות קיימות וסופיות, קיבלנו ש $g(t)$ רציפה למקוטעין בקטע $[0,\pi]$ .
לפי למת רימן-לבג נובע כי:

\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt=0

כלומר:

0=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left[f(x+t)-f(x^+)\right]D_n(t)dt

כיוון ש

\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x^+)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}

נובע כי:

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^\pi f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^+)}{2}

באופן דומה לחלוטין ניתן להוכיח כי:

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0 f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)}{2}

ולכן סה"כ נקבל כי:

\lim_{n\to\infty} S_n(x)= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt = \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}

דוגמאות

דוגמא 1

תהי $f$ ההמשך המחזורי של $x$ .

כיוון שf רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות (כולן שוות 1), תנאי משפט דיריכלה מתקיימים.
כיוון שf הינה אי-זוגית, לכל $n$ מתקיים כי $a_n=0$ .

כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:

b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx = -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}

לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה $x\neq \pi +2\pi k$ , מתקיים כי:

f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)

.

בפרט, לכל נקודה $x\in (-\pi,\pi)$ מתקיים כי:

x=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)

עבור נקודות אי הרציפות (הקפיצתיות), מתקיים כי הממוצע בין הגבולות החד צדדיים הוא אפס.
קל לראות שאכן לכל $x=\pi+2\pi k$ נקבל שטור הפורייה מתכנס לאפס (למעשה כל הסינוסים מתאפסים).

נציב לדוגמא $x=\frac{\pi}{2}$ ונקבל:

\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(\frac{n\pi}{2})

לכל n זוגי הסינוס יתאפס, ולכן נקבל:

\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1}

שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של $arctan(x)$ .

דוגמא 2

כעת, תהי $g$ ההמשך המחזורי של $x^2$ .
הפונקציה g הינה רציפה בכל הממשיים.
הפונקציה g גזירה בכל הממשיים פרט לנקודות $x=\pi+2\pi k$ .
בנקודות אי הגזירות, הנגזרות החד צדדיות קיימות ושוות ל $\pm 2\pi$ (כיוון שהנגזרת של $x^2$ היא $2x$ ).
סה"כ לפי משפט דיריכלה, טור הפוריה של g מתכנס אליה בכל הממשיים (כיוון שהיא רציפה בכל הממשיים).

כלומר קיבלנו שלכל $x\in [-\pi,\pi]$ מתקיים כי:

x^2=\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)

שימו לב שאם נגזור איבר איבר את טור הפוריה של $x^2$ , נקבל את טור הפורייה של $2x$ .
האם זה מפתיע?

דוגמא 3

תהי $h$ ההמשך המחזורי של הפונקציה $\begin{cases}x & x\in [0,\pi]\\0 & x\in [-\pi,0)\end{cases}$

שוב, קיבלנו פונקציה רציפה למקוטעין עם נגזרות חד צדדיות קיימות וסופיות.

נחשב את מקדמי הפורייה:

a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi xdx = \frac{\pi}{2}

a_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\cos(nx)dx = \frac{1}{n\pi}\left[x\sin(nx)\right]_0^\pi - \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \sin(nx)dx = \frac{1}{n^2\pi}\left[\cos(nx)\right]_0^\pi= \frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}

b_n = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)dx = \frac{-1}{n\pi}\left[x\cos(nx)\right]_0^\pi + \frac{1}{n\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}

סה"כ שלכל $x\in (-\pi,\pi)$ מתקיים כי:

h(x) = \frac{\pi}{4} + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}\cos(nx) + \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\right]

שימו לב: מצאנו שני טורי פורייה שמתכנסים ל $x$ בקטע $(0,\pi)$ .
באופן דומה אפשר להראות שקיימים אינסוף טורי פורייה כאלה.

טור הנגזרת

תהי $f$ רציפה בקטע $[-\pi,\pi]$ כך שהנגזרת שלה $f'$ רציפה למקוטעין בקטע.

שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים

שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
- כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
- בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
- אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
  - לדוגמא:
  - $\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1$
  - כלומר קיבלנו כי $\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}$ , כאשר $(|x|)' = \frac{x}{|x|}$

חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת

נסמן את מקדמי הפורייה של $f$ ב $a_n,b_n$
נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב $\alpha_n,\beta_n$ :

\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}

\alpha_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\cos(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi +\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx = \frac{(-1)^n\left(f(\pi)-f(-\pi)\right)}{\pi}+n\cdot b_n = (-1)^n\alpha_0+nb_n

\beta_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f'(x)\sin(nx)dx = \frac{1}{\pi}\left[f(x)\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi -\frac{n}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx = -n\cdot a_n

כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)

אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:

f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)

במקרה המיוחד בו $f(-\pi)=f(\pi)$ מתקיים כי $\alpha_0=0$ ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:

f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)

דוגמאות

דוגמא 1

נזכר בטור הפורייה של $x^2$ :

\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)

נרצה למצוא את מקדמי הפוריה של $\frac{x^3}{3}$ , נסמנם ב $a_n,b_n$ .

לכל $1\leq n$ נקבל כי:

\frac{2(-1)^n\pi^2}{3}+nb_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}

-na_n = 0

כמו כן נחשב את המקדם הראשון:

a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi \frac{x^3}{3}dx = 0

נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של $\frac{x^3}{3}$ הוא:

\frac{x^3}{3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)

דוגמא 2

נחשב את טור הפורייה של $e^x$ .
נסמן את טור הפורייה של $e^x$ ב:

\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)

כמובן שהנגזרת במקרה הזה שווה לפונקציה, ולכן יש לה בדיוק אותו טור פורייה.
מצד שני, טור הפורייה של הנגזרת צריך להיות:

\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx) -na_n\sin(nx)

כאשר $\alpha_0=\frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}=\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{\pi}$

ביחד נקבל את המשוואות:

a_0=\alpha_0

a_n=(-1)^n\alpha_0+nb_n

b_n=-na_n

נציב את המשוואה השלישית בשנייה ונקבל:

a_n=\frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}

ולכן

b_n=\frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}

סה"כ קיבלנו כי טור הפורייה של $e^x$ הינו:

\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\alpha_0}{1+n^2}\cos(nx) + \frac{n(-1)^{n+1}\alpha_0}{1+n^2}\sin(nx)

כיוון שלהמשך המחזורי של $e^x$ יש אי רציפות קפיצתית ב $x=\pi$ , טור הפורייה שם מתכנס לממוצע $\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2}$
כלומר, אם נציב $x=\pi$ נקבל:

\frac{1}{\alpha_0}\frac{e^\pi+e^{-\pi}}{2} = \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}

נפשט:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}=\frac{\pi(e^\pi+e^{-\pi})}{2(e^\pi-e^{-\pi})}-\frac{1}{2}

הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל

תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה

תהי $f$ רציפה בקטע $[-\pi,\pi]$ המקיימת $f(-\pi)=f(\pi)$ , כך ש $f'$ רציפה למקוטעין.
אזי טור הפורייה של $f$ מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.

לפי משפט דיריכלה ידוע כי טור הפורייה של ההמשך המחזורי של f מתכנס אליה בכל נקודה.
נסמן את טור הפורייה ב

\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)

ברור כי

\left|\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right|\leq \frac{|a_0|}{2} + \sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|

לפי מבחן ה-M של ויירשטראס, מספיק להוכיח שטור המספרים מימין מתכנס על מנת להסיק שטור הפורייה מתכנס במ"ש.

נסמן את מקדמי פורייה של הנגזרת ב $\alpha_n,\beta_n$ .
כבר חישבנו ש:
- $\alpha_0=0$
- $\alpha_n=nb_n$
- $\beta_n=-na_n$
לכן ביחד נקבל כי $\sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}=\frac{1}{n}\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}$
לפי אי שיוויון קושי שוורץ, נקבל כי לכל n מתקיים:

\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n} \leq \sqrt{\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}}\sqrt{\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}

לפי אי שיוויון בסל, אנו יודעים כי הטור מתכנס, כיוון שמדובר במקדמי פורייה של .
- (זכרו שמותר להניח כי $f'\in E$ על ידי שינוי מספר סופי של נקודות שלא משפיעות על חישוב מקדמי הפורייה.)
לכן $\left(\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}\right),\left(\sum_{n=1}^N |\alpha_n|^2+|\beta_n|^2\right)$ חסומות כסדרות סכומים חלקיים של טורים מתכנסים.
לכן סה"כ $\sum_{n=1}^N \frac{\sqrt{|\alpha_n|^2+|\beta_n|^2}}{n}$ חסומה, ולכן הטור האינסופי המתאים לה מתכנס.

סה"כ קיבלנו כי $\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}$ מתכנס.
לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ ו $\sum_{n=1}^\infty |b_n|$ מתכנסים, כפי שרצינו.

שיוויון פרסבל

נביט במערכת האורתונורמלית $\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E$ , ותהי $f\in E$ .
ידוע לנו כי $a_0=\langle f,1\rangle$ , ולכן $\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle$

נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב $S_n$ .
היא ההיטל של על הקבוצה האורתונורמלית
- אכן $\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)$

נזכור כי
- לכן $||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2$ .
כמו כן, נזכור כי
- לכן $||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2$

אי שיוויון בסל אומר כי $\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2$
כלומר:

\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx

משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:

\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2

אם נוכיח ש $||f-S_n||^2\to 0$ , נסיק כי $||S_n||^2\to ||f||^2$ וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.

הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש

תהי $f$ רציפה בקטע $[-\pi,\pi]$ המקיימת $f(-\pi)=f(\pi)$ , כך שהנגזרת שלה $f'$ רציפה למקוטעין.
נסמן $d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|$
הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר $d_n\to 0$ .
לכן $||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0$

דוגמא

הפונקציה $f(x)=x^2$ מקיימת את דרישות המשפט.
נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:

\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)

לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:

\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}

\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}

ולכן:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}

הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי

תהי $f \in E$ , אנחנו מעוניינים להוכיח כי $||f-S_m||\to 0$ .
נבנה סדרת פונקציות $f_n$ רציפות בקטע $[-\pi,\pi]$ המקיימות $f_n(-\pi)=f_n(\pi)$ , כך שהנגזרות שלהן $f_n'$ רציפות למקוטעין, המקיימות:

||f-f_n||\to 0

יהי $\varepsilon$ , נבחר $n$ כך ש $||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}$ .
נסמן ב $T_m$ את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של $f_n$ .
ראינו כי $\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0$ .

כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
- $||f-S_m||\leq ||f-T_m||$
כמו כן, $||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||$
קיים מקום החל ממנו לכל $m$ מתקיים כי $||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}$ .
לכן החל ממקום זה $||f-S_m||<\varepsilon$ כפי שרצינו.

בניית סדרת הפונקציות

f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
לכן ניתן לבחור חלוקה $P$ הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש $|f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi}$ לכל זוג נקודות $x,c_k\in [x_{k-1},x_k]$ .
נבחר נקודות כלשהן $c_k$ בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע $f(c_k)$ .
כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
- $\int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq \sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon$
לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל $g_n$ כך ש $||f-g_n||<\frac{1}{n}$

כעת נגדיר סדרת פונקציות להיות , פרט לשינויים הבאים:
- עבור $\delta$ שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים $[x_k-\delta,x_k]$ .
- נגדיר $f_n(-\pi)=g(\pi)$ .
- נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע $[x_0,x_0+\delta]$ .
עבור $\delta$ קטנה מספיק, $\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}$ .

סה"כ נקבל כי
- $f_n$ מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
- $f_n(-\pi)=f_n(\pi)$
- אכן מתקיים כי $||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0$

יחידות טור פורייה

הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?

תהיינה $f,g\in E$ בעלות אותם מקדמי פורייה.
אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?

מקדמי הפורייה של $f-g$ הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:

||f-g||^2=0

לכן $f=g$ .

שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש $f=g$ פרט למספר סופי של נקודות.

האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?

קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע $[-\pi,\pi]$ , אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך לא כל מקדמי הטור הם אפס.

הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים

תופעת גיבס

ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.

נביט בטור פורייה של הפונקציה x:

\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)

נסמן ב $S_m$ את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:

S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})

כעת,

\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx

לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:

\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56

(הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה $\pi$ , נקבל בערך $-0.089$ .

לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.

טור הסינוסים וטור הקוסינוסים

עבור פונקציה $f$ הרציפה בקטע $[0,\pi]$ ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה $f^+$ הזוגית בקטע $[-\pi,\pi]$ , או ל $f^-$ האי זוגית בקטע $[-\pi,\pi]$ .

את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע $[0,\pi]$ . זה נקרא טור הקוסינוסים של הפונקציה $f$ .
הוכחה:
- $f^+$ רציפה ב $[-\pi,\pi]$ , בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש $f(-\pi)=f(\pi)$ .

את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע $(0,\pi)$ . זה נקרא טור הסינוסים של הפונקציה $f$ .
אם $f(\pi)=f(0)=0$ אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע $[0,\pi]$ .
הוכחה:
- $f^-$ רציפה כיוון ש $f(0)=0$ , ומתקיים כי $f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)$ .

חישוב המקדמים:
עבור טור הקוסינוסים:
- $a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx$
עבור טור הסינוסים:
- $b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx$

דוגמאות

נחשב טור קוסינוסים של :
- $a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)$
- $a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}$
- הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע $[0,\pi]$ :

e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx)

לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את $\int_0^x$ בשני הצדדים ונקבל:

e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)

נציב למשל $x=0$ ונקבל את השיוויון:

\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}

נחשב טור סינוסים של :
- $b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}$
- הטור מתכנס בקטע $(0,\pi)$ :

e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx)

נחשב טור סינוסים של $f(x)=\pi x - x^2$ .
שימו לב: .
- $b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3}$
- לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע $[0,\pi]$ :

\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)

לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את $\int_0^x$ בשני הצדדים ונקבל:

\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)

שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.

הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה

משוואת החום על טבעת

נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה :
- $u_t-ku_{xx}=0$
- $u(x,0)=f(x)$ (תנאי התחלה)
- $u(-\pi,t)=u(\pi,t)$ (תנאי שפה)
- $u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)$ (תנאי שפה)
- כאשר $x\in[-\pi,\pi]$ , ו $t\in[0,\infty)$
על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.

נחפש פתרון מהצורה $u(x,t)=X(x)\cdot T(t)$ .
נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:

X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)

נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:

\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}

כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:

\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda

כעת נפתור את המד"רים בנפרד:
שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
- עבור :
  - $X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}$ , ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי $c=0$
  - $T_0(t)=1$ (הקבוע יבלע בקבוע של $X_0(x)$ )

- עבור :
  - $X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)$
  - $T=e^{-k\lambda t}$ (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב $X(x)$ )

ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור $\lambda=n^2$ הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).

לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:

u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))

כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים $a_n,b_n$ .
נציב כעת בתנאי ההתחלה $u(x,0)=f(x)$ ונקבל בעצם את טור הפורייה:

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)

אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
מדוע זה יהיה פתרון?
- נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
- בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור $t\in [a,\infty)$ לכל $a>0$ ולכל $x\in[-\pi,\pi]$ .
- לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.

התמרת פורייה

טור פורייה המרוכב

לא קשה לוודא כי $\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:

\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

תהי $f\in E$ , שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:

f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}

כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:

\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n})

נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב $a_n,b_n$ .

נשים לב כי עבור $n=0$ נקבל:

\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}

כעת עבור $n>0$ מתקיים:

\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =

= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) + (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=

= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)=

=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)

(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)

כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!

הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות

טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע $[-\pi,\pi]$ .
בהנתן גל $e^{inx}$ , מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx

(שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו $-i$ ).

מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל $e^{isx}$ נמצא את ה'אמפליטודה':

\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx

.

כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה $\mathcal{F}[f](s)$ נקראת התמרת פורייה של הפונקציה $f$ .
הערה - המקדם $\frac{1}{2\pi}$ לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.

הערות כלליות:
- נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב $F(s)=\mathcal{F}(f)(s)$ .
- $F(s)$ מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
- לעומת זאת, $f(x)$ מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
- לכל תדר $s$ יש שני גלים שמייצגים אותו, $e^{\pm isx}$ .
- כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.

נסמן ב $G$ את אוסף הפונקציות $g$ הרציפות למקוטעין ב $\mathbb{R}$ , עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס $\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty$ .
לכל התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
- הוכחה:
- $\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx$ מתכנס.
- כיוון שהאינטגרל המגדיר את $F(s)$ מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.

דוגמאות

נמצא את $\mathcal{F}(f)(s)$ עבור $f(x)=e^{-|x|}$ .

2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=

=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}

שימו לב - השתמשנו בעובדה ש $e^{isx}$ חסומה, ואילו $e^{-x}\to 0$ כאשר $x\to \infty$ .
לכן סה"כ קיבלנו כי $\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}$

נמצא את התמרת הפורייה של $f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}$

F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx =

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}

שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור $s=0$ , ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך.

הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה

תכונות ההתמרה

תהי אזי רציפה במ"ש ב.
- הוכחה:
- יהי $\varepsilon>0$ . כיוון ש $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx$ מתכנס, קיים $R$ עבורו $\frac{1}{2\pi}\int_{|x|>R}|f(x)|dx <\frac{\varepsilon}{4}$
- עבור $s_1,s_2$ מתקיים כי $|F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx$
- כמובן ש $|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2$ ולכן בתחום $|x|>R$ האינטגרל הנ"ל קטן מ $\frac{\varepsilon}{2}$ .
- נותר להוכיח שעבור $s_1,s_2$ מספיק קרובים מתקיים כי $\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx<\frac{\varepsilon}{2}$
- נראה כי .
  - $|e^{ix}-e^{iy}|$ הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
  - $|x-y|$ הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
  - אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
- לכן $|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2|$
- כיוון ש $|x|\leq R$ והפונקציה $f$ חסומה בתחום זה, עבור $|s_1-s_2|$ מספיק קטן נקבל את הדרוש.

רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
$\mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g]$
$\mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)}$
אם $f$ ממשית וזוגית, גם $\mathcal{F}[f](s)$ ממשית וזוגית.

הזזה במרחב הזמן:
אם $g(x)=f(ax+b)$ , אזי $\mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a})$
אם $a=1$ אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב $e^{isb}$ משנה את הזוית).

הזזה במרחב התדר:
$\mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b)$
באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.

התמרת הנגזרת:
נניח $f,f'\in G$ ונניח כי $f'$ רציפה ומתקיים כי $\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0$ , אזי:
- הוכחה:
- $\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx$
- נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
- $\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx$ .
- כיוון ש $e^{-isx}$ חסומה, יחד עם הנתון נובע כי $(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0$ .
- לכן סה"כ קיבלנו כי $\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)$

נגזרת ההתמרה:
תהי $f\in G$ רציפה כך ש $xf(x)\in G$ אזי:
- הוכחה:
- $i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s)$
- אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
  - נסמן $F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx$
  - ברור ש $F_n(s)\to F(s)$ , נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של $F(s)$ .
  - עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
  - אכן $F_n'(s)$ מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל $\int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx$ מתכנס, והרי $|xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)|$ ואכן אינו תלוי בs.

דוגמאות

ראינו כי $\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}$
לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
- $\mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)}$

נסמן $F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}]$ .
כעת $\mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF'$ לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
מצד שני, $\mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF$ לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
ביחד נקבל כי $isF = -2iF'$ , ולכן $sF=-2F'$ .
נפתור את המד"ר:
- נכפול בגורם אינטגרציה $\frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}}$ ונקבל $(e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0$
- לכן $F=Ce^{-\frac{s^2}{4}}$
- נציב $s=0$
- $2\pi C=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ , נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.

הרצאה 8 - התמרה הפוכה

בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
האמפליטודה של כל תדר מרוכב היא התמרת הפורייה , ולכן אנחנו מצפים לקבל:
- $f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)$

משפט ההתמרה ההפוכה:
- תהי $f\in G$ , אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
- $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds$
- שימו לב שהאינטגרל $\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds$ לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.

דוגמא

ראינו ש $\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx$
כיוון ש רציפה וגזירה, וכיוון ש לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
- $\mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}$
כלומר $e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds$
נציב ונקבל:
- $e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}$
ולכן $4C^2\pi = 1$ , ומכאן $C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$

נזכור בנוסף שראינו כי $2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx$ .
לכן נובע כי $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$

דוגמא

נביט ב $f(x)=\begin{cases}1 & |x|<1 \\ 0 & |x|>1\end{cases}$
$\mathcal{F}[f](s) = \frac{sin(s)}{\pi s}$
$\lim \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} \frac{sin(s)}{\pi s}e^{is}ds = \frac{1}{2}$ (הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).

הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.

למת רימן-לבג

ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:

תהי $f\in G$ , אזי $\lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0$
(כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)

נוכיח את הלמה:

צ"ל כי $\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0$
נשים לב כי $e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx)$ .
לכן מספיק לנו להוכיח כי $\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0$ (ההוכחה עבור סינוס דומה).
כיוון ש $f\in G$ האינטגרל $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx$ מתכנס.
לכן קיים $M$ עבורו $\int_{|x|>M}|f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{2}$ .
לכן $|\int_{|x|>M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|>M}|f(x)|dx < \frac{\varepsilon}{2}$
לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור $|s|$ מספיק גדול מתקיים $|\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| < \frac{\varepsilon}{2}$
(עבור $M=\pi$ ו $s\in\mathbb{N}$ כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)

נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
- $\lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0$
כיוון ש $f$ רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב $[-M,M]$ .
לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות $h$ עבורה מתקיים $\int_{-M}^M |f-h|dx < \frac{\varepsilon}{4}$ (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
כמו כן מתקיים:
- $\int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx$
- כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
סה"כ
- מתקיים כי $|\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx < \frac{\varepsilon}{4}$
- עבור $|s|$ מספיק גדול מתקיים כי $|\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|< \frac{\varepsilon}{4}$

סה"כ קיבלנו כי עבור $|s|$ מספיק גדול מתקיים $|\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|<\varepsilon$

טענת עזר

תהי $f\in G$ ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}

נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.

נגדיר את הפונקציה $g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}$
כיוון ש $f\in G$ נובע שגם $g\in G$ הרי $\left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)|$ עבור $t>\pi$ .
לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי $\lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0$
בפרט מתקיים גבול הסדרה:
- $\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0$
אבל $\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt$

לכן נותר להוכיח כי $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}$
נגדיר את הפונקציה .
- אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של $\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}$ נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
- לכן הפוקנציה $h$ רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
כעת נשים לב כי:
- $\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt$
- לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל $\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}$ .

דוגמא

טענה:

\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}

הוכחה:
- ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
- לכן מתקיים כי $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx$
- נבצע הצבה ונקבל כי:
  - $\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt$
- עבור $f(x)=1$ , לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא $\frac{\pi}{2}$

הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

$\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds=$
$=\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds$
נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy =$
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy =$
$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy$
נציב $t=y-x$ ונקבל:
$\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$

כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.

הצדקת החלפת סדר האינטגרציה

נביט בסדרה $u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy$ , שמתכנסת כמובן ל $\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy$
מתקיים כי
- (נתון כי $f\in G$ )
לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
- $\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds$
- לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
- $\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy$
- שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.

הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי

תהיינה פונקציות, נגדיר את הקונבולוציה ביניהן להיות:
- $f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy$ .

מוטיבציה לדוגמא:
- אם $f,g$ הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?
- הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.

הקונבולוציה היא אבלית:
- $g*f = \int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y)dy = \{t=x-y,dt=-dy\} = \int_{-\infty}^\infty g(t)f(x-t)dt = f*g$

שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.
ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner

משפט הקונבולוציה:
תהיינה $f,g\in G$ רציפות וחסומות אזי $\mathcal{F}[f*g] = 2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]$

הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה):

\mathcal{F}[f*g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy\right]e^{-isx}dx =

= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dydx =

= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dxdy =

= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}dx\right] g(y)e^{-isy}dy =

= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right] g(y)e^{-isy}dy =

= 2\pi\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right) \cdot \left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-isy}dy\right) =2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]

משוואת החום על מוט אינסופי

אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא $u(x,t)$ , היא מקיימת את המשוואה $u_t-ku_{xx}=0$ .
נניח גם כי תנאי ההתחלה הם $u(x,0)=f(x)$ (זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).

נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x:

U(s,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-isx}dx

נגזור לפי המשתנה t:

U_t(s,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_t(x,t)e^{-isx}dx

(נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)
כיוון ש $u_t-ku_{xx}=0$ נקבל כי:

U_t(s,t) = \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_{xx}(x,t)e^{-isx}dx

נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת $\mathcal{F}[f']=is\mathcal{F}[f]$
ולכן נקבל כי:

U_t(s,t) = -s^2 \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-isx}dx = -ks^2 U(s,t)

זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא:

U(s,t) = A(s)e^{-ks^2 t}

נציב את תנאי ההתחלה $t=0$ ונקבל כי

A(s) = U(s,0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,0)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \mathcal{F}[f]

לכן בעצם מתקיים כי $U(s,t)= F(s)e^{-ks^2 t}$
קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.

נחפש את ההתמרה ההפוכה של $e^{-ks^2 t}$
נזכור כי $\mathcal{F}[e^{-x^2}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{s^2}{4}}$

\mathcal{F}^{-1}[e^{-ks^2 t}]=\int_{-\infty}^\infty e^{-ks^2 t}e^{isx}ds = \{s=\frac{u}{2\sqrt{kt}}\}=

=\frac{1}{2\sqrt{kt}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{u^2}{4}}e^{iu(\frac{x}{2\sqrt{kt}})}du = \frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}} \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{u^2}{4}}](\frac{x}{2\sqrt{kt}}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}

נסמן פונקציה זו ב $p(x,t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}$

לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי:

\mathcal{F}[u] = \mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[p]

ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי

u(x,t) = \frac{1}{2\pi} f*p(x,t)

שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.
לכן

u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)p(x-y,t)dy = \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}dy

שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה.

הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון

משפט הדגימה של שנון

תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים $f(0),f(\pm 1),f(\pm 2),...$ לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).
בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה $sin(x)$ בנקודות $2\pi n$ אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.
מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?
במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.
כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.

עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:
בהנתן פונקציה עם מחזור $t$ נגדיר את התדר של המחזור להיות $\frac{1}{t}$ .
דוגמאות:
- התדר של $\sin(x)$ הוא $\frac{1}{2\pi}$
- התדר של $\sin(\pi x)$ הוא $\frac{1}{2}$
- באופן כללי, התדר של $sin(\pi t x)$ הוא $\frac{t}{2}$ כיוון ש $\sin(\pi t(x+\frac{2}{t})) = \sin(\pi t x)$
- התדר של $e^{isx}$ הוא $\frac{|s|}{2\pi}$ כיוון ש $e^{is(x+\frac{2\pi}{|s|})} = e^{isx\pm i2\pi} =e^{isx}$

משפט הדגימה של שנון:
תהי $f\in G$ רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי $t$ , אזי בהנתן דגימה שלה בתדר $2t$ ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).
שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש $\mathcal{F}[f](s)=0$ לכל $\frac{|s|}{2\pi}>t$ .

הוכחת משפט הדגימה

כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע $[-2\pi t,2\pi t]$ , ניתן לקבוע כי

\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds

ובפרט האינטגרל מתכנס.
לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי $f(x)= \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds$

כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר $2t$ :

c_n = f\left(\frac{n}{2t}\right), n\in\mathbb{Z}

נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל:

c_n = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{is\left(\frac{n}{2t}\right)}ds

נבצע הצבה $\frac{s}{2t}=-x$ ונקבל:

c_n = \int_{-\pi}^\pi \mathcal{F}[f](-2tx)e^{-inx}dx

אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע $\frac{1}{2\pi}$ ) של הפונקציה $\mathcal{F}[f](-2tx)$ .
כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור $|x|\geq \pi$ מתקיים כי $\mathcal{F}[f](-2tx)=0$ (זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).
לכן $\mathcal{F}[f](-2tx)$ נקבעת על ידי ערכיה בקטע $(-\pi,\pi)$ , והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).
לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).

הערות

שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.
מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?
נקבל פונקציה שאינה שייכת ל $G$ , כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.
בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.

הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה

DFT - Discrete Fourier transform

תהי סדרת נקודות $a_0,...,a_{N-1} \in \mathbb{C}$ , התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות $A_0,...,A_{N-1}\in\mathbb{C}$ המוגדרת ע"י:

A_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n\frac{k}{N}}

שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של $N^2$ .
התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של $N\log(N)$ .

משמעות ההתמרה

תהי פונקציה f. נדגום ממנה $N$ נקודות בתדר $t$ , כלומר נתון לנו:

f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})

נסמן נקודות אלה ב $a_k=f(\frac{k}{t})$

אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים:

f(x)=B_0e^{2\pi i \cdot 0\cdot\frac{t}{N}x}+ B_1e^{2\pi i \cdot 1\cdot\frac{t}{N}x}+B_2e^{2\pi i \cdot 2\cdot\frac{t}{N}x}+...+B_{N-1}e^{2\pi i \cdot (N-1)\cdot\frac{t}{N}x}

כיוון שהתדר של $e^{isx}$ הוא $\frac{|s|}{2\pi}$ נובע כי הגלים הללו הם בתדרים $0,\frac{t}{N},\frac{2t}{N},...,\frac{(N-1)t}{N}$
שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.

נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.

נביט בפונקצית הגל $u_n(x)=e^{2\pi i n\frac{t}{N}x}$ .
נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:

v_n= \left(u_n(0),u_n(\frac{1}{t}),...,u_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i n \frac{1}{N}},e^{2\pi i n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i n \frac{N-1}{N}} \right)

נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:

v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1})

לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:

v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1}

זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:

f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t})

נבחן את הקבוצה $\{v_0,...,v_{N-1}\}$ .

\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N

עבור $n\neq m$ :

\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}

אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית $1+q+...+q^{N-1}$ עבור $q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}$
שימו לב ש $\frac{|n-m|}{N}<1$ ולכן $q\neq 1$ .
כמו כן, שימו לב ש $q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1$
לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:

\langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0

כלומר גילינו כי $\{v_0,...,v_{N-1}\}$ קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים $B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N}$

לבסוף, נשים לב כי:

\langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n

כלומר $B_n = \frac{A_n}{N}$

התמרת פורייה הבדידה ההפוכה

מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים $A_n$ לסדרת הדגימות $a_n$ .

v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1})

ולכן:

a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}}

מסקנות לגבי גלים ממשיים

פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?

ראשית, נשים לב לתופעה הבאה:

v_{N-n} = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N}},...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N}}) = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N} - 2\pi i },...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N} - 2\pi i (N-1)})

(השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
ולכן נקבל:

v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}

כלומר פירוק הפונקציה לגלים $u_0,u_1,...,u_{N-1}$ נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים $u_0,u_1,u_{-1},...$ .
כאשר המקדם של $u_{-n}$ שווה למקדם של $u_{N-n}$ .
שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.

לדוגמא:
נניח שיש לנו 5 דגימות של f.
אם נפרק את f לגלים $u_0,u_1,...,u_5$ נקבל $v=B_0v_0+...+B_4v_4$
אם נפרק את f לגלים $u_{-2},u_{-1},u_0,u_1,u_2$ נקבל $v=B_3v_{-2},B_4v_{-1}+B_0v_0+B_1v_1+B_2v_2$
במצב זה, אם דגמנו בתדר $t$ נקבל את התדרים $0,\frac{t}{5},\frac{2t}{5}$ שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).

עבור n ספציפי מתקיים כי:

B_ne^{2\pi i n \frac{t}{N}x} + B_{N-n}e^{-2\pi i n \frac{t}{N}x} = (B_n+B_{N-n}) \cos (2\pi n \frac{t}{N}x) + i(B_n-B_{N-n})sin(2\pi n \frac{t}{N}x)

מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי $B_n+B_{N-n}$ וגם $i(B_n-B_{N-n})$ הם ממשיים.
כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.

הערה: אם N זוגי, אז הגל $u_{\frac{N}{2}}$ נותר בודד.
לדוגמא עבור $N=4$ נקבל במקום הגלים $u_0,u_1,u_2,u_3$ את $u_{-1},u_0,u_1,u_2$
נשים לב כי במקרה זה $v_{\frac{N}{2}}$ הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
 =מבחנים לדוגמא=
+*[[מדיה:20ForierTestA.pdf|מועד א' תש"ף]]
+**[[מדיה:20ForierTestASol.pdf|פתרונות סופיים למועד א' תש"ף]]
+*[[מדיה:20ForierTestB.pdf|מועד ב' תש"ף]]
+*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf|מבחן לדוגמא תשע"ט]]
+**[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf|פתרון מבחן לדוגמא תשע"ט]]
+*[[מדיה:19ForierTestA.pdf|מועד א' תשע"ט]]
+**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf|פתרון חלקי מאד מועד א' תשע"ט]]
+*[[מדיה:19ForierTestB.pdf|מועד ב' תשע"ט]]
+**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf|פתרון מועד ב' תשע"ט]]
 =תקציר ההרצאות=
-*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [http://www2.math.technion.ac.il/~yoramy/heb-ps.html 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס].
+*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [https://samyzaf.com/technion/fourier/fourier.pdf 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס].
+עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא [https://samyzaf.com/ באתר של סמי זערפני].
 ==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה==
 ===הקדמה - גלים===
@@ שורה 64: / שורה 77: @@
 **<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx =  \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math>
 *עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל:
-**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
+**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
 **שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>.
 *עבור <math>n,k\in \mathbb{N}</math> נקבל:
@@ שורה 71: / שורה 84: @@
 **<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math>
 *שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
+*כמו כן קל לחשב <math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx=0</math>
 *הערה חשובה:
 **למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math>
 ====מקדמי הטור====
@@ שורה 214: / שורה 227: @@
 **נגדיר את שתי הפונקציות <math>h_s(t)=\begin{cases}g(t)\sin(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math> ו <math>h_c(t)=\begin{cases}g(t)\cos(\frac{t}{2}) & 0\leq t\leq \pi \\ 0 & -\pi\leq t <0\end{cases}</math>
 **קל לראות כי שתי הפונקציות רציפות למקוטעין. לכן פרט לשינוי במספר סופי של נקודות שלא משפיע על האינטגרל, ניתן להניח כי <math>h_c,h_s\in E</math>.
-**ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)sin(nt)dt \to 0</math>
+**ביחד נקבל כי <math>\int_{0}^\pi g(t)\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)dt = \int_{-\pi}^\pi h_c(t)\sin(nt)dt + \int_{-\pi}^\pi h_s(t)\cos(nt)dt \to 0</math>
 ===גרעין דיריכלה===
-*גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(x)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>
+*גרעין דיריכלה הוא הפונקציה <math>D_n(t)= \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}</math>
-*טענה: <math>D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math>
+*טענה: <math>D_n(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos(kt)</math> בכל נקודה <math>t\neq 2\pi k</math>
 **הוכחה:
 **נכפל ב<math>2\sin(\frac{t}{2})</math> ונקבל בצד שמאל:
@@ שורה 270: / שורה 283: @@
 *נחזור לסכומים החלקיים ונבצע הצבה:
-:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math>
+:<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(t-x)dt = \{ u=t-x, du=dt\} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi-x}^{\pi-x} f(x+u)D_n(u)du</math>
 :כיוון שגרעין דיריכלה ו<math>f</math> הן מחזוריות, נקבל:
 :<math>S_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+u)D_n(u)du=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x+t)D_n(t)dt</math>
@@ שורה 333: / שורה 346: @@
 *כעת נחשב את המקדמים של הסינוסים:
-:<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx =
+:<math>b_n=\langle f,sin(nx)\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi x\sin(nx)dx= \frac{2}{n\pi}\left[-x\cos(nx)\right]_{0}^\pi + \frac{2}{n\pi}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)dx =
 -\frac{2\pi\cos(\pi n)}{\pi n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}</math>
 *לכן, בכל נקודת רציפות של f, כלומר בכל נקודה <math>x\neq \pi +2\pi k</math>, מתקיים כי:
@@ שורה 348: / שורה 361: @@
 :<math>\frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2}{2n-1}\sin(n\pi-\frac{\pi}{2}) =\sum_{n=1}^\infty\frac{-2}{2n-1}\cos(n\pi) = \sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{2n-1} </math>
 *שימו לב שהפעם לא קיבלנו טור חדש בזכות פורייה, כיוון שנקבל בדיוק את אותו הטור אם נציב 1 בטור הטיילור של <math>arctan(x)</math>.
 =====דוגמא 2=====
@@ שורה 394: / שורה 406: @@
 ===טור הנגזרת===
-*תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין בקטע.
+*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין בקטע.
+====שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים====
+*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ:
+**כיוון שהנגזרת רציפה למקוטעין, אפשר להראות בעזרת לופיטל שהנגזרות החד צדדיות בנקודות אי הגזירות של f קיימות.
+**בעצם, זה מראה שf גזירה בקטעים סגורים בהם אפשר להפעיל את נוסחאת ניוטון לייבניץ.
+**אם נחשב את האינטגרל על הנגזרת בכל הקטעים הסגורים, ערכי f יצטמצמו, פרט לקצוות.
+***לדוגמא:
+***<math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = \int_{-1}^0 (-1)dx + \int_{0}^1 (1)dx = (-x)|_{-1}^0+(x)|_0^1 = 0-1 + 1-0 = 1-1</math>
+***כלומר קיבלנו כי <math>\int_{-1}^1 \frac{x}{|x|}dx = (|x|)_{-1}^{1}</math>, כאשר <math>(|x|)' = \frac{x}{|x|}</math>
+====חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת====
 *נסמן את מקדמי הפורייה של <math>f</math> ב<math>a_n,b_n</math>
 *נחשב את מקדמי הפורייה של הנגזרת, נסמן אותם ב<math>\alpha_n,\beta_n</math>:
 :<math>\alpha_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)dx= \frac{f(\pi)-f(-\pi)}{\pi}</math>
-*שימו לב שמותר לנו להשתמש בנוסחאת ניוטון לייבניץ כיוון שהנגזרת אינטגרבילית, וf היא הקדומה שלה בכל הקטע.
@@ שורה 410: / שורה 432: @@
 *כלומר, בתנאים הנתונים, אם טור הפוריה של f הינו:
-:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
+:<math>f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
 *אזי טור הפורייה של הנגזרת הינו:
-:<math>f'(x)=\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math>
+:<math>f'(x)\sim\frac{\alpha_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n\alpha_0+nb_n\right)\cos(nx)-n\cdot a_n\sin(nx)</math>
 *במקרה המיוחד בו <math>f(-\pi)=f(\pi)</math> מתקיים כי <math>\alpha_0=0</math> ולכן נקבל את טור הפורייה הפשוט:
-:<math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)</math>
+:<math>f'(x)\sim\sum_{n=1}^\infty nb_n\cos(nx)-na_n\sin(nx)</math>
 ====דוגמאות====
@@ שורה 435: / שורה 456: @@
 *נחלץ את המקדמים ונקבל כי טור הפורייה של <math>\frac{x^3}{3}</math> הוא:
-:<math>\frac{x^3}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math>
+:<math>\frac{x^3}{3} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n}{n^3}\left(2-\frac{\pi^2 n^2}{3}\right)\sin(nx)</math>
 =====דוגמא 2=====
@@ שורה 470: / שורה 490: @@
 ==הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל==
 ===תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה===
-*תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך ש <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
+*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך ש <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
 *אזי טור הפורייה של <math>f</math> מתכנס אליה במ"ש בכל הממשיים.
@@ שורה 498: / שורה 518: @@
 *סה"כ קיבלנו כי <math>\sum_{n=1}^\infty \sqrt{|a_n|^2+|b_n|^2}</math> מתכנס.
 *לכן בוודאי גם הטורים הקטנים יותר <math>\sum_{n=1}^\infty |a_n|</math> ו<math>\sum_{n=1}^\infty |b_n|</math> מתכנסים, כפי שרצינו.
+===שיוויון פרסבל===
+*נביט במערכת האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...\}\subseteq E</math>, ותהי <math>f\in E</math>.
+*ידוע לנו כי <math>a_0=\langle f,1\rangle</math>, ולכן <math>\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle</math>
+*נסמן את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה המתאים לפונקציה f ב  <math>S_n</math>.
+*<math>S_n</math> היא ההיטל של <math>f</math> על הקבוצה האורתונורמלית <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),...,\cos(nx),\sin(nx)\}</math>
+**אכן <math>\langle f,\frac{1}{\sqrt{2}}\rangle \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^\infty \langle f,\cos(nx)\rangle \cos(nx) + \langle f,\sin(nx)\rangle \sin(nx) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
+*נזכור כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
+**לכן <math>||f-S_n||^2=||f||^2-||S_n||^2</math>.
+*כמו כן, נזכור כי <math>||\widetilde{v}||^2 = \sum_{i=1}^{n}|\langle v,e_i\rangle|^2</math>
+**לכן <math>||S_n||^2 = \frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{k=1}^n |a_k|^2+|b_k|^2</math>
+*אי שיוויון בסל אומר כי <math>\sum_{i=1}^\infty |\langle v,e_i\rangle|^2 \leq ||v||^2</math>
+*כלומר:
+:<math>\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 \leq ||f||^2 = \langle f,f\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx</math>
+*משפט שיוויון פרסבל אומר שבעצם מתקיים שיוויון:
+:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2dx=\frac{|a_0|^2}{2}+\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2+|b_n|^2 </math>
+*אם נוכיח ש <math>||f-S_n||^2\to 0</math>, נסיק כי <math>||S_n||^2\to ||f||^2</math> וזהו בדיוק שיוויון פרסבל.
+====הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש====
+*תהי <math>f</math> רציפה בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימת <math>f(-\pi)=f(\pi)</math>, כך שהנגזרת שלה <math>f'</math> רציפה למקוטעין.
+*נסמן <math>d_n=\sup_{[-\pi,\pi]}|f-S_n|</math>
+*הוכחנו כי טור הפורייה של f מתכנס אליה במ"ש, כלומר <math>d_n\to 0</math>.
+*לכן <math>||f-S_n||^2 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f-S_n|^2dx \leq 2d_n^2 \to 0</math>
+=====דוגמא=====
+*הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> מקיימת את דרישות המשפט.
+*נזכור כי טור הפורייה שלה הוא:
+:<math>\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)</math>
+*לכן לפי שיוויון פרסבל נקבל כי:
+:<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x^4dx = \frac{4\pi^4}{18}+\sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>
+:<math>\frac{2\pi^4}{5}-\frac{4\pi^4}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{16}{n^4}</math>
+*ולכן:
+:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}</math>
+====הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי====
+*תהי <math>f \in E</math>, אנחנו מעוניינים להוכיח כי <math>||f-S_m||\to 0</math>.
+*נבנה סדרת פונקציות <math>f_n</math> רציפות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math> המקיימות <math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>, כך שהנגזרות שלהן <math>f_n'</math> רציפות למקוטעין, המקיימות:
+:<math>||f-f_n||\to 0</math>
+*יהי <math>\varepsilon</math>, נבחר <math>n</math> כך ש <math>||f-f_n||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
+*נסמן ב<math>T_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של טור הפורייה של <math>f_n</math>.
+*ראינו כי <math>\lim_{m\to\infty}||f_n-T_m||=0</math>.
+*כיוון שההיטל הוא הוקטור הקרוב ביותר, נקבל:
+**<math>||f-S_m||\leq ||f-T_m||</math>
+*כמו כן, <math>||f-T_m||\leq ||f-f_n||+||f_n-T_m||</math>
+*קיים מקום החל ממנו לכל <math>m</math> מתקיים כי <math>||f_n-T_m||< \frac{\varepsilon}{2}</math>.
+*לכן החל ממקום זה <math>||f-S_m||<\varepsilon</math> כפי שרצינו.
+=====בניית סדרת הפונקציות=====
+*f רציפה למקוטעין, ולכן רציפה במ"ש בכל קטע רציפות.
+*לכן ניתן לבחור חלוקה <math>P</math> הכוללת את נקודות אי הרציפות, עם פרמטר חלוקה מספיק קטן כך ש <math>|f(x)-f(c_k)|^2< \frac{\varepsilon}{2\pi}</math> לכל זוג נקודות <math>x,c_k\in [x_{k-1},x_k]</math>.
+*נבחר נקודות כלשהן <math>c_k</math> בכל קטע ונביט בפונקצית המדרגות g שבכל תת קטע שווה לקבוע <math>f(c_k)</math>.
+*כעת האינטגרל תמיד קטן מסכום הדרבו העליון:
+**<math>\int_{-\pi}^{\pi} |f-g|^2dx \leq \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1},x_k]}|f(x)-f(c_k)|^2 (x_k-x_{k-1}) \leq  \sum_{k=1}^n  \frac{\varepsilon}{2\pi}(x_k-x_{k-1}) = \varepsilon</math>
+*לכן אפשר לבנות סדרת פונקציות מדרגות כנ"ל <math>g_n</math> כך ש<math>||f-g_n||<\frac{1}{n}</math>
+*כעת נגדיר סדרת פונקציות <math>f_n</math> להיות <math>g_n</math>, פרט לשינויים הבאים:
+**עבור <math>\delta</math> שנקבע בהמשך, נחבר בקו ישר את הנקודות בקצוות המקטעים <math>[x_k-\delta,x_k]</math>.
+**נגדיר <math>f_n(-\pi)=g(\pi)</math>.
+**נחבר בקו ישר את הנקודות בקצה הקטע <math>[x_0,x_0+\delta]</math>.
+*עבור <math>\delta</math> קטנה מספיק, <math>\int_{-\pi}^{\pi}|f_n-g|^2dx < \frac{1}{n}</math>.
+*סה"כ נקבל כי
+**<math>f_n</math> מורכבת מקטעים ישרים המחוברים זה לזה, ולכן מדובר בפונקציה רציפה, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין.
+**<math>f_n(-\pi)=f_n(\pi)</math>
+**אכן מתקיים כי <math>||f-f_n||\leq ||f-g||+||g-f_n||\to 0</math>
+===יחידות טור פורייה===
+====הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?====
+*תהיינה <math>f,g\in E</math> בעלות אותם מקדמי פורייה.
+*אם טורי הפורייה מתכנסים לפונקציה, ברור שזו אותה הפונקציה, אבל אם לא?
+*מקדמי הפורייה של <math>f-g</math> הם אפס, ולכן לפי שיוויון פרסבל:
+:<math>||f-g||^2=0</math>
+*לכן <math>f=g</math>.
+*שימו לב שעבור סתם פונקציות רציפות למקוטעין, זה אומר ש<math>f=g</math> פרט למספר סופי של נקודות.
+====האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?====
+*קנטור הוכיח שאם טור טריגונומטרי שווה לאפס בכל הקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, אזי כל מקדמי הטור הם אפס.
+*יותר מאוחר הוכיחו כי אם הטור מתאפס בכל נקודה בקטע פרט לקבוצה בת מנייה של נקודות, עדיין כל מקדמי הטור הם אפס.
+*מנשוב מצא ב1916 טור טריגונומטרי שמתכנס לאפס בכל נקודה פרט לקבוצה ממידה אפס של נקודות, אך '''לא''' כל מקדמי הטור הם אפס.
+==הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים==
+===תופעת גיבס===
+*ראינו תנאים בהם טור הפורייה מתכנס במ"ש.
+*כעת אנחנו רוצים לחקור מקרים בהם אין התכנסות במ"ש, ונראה כי בהן יש חריגה מיוחדת של סדרת הסכומי החלקיים מן הפונקציה.
+*נביט בטור פורייה של הפונקציה x:
+:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>
+*נסמן ב<math>S_m</math> את סדרת הסכומים החלקיים של הטור ונביט ב:
+:<math>S_m(\pi - \frac{\pi}{m})=\sum_{n=1}^m \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(n(\pi - \frac{\pi}{m})) = \sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m})</math>
+*כעת,
+:<math>\sum_{n=1}^m \frac{2}{n}\sin(\frac{n\pi}{m}) = 2\sum_{n=1}^m \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{m}\right)}{\left(\frac{n\pi}{m}\right)}\frac{\pi}{m}\to 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx</math>
+*לכן סה"כ השגיאה בקירוב ע"י הסכומים החלקיים בסדרת הנקודות הללו היא:
+:<math>\pi-\frac{\pi}{m} - S_m (\pi-\frac{\pi}{m}) \to \pi - 2\int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi (1-\frac{2\sin(x)}{x})dx \approx -0.56</math>
+*(הערכת האינטגרל נעשית על ידי פיתוח טור הטיילור של הפונקציה, נקבל טור לייבניץ לפיו קל לבצע הערכת שגיאה.)
+*כלומר סדרת הסכומים החלקיים עולה משמעותית מעל הפונקציה, כפי שניתן לראות בגרף המצורף.
+*אם נחלק את זה בגודל הקפיצה בין הגבולות החד צדדים של ההמשך המחזורי של x בנקודה <math>\pi</math>, נקבל בערך <math>-0.089</math>.
+*לא נוכיח זאת, אבל יחס הטעות הזה בנקודות אי הרציפות נשמר באופן כללי עבור פונקציות בE שנגזרתן רציפה למקוטעין, ונקרא 'תופעת גיבס'.
+:[[קובץ:gibs_x.png|1000px]]
+===טור הסינוסים וטור הקוסינוסים===
+*עבור פונקציה <math>f</math> הרציפה בקטע <math>[0,\pi]</math> ובעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ניתן להשלים אותה לפונקציה <math>f^+</math> הזוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>, או ל<math>f^-</math> האי זוגית בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.
+*את ההמשך הזוגי אפשר לפתח לטור קוסינוסים, שמתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>. זה נקרא '''טור הקוסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.
+*הוכחה:
+**<math>f^+</math> רציפה ב<math>[-\pi,\pi]</math>, בעלת נגזרת רציפה למקוטעין, ומתקיים כמובן ש<math>f(-\pi)=f(\pi)</math>.
+*את ההמשך האי זוגי אפשר לפתח לטור סינוסים, שמתכנס אל הפונקציה בקטע <math>(0,\pi)</math>. זה נקרא '''טור הסינוסים''' של הפונקציה <math>f</math>.
+*אם <math>f(\pi)=f(0)=0</math> אזי טור הסינוסים מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>.
+*הוכחה:
+**<math>f^-</math> רציפה כיוון ש<math>f(0)=0</math>, ומתקיים כי <math>f(-\pi)=-f(\pi)=0=f(\pi)</math>.
+*חישוב המקדמים:
+*עבור טור הקוסינוסים:
+**<math>a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^+\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\cos(nx)dx </math>
+*עבור טור הסינוסים:
+**<math>b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^-\cos(nx) dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f\sin(nx)dx </math>
+====דוגמאות====
+*נחשב טור קוסינוסים של <math>e^x</math>:
+**<math>a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^xdx = \frac{2}{\pi}(e^\pi-1)</math>
+**<math>a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} e^x\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}</math>
+**הטור מתכנס במ"ש לפונקציה בקטע <math>[0,\pi]</math>:
+:<math>e^x=\frac{e^\pi-1}{\pi}+ \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1}\cos(nx) </math>
+*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל:
+:<math>e^x-1 - \frac{e^\pi-1}{\pi}x = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^3+n}\sin(nx)</math>
+*נציב למשל <math>x=0</math> ונקבל את השיוויון:
+:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{e^\pi(-1)^n-1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} - \frac{e^\pi-1}{2}</math>
+*נחשב טור סינוסים של <math>e^x</math>:
+**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi e^x\sin(nx)dx = \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}</math>
+**הטור מתכנס בקטע <math>(0,\pi)</math>:
+:<math>e^x=\sum_{n=1}^\infty \frac{2n(1-e^\pi(-1)^n)}{\pi(n^2+1)}\sin(nx) </math>
+*נחשב טור סינוסים של <math>f(x)=\pi x - x^2</math>.
+*שימו לב: <math>f(0)=f(\pi)=0</math>.
+**<math>b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi (\pi x-x^2)\sin(nx)dx = \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} </math>
+**לכן הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,\pi]</math>:
+:<math>\pi x - x^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^3} \sin(nx)</math>
+*לכן מותר לבצע אינטגרציה איבר איבר, נחשב את <math>\int_0^x</math> בשני הצדדים ונקבל:
+:<math>\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3} =  \sum_{n=1}^\infty \frac{4(1-(-1)^n)}{\pi n^4}(-\cos(nx)+1)</math>
+*שימו לב שלא מדובר בטור טריגונומטרי.
+==הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה==
+===משוואת החום על טבעת===
+*נביט במד"ח החום על מוט עבור הפונקציה <math>u(x,t)</math>:
+**<math>u_t-ku_{xx}=0</math>
+**<math>u(x,0)=f(x)</math> (תנאי התחלה)
+**<math>u(-\pi,t)=u(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
+**<math>u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t)</math> (תנאי שפה)
+**כאשר <math>x\in[-\pi,\pi]</math>, ו<math>t\in[0,\infty)</math>
+*על מנת להבין את תנאי השפה, אפשר לחשוב על הבעייה במובן שהמוט הוא מעגלי.
+*נחפש פתרון מהצורה <math>u(x,t)=X(x)\cdot T(t)</math>.
+*נציב במד"ח את הניחוש, ונקבל:
+:<math>X(x)T'(t)=kX''(x)T(t)</math>
+*נניח שהצדדים שונים מאפס ונחלק:
+:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}</math>
+*כיוון שכל צד תלוי במשתנה אחר, הדרך היחידה לקבל שיוויון היא אם שני הצדדים קבועים.
+*נביט בפתרונות עבור קבוע שלילי:
+:<math>\frac{T'(t)}{kT(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda</math>
+*כעת נפתור את ה[[מד"ר תקציר הרצאות|מד"ר]]ים בנפרד:
+*שימו לב שאנו בוחרים את השמות של הקבועים בצורה מיוחדת לקראת הפתרון בהמשך.
+**עבור <math>\lambda=0</math>:
+***<math>X_0(x)=cx+\frac{a_0}{2}</math>, ועל מנת לקיים את תנאי השפה נקבל כי <math>c=0</math>
+***<math>T_0(t)=1</math> (הקבוע יבלע בקבוע של <math>X_0(x)</math>)
+**עבור <math>\lambda\neq 0</math>:
+***<math>X= a_{\sqrt{\lambda}} \cos(\sqrt{\lambda}x) + b_{\sqrt{\lambda}} \sin(\sqrt{\lambda}x)</math>
+***<math>T=e^{-k\lambda t}</math> (הקבוע חסר כי הוא יבלע בקבועים האחרים כאשר נכפול ב<math>X(x)</math>)
+*ע"י הצבה ניתן לוודא שעבור <math>\lambda=n^2</math> הפונקציות לעיל מקיימות את תנאי השפה.
+*גם צירוף לינארי שלהן יהווה פתרון כיוון שהמד"ח הומוגנית ותנאי השפה הומוגניים.
+*צירוף לינארי אינסופי יהווה פתרון לבעייה אם טורי הנגזרות יתכנסו במ"ש (ולכן יהיה מותר לגזור איבר איבר).
+*לכן אנו מחפשים פתרון כללי מהצורה:
+:<math>u(x,t)=T_0(t)X_0(x)+\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty e^{-kn^2 t}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))</math>
+*כל שנותר לנו לעשות הוא למצוא את הקבועים <math>a_n,b_n</math>.
+*נציב כעת בתנאי ההתחלה <math>u(x,0)=f(x)</math> ונקבל בעצם את טור הפורייה:
+:<math>f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
+*אנחנו יכולים לפתור משוואה זו בהנתן שf מקיימת את תנאי משפט דיריכלה.
+*מדוע זה יהיה פתרון?
+**נזכור שמקדמי הפורייה שואפים לאפס.
+**בזכות האקספוננט, טור זה ונגזרותיו אכן יתכנסו במ"ש עבור <math>t\in [a,\infty)</math> לכל <math>a>0</math> ולכל <math>x\in[-\pi,\pi]</math>.
+**לכן מותר לגזור איבר איבר, ואכן מדובר בפתרון של המד"ח.
+===התמרת פורייה===
+====טור פורייה המרוכב====
+*לא קשה לוודא כי <math>\{e^{inx}\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית בE אם נעדכן מעט את המכפלה הפנימית:
+:<math>\langle f,g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>
+*תהי <math>f\in E</math>, שאלה שעולה באופן טבעי היא האם:
+:<math>f=\sum_{n=-\infty}^\infty \langle f,e^{inx}\rangle e^{inx}</math>
+*כאשר אנו מגדירים את הסכום ממינוס אינסוף עד אינסוף באופן הבא:
+:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty u_n = u_0+\sum_{n=1}^\infty (u_n+u_{-n}) </math>
+*נסמן את מקדמי פורייה הרגילים ב<math>a_n,b_n</math>.
+*נשים לב כי עבור <math>n=0</math> נקבל:
+:<math>\langle f,1\rangle = \frac{a_0}{2}</math>
+*כעת עבור <math>n>0</math> מתקיים:
+:<math>\langle f, e^{inx}\rangle e^{inx}+\langle f, e^{-inx}\rangle e^{-inx} =</math>
+:<math>= (\langle f, e^{inx}\rangle+\langle f, e^{-inx}\rangle)\cos(nx) +  (\langle f, e^{inx}\rangle-\langle f, e^{-inx}\rangle)i\sin(nx)=</math>
+:<math>= 2\langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) + 2\langle f, i\sin(nx)\rangle i\sin(nx)= </math>
+:<math>=a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)</math>
+*(שימו לב: הi יצא מהצד הימני של המכפלה הפנימית עם מינוס)
+*כלומר, טור פורייה המרוכב הוא בדיוק טור פורייה הרגיל!
+====הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות====
+*טורי פורייה עזרו לנו לחקור פונקציות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.
+*בהנתן גל <math>e^{inx}</math>, מצאנו את ה'אמפליטודה' שלו (המקדם):
+:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx</math>
+*(שימו לב - המכפלה הפנימית מצמידה את הפונקציה מימין, ולכן קיבלנו <math>-i</math>).
+*מחשבה הגיונית היא שאם נרצה לחקור פונקציות בכל הממשיים, עבור גל <math>e^{isx}</math> נמצא את ה'אמפליטודה':
+:<math>\mathcal{F}[f](s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx</math>.
+*כאשר האינטגרל מתכנס, הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](s)</math> נקראת '''התמרת פורייה''' של הפונקציה <math>f</math>.
+*הערה - המקדם <math>\frac{1}{2\pi}</math> לעיתים אינו מופיע בהגדרת ההתמרה. אנחנו נראה בהמשך שיש לו קשר להתמרה ההפוכה.
+*הערות כלליות:
+**נסמן בדר"כ את ההתמרה של f ב<math>F(s)=\mathcal{F}(f)(s)</math>.
+**<math>F(s)</math> מייצגת את האמפליטודה בכל תדר, ולכן נהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב התדר'.
+**לעומת זאת, <math>f(x)</math> מייצגת את גובה הפונקציה בכל נקודה בזמן, ונהוג לומר שהיא מוגדרת ב'מרחב הזמן'.
+**לכל תדר <math>s</math> יש שני גלים שמייצגים אותו, <math>e^{\pm isx}</math>.
+**כפי שלמדנו, באמצעות שני הגלים ניתן לייצג כל 'פאזה'.
+*נסמן ב<math>G</math> את אוסף הפונקציות <math>g</math> הרציפות למקוטעין ב<math>\mathbb{R}</math>, עבורן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס <math>\int_{-\infty}^\infty|g(x)|dx<\infty</math>.
+*לכל <math>f\in G</math> התמרת הפורייה מוגדרת בכל הממשיים.
+**הוכחה:
+**<math>\int_{-\infty}^\infty|f(x)e^{-isx}|dx = \int_{-\infty}^\infty|f(x)|dx</math> מתכנס.
+**כיוון שהאינטגרל המגדיר את <math>F(s)</math> מתכנס בהחלט, הוא מתכנס.
+=====דוגמאות=====
+*נמצא את <math>\mathcal{F}(f)(s)</math> עבור <math>f(x)=e^{-|x|}</math>.
+:<math>2\pi F(s)=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}e^{-isx}dx = \int_0^\infty e^{-x}e^{-isx}dx + \int_{-\infty}^0 e^{x}e^{-isx}dx=</math>
+:<math>=\left[\frac{e^{-x(1+is)}}{-(1+is)}\right]_0^\infty + \left[\frac{e^{x(1-is)}}{1-is}\right]_{-\infty}^0=\frac{1}{1+is} + \frac{1}{1-is} = \frac{2}{1+s^2}</math>
+*שימו לב - השתמשנו בעובדה ש<math>e^{isx}</math> חסומה, ואילו <math>e^{-x}\to 0</math> כאשר <math>x\to \infty</math>.
+*לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>
+*נמצא את התמרת הפורייה של <math>f(x)=\begin{cases}|x| & |x|\leq \pi \\ 0 & |x|>\pi\end{cases}</math>
+:<math>F(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|e^{-isx}dx = </math>
+:<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\cos(sx)dx - \frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |x|\sin(sx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^\pi x\cos(sx)dx = \frac{\sin(s\pi)}{s} + \frac{\cos(s\pi)-1}{s^2\pi}</math>
+*שימו לב: חישוב האינטגרל שגוי עבור <math>s=0</math>, ניתן להציבו בנוסחא המקורית של האינטגרל או להשתמש ברציפות ההתמרה, שנלמד בהמשך.
+==הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה==
+===תכונות ההתמרה===
+*תהי <math>f\in G</math> אזי <math>F(s)=\mathcal{F}[f](s)</math> רציפה במ"ש ב<math>\mathbb{R}</math>.
+**הוכחה:
+**יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס, קיים <math>R</math> עבורו <math>\frac{1}{2\pi}\int_{|x|>R}|f(x)|dx <\frac{\varepsilon}{4}</math>
+**עבור <math>s_1,s_2</math> מתקיים כי <math>|F(s_1)-F(s_2)|\leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx</math>
+**כמובן ש <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq 2</math> ולכן בתחום <math>|x|>R</math> האינטגרל הנ"ל קטן מ<math>\frac{\varepsilon}{2}</math>.
+**נותר להוכיח שעבור <math>s_1,s_2</math> מספיק קרובים מתקיים כי <math>\frac{1}{2\pi}\int_{-R}^{R}|f(x)(e^{-is_1x}-e^{-is_2x})|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>
+**נראה כי <math>|e^{ix}-e^{iy}|\leq |x-y|</math>.
+***<math>|e^{ix}-e^{iy}|</math> הוא המרחק בין שתי נקודות על מעגל היחידה.
+***<math>|x-y|</math> הוא הזווית בינהן, כלומר אורך הקשת בינהן.
+***אורך הקשת בוודאי גדול או שווה למרחק הישר בין שתי הנקודות.
+**לכן <math>|e^{-is_1x}-e^{-is_2x}|\leq |x||s_1-s_2|</math>
+**כיוון ש<math>|x|\leq R</math> והפונקציה <math>f</math> חסומה בתחום זה, עבור <math>|s_1-s_2|</math> מספיק קטן נקבל את הדרוש.
+*רשימת תכונות נוספות של ההתמרה:
+*<math>\mathcal{F}[f+a\cdot g] = \mathcal{F}[f]+a\mathcal{F}[g]</math>
+*<math>\mathcal{F}[f](-s) = \overline{\mathcal{F}[f](s)}</math>
+*אם <math>f</math> ממשית וזוגית, גם <math>\mathcal{F}[f](s)</math> ממשית וזוגית.
+*הזזה במרחב הזמן:
+*אם <math>g(x)=f(ax+b)</math>, אזי <math>\mathcal{F}(g)(s) = \frac{1}{|a|}e^{\frac{isb}{a}}\mathcal{F}[f](\frac{s}{a})</math>
+*אם <math>a=1</math> אז נקבל שהזזה במרחב הזמן שקולה לסיבוב במרחב התדר (כפל ב<math>e^{isb}</math> משנה את הזוית).
+*הזזה במרחב התדר:
+*<math>\mathcal{F}[e^{ibx}f(x)](s) = \mathcal{F}[f](s-b)</math>
+*באופן דומה, קיבלנו שסיבוב בזמן שקול להזזה בתדר.
+*התמרת הנגזרת:
+*נניח <math>f,f'\in G</math> ונניח כי <math>f'</math> רציפה ומתקיים כי <math>\lim_{x\to \pm\infty}f(x)=0</math>, אזי:
+*<math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>
+**הוכחה:
+**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f'(x)e^{-isx}dx</math>
+**נבצע אינטגרציה בחלקים ונקבל כי
+**<math>\mathcal{F}[f'](s) = \frac{1}{2\pi}(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty} + \frac{is}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx</math>.
+**כיוון ש<math>e^{-isx}</math> חסומה, יחד עם הנתון נובע כי <math>(fe^{-isx})_{-\infty}^{\infty}=0</math>.
+**לכן סה"כ קיבלנו כי <math>\mathcal{F}[f'](s)=is\mathcal{F}[f](s)</math>
+*נגזרת ההתמרה:
+*תהי <math>f\in G</math> רציפה כך ש<math>xf(x)\in G</math> אזי:
+*<math>\mathcal{F}[xf(x)](s)=i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s)</math>
+**הוכחה:
+**<math>i\frac{d}{ds}\mathcal{F}[f](s) = i \frac{d}{ds} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \frac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\frac{d}{ds}e^{-isx}dx = \frac{-i^2}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)e^{-isx} = \mathcal{F}[xf(x)](s)</math>
+**אנחנו צריכים להצדיק את ההכנסה של הנגזרת אל תוך האינטגרל:
+***נסמן <math>F_n(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-n}^{n} f(x)e^{-isx}dx</math>
+***ברור ש<math>F_n(s)\to F(s)</math>, נוכיח שסדרת הנגזרות מתכנסת במ"ש ולכן מתכנסת לנגזרת של <math>F(s)</math>.
+***עבור אינטגרל סופי מותר להחליף את סדר הנגזרת והאינטגרל בזכות פוביני.
+***אכן <math>F_n'(s)</math> מתכנסות במ"ש כיוון שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^\infty |xf(x)|dx</math> מתכנס, והרי <math>|xf(x)e^{-isx}|=|xf(x)|</math> ואכן אינו תלוי בs.
+====דוגמאות====
+*ראינו כי <math>\mathcal{F}[e^{-|x|}](s) = \frac{1}{\pi(1+s^2)}</math>
+*לכן על ידי הזזה בזמן נקבל כי:
+**<math>\mathcal{F}[e^{-|1-2x|}](s) = \frac{e^{\frac{-is}{2}}}{2\pi (1+(-\frac{s}{2})^2)}</math>
+*נסמן <math>F(s)=\mathcal{F}[e^{-x^2}]</math>.
+*כעת <math>\mathcal{F}[xe^{-x^2}] = iF'</math> לפי הנוסחא של נגזרת ההתמרה.
+*מצד שני, <math>\mathcal{F}[-2xe^{-x^2}] = isF</math> לפי הנוסחא של התמרת הנגזרת.
+*ביחד נקבל כי <math>isF = -2iF'</math>, ולכן <math>sF=-2F'</math>.
+*נפתור את המד"ר:
+**נכפול בגורם אינטגרציה <math>\frac{1}{2}e^{\frac{s^2}{4}}</math> ונקבל <math>(e^{\frac{s^2}{4}}F)'=0</math>
+**לכן <math>F=Ce^{-\frac{s^2}{4}}</math>
+**נציב <math>s=0</math>
+**<math>2\pi C=F(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx </math>, נחשב אינטגרל מפורסם זה בהמשך.
+==הרצאה 8 - התמרה הפוכה==
+*בטורי פורייה, מקדמי הפורייה היו האמפליטודות של התדרים, וכאשר סכמנו את הגלים קיבלנו חזרה את הפונקציה לפי משפט דיריכלה.
+*כעת התדרים שלנו הם כל הממשיים, ולכן הסכימה שלהם היא בעצם אינטגרל.
+*האמפליטודה של כל תדר מרוכב <math>e^{isx}</math> היא התמרת הפורייה <math>F(s)</math>, ולכן אנחנו מצפים לקבל:
+**<math>f(x)=\int_{-\infty}^\infty F(s)e^{isx}ds=\mathcal{F}^{-1}[F](x)</math>
+*משפט ההתמרה ההפוכה:
+**תהי <math>f\in G</math>, אזי בכל נקודה בה קיימות הנגזרות החד צדדיות מתקיים כי:
+**<math>\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}=\lim_{n\to\infty}\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>
+**שימו לב שהאינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math> לא חייב להתכנס, אבל אם הוא מתכנס הוא שווה לגבול לעיל.
+===דוגמא===
+*ראינו ש<math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = Ce^{-\frac{s^2}{4}} =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-isx}dx</math>
+*כיוון ש<math>e^{-x^2}</math> רציפה וגזירה, וכיוון ש <math>e^{-\frac{s^2}{4}}\in G</math> לפי משפט ההתמרה ההפוכה נקבל כי:
+**<math>\mathcal{F}^{-1}[Ce^{-\frac{s^2}{4}}](x) = e^{-x^2}</math>
+*כלומר <math>e^{-x^2}=\int_{-\infty}^\infty Ce^{-\frac{s^2}{4}}e^{isx}ds </math>
+*נציב <math>t=\frac{s}{2}</math> ונקבל:
+**<math>e^{-x^2} = 2C\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}e^{-i(-2x)t}dt = 2C\cdot 2\pi Ce^{-\frac{(-2x)^2}{4}}</math>
+*ולכן <math>4C^2\pi = 1</math>, ומכאן <math>C=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}</math>
+*נזכור בנוסף שראינו כי <math>2\pi C = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx</math>.
+*לכן נובע כי <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>
+===דוגמא===
+*נביט ב<math>f(x)=\begin{cases}1 & |x|<1 \\ 0 & |x|>1\end{cases}</math>
+*<math>\mathcal{F}[f](s) = \frac{sin(s)}{\pi s}</math>
+*<math>\lim \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} \frac{sin(s)}{\pi s}e^{is}ds = \frac{1}{2}</math> (הצבנו x=1, הנקודה בה f אינה רציפה).
+===הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===
+*כעת נוכיח מספר טענות הדרושות לנו לצורך הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה.
+====למת רימן-לבג====
+*ראינו גרסא של למת רימן-לבג עבור טורי פוריה, לפי מקדמי הפורייה שואפים לאפס.
+*כעת ננסח ונוכיח גרסא עבור התמרות פורייה:
+*תהי <math>f\in G</math>, אזי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\mathcal{F}[f](s)=0</math>
+*(כלומר, האמפליטודות שואפות לאפס כאשר התדר שואף לאינסוף)
+*נוכיח את הלמה:
+*צ"ל כי<math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-isx}dx =0</math>
+*נשים לב כי <math>e^{-isx}=\cos(sx)-i\sin(sx)</math>.
+*לכן מספיק לנו להוכיח כי <math>\lim_{s\to\pm\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\cos(sx)dx =0</math> (ההוכחה עבור סינוס דומה).
+*כיוון ש<math>f\in G</math> האינטגרל <math>\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math> מתכנס.
+*לכן קיים <math>M</math> עבורו <math>\int_{|x|>M}|f(x)|dx<\frac{\varepsilon}{2}</math>.
+*לכן <math>|\int_{|x|>M}f(x)\cos(sx)dx|\leq \int_{|x|>M}|f(x)|dx < \frac{\varepsilon}{2}</math>
+*לכן מספיק לנו להוכיח כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx| < \frac{\varepsilon}{2}</math>
+*(עבור <math>M=\pi</math> ו<math>s\in\mathbb{N}</math> כבר הוכחנו טענה זו בעזרת פרסבל, כעת נשתמש בשיטות אחרות.)
+*נשים לב כי בכל קטע מתקיים:
+**<math>\lim_{s\to\pm\infty}\int_{x_1}^{x_2}\cos(sx)dx = \lim_{s\to\pm\infty}\frac{\sin(sx_2)-\sin(sx_1)}{s}=0</math>
+*כיוון ש<math>f</math> רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית ב<math>[-M,M]</math>.
+*לכן ניתן לבחור פונקצית מדרגות <math>h</math> עבורה מתקיים <math>\int_{-M}^M |f-h|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math> (האינטגרל על פונקצית המדרגות הינו סכום דרבו תחתון מספיק קרוב).
+*כמו כן מתקיים:
+**<math>\int_{-M}^Mh\cos(sx)dx = \sum \int_{x_{i-1}}^{x_i}m_i\cos(sx)dx</math>
+**כיוון שמדובר בסכום סופי של ביטויים ששואפים לאפס, הסכום גם שואף לאפס.
+*סה"כ <math>\int_{-M}^{M}f(x)\cos(sx)dx = \int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx + \int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx</math>
+**מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}(f(x)-h(x))\cos(sx)dx|\leq \int_{-M}^{M}|f(x)-h(x)|dx < \frac{\varepsilon}{4}</math>
+**עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים כי <math>|\int_{-M}^{M}h(x)\cos(sx)dx|< \frac{\varepsilon}{4}</math>
+*סה"כ קיבלנו כי עבור <math>|s|</math> מספיק גדול מתקיים <math>|\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\cos(sx)sx|<\varepsilon</math>
+====טענת עזר====
+*תהי <math>f\in G</math> ותהי x נק' בה הנגזרות החד צדדיות קיימות, אזי:
+:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_0^{\infty} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
+:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{0} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^-)}{2}</math>
+*נוכיח את הטענה הראשונה, הטענה השנייה דומה.
+*נגדיר את הפונקציה <math>g(t)=\begin{cases}\frac{f(x+t)}{t}& x\in [\pi,\infty)\\ 0 & x\in (-\infty,\pi)\end{cases}</math>
+*כיוון ש<math>f\in G</math> נובע שגם <math>g\in G</math> הרי <math>\left|\frac{f(x+t)}{t}\right|\leq |f(x+t)|</math> עבור <math>t>\pi</math>.
+*לכן לפי למת רימן-לבג נובע כי <math>\lim_{s\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin(st)dt = 0</math>
+*בפרט מתקיים גבול הסדרה:
+**<math>\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt =0</math>
+*אבל <math>\int_{-\infty}^{\infty}g(t)\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt = \int_\pi^\infty \frac{f(x+t)}{t}\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)dt</math>
+*לכן נותר להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)}{2}</math>
+*נגדיר את הפונקציה <math>h(t)=f(x+t)\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math>.
+**אם נתקן את אי הרציפות הסליקה של <math>\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{t}</math> נקבל טור טיילור שגזיר אינסוף פעמים.
+**לכן הפוקנציה <math>h</math> רציפה למקוטעין ובעלת נגזרות חד צדדיות קיימות.
+*כעת נשים לב כי:
+**<math>\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} f(x+t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)\frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin(\frac{t}{2})}dt
+= \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} h(t)D_n(t)dt</math>
+**לפי ההוכחה של משפט דיריכלה להתכנסות טורי פורייה, הגבול של הביטוי הזה שווה ל<math>\frac{h(0^+)}{2} = \frac{f(x^+)}{2}</math>.
+=====דוגמא=====
+*טענה:
+:<math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \frac{\pi}{2}</math>
+*הוכחה:
+**ראשית, אנו יודעים כי האינטגרל מתכנס לפי מבחן דיריכלה לאינטגרלים לא אמיתיים.
+**לכן מתקיים כי <math>\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx =\lim_{n\to\infty} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx</math>
+**נבצע הצבה <math>t=\frac{x}{n+\frac{1}{2}}</math> ונקבל כי:
+***<math>\int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi}\frac{\sin(x)}{x}dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt</math>
+**עבור <math>f(x)=1</math>, לפי הוכחת טענת העזר נקבל כי הגבול הוא <math>\frac{\pi}{2}</math>
+===הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה===
+*<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-isy}dy\right]e^{isx}ds=</math>
+*<math>=\frac{1}{2\pi} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds</math>
+*נחליף את סדר האינטגרציה (הצדקה בהמשך), ונקבל:
+*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy =</math>
+*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \left[\frac{e^{is(x-y)}}{i(x-y)}\right]_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} dy =</math>
+*<math>\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y) \frac{2\sin\left((n+\frac{1}{2})(x-y)\right)}{(x-y)} dy</math>
+*נציב <math>t=y-x</math> ונקבל:
+*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x+t) \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{t}dt = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}</math>
+כאשר המעבר האחרון הוא בזכות טענת העזר לעיל.
+====הצדקת החלפת סדר האינטגרציה====
+*נביט בסדרה <math>u_k(s)=\int_{-k}^k f(y)e^{is(x-y)}dy</math>, שמתכנסת כמובן ל<math>\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy</math>
+*מתקיים כי <math>|\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dy - u_k(s)| \leq \int_{|y|>k} |f(y)e^{is(x-y)}|dy = \int_{|y|>k} |f(y)|dy\to 0</math>
+**(נתון כי <math>f\in G</math>)
+*לכן הסדרה מתכנסת במ"ש ומותר לבצע אינטגרציה איבר איבר:
+**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}} u_k(s)ds</math>
+**לפי פוביני מותר לנו להחליף את סדר האינטגרציה ונקבל כי
+**<math>\int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{is(x-y)}dyds = \lim_{k\to\infty} \int_{-k}^k \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy = \int_{-\infty}^\infty \int_{-(n+\frac{1}{2})}^{n+\frac{1}{2}}f(y)e^{is(x-y)}dsdy</math>
+**שימו לב שהאינטגרל הלא אמיתי אכן מתכנס (כפי שהוכחנו לעיל) ולכן שווה לגבול.
+==הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי==
+*תהיינה <math>f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> פונקציות, נגדיר את ה'''קונבולוציה''' ביניהן להיות:
+**<math>f*g(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy</math>.
+*מוטיבציה לדוגמא:
+**אם <math>f,g</math> הן פונקציות צפיפות של משתנים מקריים, מהי פונקציית הצפיפות של סכום המשתנים?
+**הסיכוי שסכום המשתנים יהיה x, הוא סכום מכפלות הסיכויים שמשתנה אחד יהיה שווה y והשני יהיה שווה x-y.
+*הקונבולוציה היא אבלית:
+**<math>g*f = \int_{-\infty}^\infty g(x-y)f(y)dy = \{t=x-y,dt=-dy\} = \int_{-\infty}^\infty g(t)f(x-t)dt = f*g</math>
+*שימו לב: בנושא זה נבצע החלפת סדר אינטגרציה, אך לא נצדיק החלפה זו כיוון שהיא דורשת העמקה רבה.
+*ניתן להעמיק ע"י קריאה בספר Fourier Analysis של T.W.Korner
+*משפט הקונבולוציה:
+*תהיינה <math>f,g\in G</math> רציפות וחסומות אזי <math>\mathcal{F}[f*g] = 2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>
+*הסבר המשפט (לא הוכחה מלאה, כיוון שאנו מחליפים סדר אינטגרציה ללא הצדקה):
+:<math>\mathcal{F}[f*g] = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)dy\right]e^{-isx}dx = </math>
+:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dydx =</math>
+:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}g(y)e^{-isy}dxdy =</math>
+:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(x-y)e^{-is(x-y)}dx\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>
+:<math>= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \left[\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right] g(y)e^{-isy}dy =</math>
+:<math>= 2\pi\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-ist}dt\right) \cdot \left( \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty g(y)e^{-isy}dy\right) =2\pi \cdot \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[g]</math>
+===משוואת החום על מוט אינסופי===
+*אם פונקצית החום על מוט אינסופי היא <math>u(x,t)</math>, היא מקיימת את המשוואה <math>u_t-ku_{xx}=0</math>.
+*נניח גם כי תנאי ההתחלה הם <math>u(x,0)=f(x)</math> (זה החום בכל נקודה במוט בזמן 0).
+*נבצע התמרת פורייה של הפתרון לפי המשתנה x:
+:<math>U(s,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-isx}dx</math>
+*נגזור לפי המשתנה t:
+:<math>U_t(s,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_t(x,t)e^{-isx}dx</math>
+*(נניח כי הפתרון מקיים את התנאים שמאפשרים להחליף את סדר הגזירה והאינטגרציה, לא נרחיב על כך בהמשך)
+*כיוון ש<math>u_t-ku_{xx}=0</math> נקבל כי:
+:<math>U_t(s,t) = \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u_{xx}(x,t)e^{-isx}dx</math>
+*נזכר בנוסחאת התמרת הנגזרת <math>\mathcal{F}[f']=is\mathcal{F}[f]</math>
+*ולכן נקבל כי:
+:<math>U_t(s,t) = -s^2 \frac{k}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty u(x,t)e^{-isx}dx = -ks^2 U(s,t)</math>
+*זו מד"ר פשוטה שפתרונה הוא:
+:<math>U(s,t) = A(s)e^{-ks^2 t}</math>
+*נציב את תנאי ההתחלה <math>t=0</math> ונקבל כי
+:<math>A(s) = U(s,0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} u(x,0)e^{-isx}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-isx}dx = \mathcal{F}[f]</math>
+*לכן בעצם מתקיים כי <math>U(s,t)= F(s)e^{-ks^2 t}</math>
+*קיבלנו שההתמרה של הפתרון היא מכפלה של שתי התמרות, ולכן הפתרון הוא הקונבולוציה של שתי הפונקציות המקוריות.
+*נחפש את ההתמרה ההפוכה של <math>e^{-ks^2 t}</math>
+*נזכור כי <math>\mathcal{F}[e^{-x^2}] = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{s^2}{4}}</math>
+:<math>\mathcal{F}^{-1}[e^{-ks^2 t}]=\int_{-\infty}^\infty e^{-ks^2 t}e^{isx}ds = \{s=\frac{u}{2\sqrt{kt}}\}=</math>
+:<math>=\frac{1}{2\sqrt{kt}}\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{u^2}{4}}e^{iu(\frac{x}{2\sqrt{kt}})}du = \frac{2\sqrt{\pi}}{2\sqrt{kt}} \mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{u^2}{4}}](\frac{x}{2\sqrt{kt}}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>
+*נסמן פונקציה זו ב<math>p(x,t)=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{kt}}e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>
+*לכן עבור פתרון מד"ח החום u מתקיים כי:
+:<math>\mathcal{F}[u] = \mathcal{F}[f]\cdot \mathcal{F}[p]</math>
+*ולכן לפי משפט הקונבולוציה מתקיים כי
+:<math> u(x,t) = \frac{1}{2\pi} f*p(x,t)</math>
+*שימו לב שהקונבולוציה היא לפי המשתנה x.
+*לכן
+:<math>u(x,t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(y)p(x-y,t)dy = \frac{1}{2\sqrt{\pi kt}}\int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-\frac{(x-y)^2}{4kt}}dy</math>
+*שימו לב שבפתרון הסופי מופיעה פונקצית תנאי ההתחלה, ואין צורך לחשב את ההתמרה שלה.
+==הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון==
+===משפט הדגימה של שנון===
+*תהי פונקציה f. ברור שבהנתן הערכים של f על השלמים <math>f(0),f(\pm 1),f(\pm 2),...</math> לא ניתן להסיק כלום על ערכיה האחרים (אפילו אם היא רציפה וגזירה).
+*בפרט אם נדגום באופן דומה את הפונקציה <math>sin(x)</math> בנקודות <math>2\pi n</math> אנחנו עשויים לחשוד שהיא קבועה לחלוטין.
+*מה יקרה אם נדגום גל בקצב מהיר יותר מהתדר שלו?
+*במילים פשוטות, משפט הדגימה של שנון אומר שבהנתן פונקציה שהתדרים שלה חסומים, אם נדגום אותה בקצב מהיר פי 2 מהתדר המקסימלי שלה, נוכל לשחזר אותה לחלוטין.
+*כעת ננסח את המשפט במדויק, יחד עם ניסוח התנאים הנחוצים על הפונקציות.
+*עד כה דיברנו על תדר כמדד לקצב בו הפונקציה חוזרת על עצמה, כעת נגדיר אותו במדויק:
+*בהנתן פונקציה עם מחזור <math>t</math> נגדיר את התדר של המחזור להיות <math>\frac{1}{t}</math>.
+*דוגמאות:
+**התדר של <math>\sin(x)</math> הוא <math>\frac{1}{2\pi}</math>
+**התדר של <math>\sin(\pi x)</math> הוא <math>\frac{1}{2}</math>
+**באופן כללי, התדר של <math>sin(\pi t x)</math> הוא <math>\frac{t}{2}</math> כיוון ש <math>\sin(\pi t(x+\frac{2}{t})) = \sin(\pi t x)</math>
+**התדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> כיוון ש <math>e^{is(x+\frac{2\pi}{|s|})} = e^{isx\pm i2\pi} =e^{isx}</math>
+*משפט הדגימה של שנון:
+*תהי <math>f\in G</math> רציפה ובעלת נגזרת חד צדדיות הקיימות בכל נקודה, שתדריה חסומים על ידי <math>t</math>, אזי בהנתן דגימה שלה בתדר <math>2t</math> ניתן לשחזר אותה בכל הממשיים (כלומר היא נקבעת באופן יחיד על ידי הדגימות).
+*שימו לב: הכוונה בכך שתדריה של הפונקציה חסומים, היא למעשה ש<math>\mathcal{F}[f](s)=0</math> לכל <math>\frac{|s|}{2\pi}>t</math>.
+====הוכחת משפט הדגימה====
+*כיוון שהתמרת הפורייה מתאפסת מחוץ לקטע <math>[-2\pi t,2\pi t]</math>, ניתן לקבוע כי
+:<math>\int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>
+*ובפרט האינטגרל מתכנס.
+*לפי משפט ההתמרה ההפוכה, נובע כי <math>f(x)= \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{isx}ds</math>
+*כעת, נתונה לנו סדרת הדגימות בתדר <math>2t</math>:
+:<math>c_n = f\left(\frac{n}{2t}\right), n\in\mathbb{Z}</math>
+*נציב אותן בנוסחא שמצאנו לעיל:
+:<math>c_n = \int_{-2\pi t}^{2\pi t}\mathcal{F}[f](s)e^{is\left(\frac{n}{2t}\right)}ds</math>
+*נבצע הצבה <math>\frac{s}{2t}=-x</math> ונקבל:
+:<math>c_n = \int_{-\pi}^\pi \mathcal{F}[f](-2tx)e^{-inx}dx</math>
+*אבל אלה בדיוק מקדמי פוריה (פרט לקבוע <math>\frac{1}{2\pi}</math>) של הפונקציה <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math>.
+*כיוון שההתמרה חסומה בתדר, עבור <math>|x|\geq \pi</math> מתקיים כי <math>\mathcal{F}[f](-2tx)=0</math> (זכרו כי ההתמרה רציפה, ולכן מתאפסת גם בקצוות).
+*לכן <math>\mathcal{F}[f](-2tx)</math> נקבעת על ידי ערכיה בקטע <math>(-\pi,\pi)</math>, והם נקבעים באופן יחיד על ידי מקדמי הפורייה (מסקנה מפרסבל).
+*לבסוף, כפי שראינו לעיל, הפונקציה f נקבעת באופן יחיד על ידי ההתמרה (בזכות משפט ההתמרה ההפוכה).
+====הערות====
+*שימו לב שלא ניתן באופן פרקטי לדגום אות אנלוגי באינסוף נקודות.
+*מה יקרה אם נדגום במספר סופי של נקודות ונניח כי הפונקציה ממשיכה באופן מחזורי?
+*נקבל פונקציה שאינה שייכת ל<math>G</math>, כיוון שהאינטגרל שלה לא יכול להתכנס בכל הממשיים.
+*בהמשך, נראה אנלוגיה למשפט הדגימה של שנון בהתמרת פורייה הבדידה.
+==הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה==
+===DFT - Discrete Fourier transform===
+*תהי סדרת נקודות <math>a_0,...,a_{N-1} \in \mathbb{C}</math>, התמרת הפורייה הבדידה שלה היא סדרת הנקודות <math>A_0,...,A_{N-1}\in\mathbb{C}</math> המוגדרת ע"י:
+:<math>A_n = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n\frac{k}{N}} </math>
+*שימו לב שכמות הפעולות הנדרשות לחישוב ההתמרה באופן ישיר היא סדר גודל של <math>N^2</math>.
+*התמרת פורייה המהירה (FFT) מבצעת את אותו חישוב בכמות פעולות בסדר גודל של <math>N\log(N)</math>.
+====משמעות ההתמרה====
+*תהי פונקציה f. נדגום ממנה <math>N</math> נקודות בתדר <math>t</math>, כלומר נתון לנו:
+:<math>f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})</math>
+*נסמן נקודות אלה ב<math>a_k=f(\frac{k}{t})</math>
+*אנו רוצים לפרק אותה לסכום של גלים:
+:<math>f(x)=B_0e^{2\pi i \cdot 0\cdot\frac{t}{N}x}+ B_1e^{2\pi i \cdot 1\cdot\frac{t}{N}x}+B_2e^{2\pi i \cdot 2\cdot\frac{t}{N}x}+...+B_{N-1}e^{2\pi i \cdot (N-1)\cdot\frac{t}{N}x}</math>
+*כיוון שהתדר של <math>e^{isx}</math> הוא <math>\frac{|s|}{2\pi}</math> נובע כי הגלים הללו הם בתדרים <math>0,\frac{t}{N},\frac{2t}{N},...,\frac{(N-1)t}{N}</math>
+*שימו לב - ככל שנדגום יותר נקודות נקבל יותר מגוון של תדרים. מצד שני, נביט בחלון זמן יותר ארוך ונפספס שינויי תדרים מהירים יותר.
+*נוכיח שפירוק זה תמיד אפשרי כך שיהיה שיוויון בכל נקודות הדגימה, ונקשר בין סדרת המקדמים להתמרת הפורייה של נקודות הדגימה.
+*נביט בפונקצית הגל <math>u_n(x)=e^{2\pi i n\frac{t}{N}x}</math>.
+*נציב בה את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
+:<math>v_n= \left(u_n(0),u_n(\frac{1}{t}),...,u_n(\frac{N-1}{t})\right) = \left( 1,e^{2\pi i n \frac{1}{N}},e^{2\pi i n \frac{2}{N}},...,e^{2\pi i n \frac{N-1}{N}} \right)</math>
+*נציב בפונקציה הנתונה f את נקודות הדגימה ונקבל את הוקטור המרוכב:
+:<math>v=\left(f(0),f(\frac{1}{t}),f(\frac{2}{t}),...,f(\frac{N-1}{t})\right) = (a_0,...,a_{N-1})</math>
+*לכן אנו מעוניינים בפתרון למשוואה:
+:<math>v=B_0v_0+...+B_{N-1}v_{N-1}</math>
+*זה בדיוק אומר שהפירוק של הפונקציה לגלים מתקיים בכל נקודות הדגימה:
+:<math>f(\frac{k}{t}) = B_0u_0(\frac{k}{t})+...+B_{N-1}u_{N-1}(\frac{k}{t})</math>
+*נבחן את הקבוצה <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math>.
+:<math>\langle v_n,v_n\rangle = v_n^t \overline{v_n} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i n \frac{k}{N}}= 1+1+...+1= N</math>
+*עבור <math>n\neq m</math>:
+:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i n \frac{k}{N}}\cdot e^{-2\pi i m \frac{k}{N}} = \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i (n-m) \frac{k}{N}}</math>
+*אבל זה בדיוק סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{N-1}</math> עבור <math>q=e^{2\pi i (n-m)\frac{1}{N}}</math>
+*שימו לב ש<math>\frac{|n-m|}{N}<1</math> ולכן <math>q\neq 1</math>.
+*כמו כן, שימו לב ש<math>q^N = e^{2\pi i (n-m)}=1</math>
+*לכן לפי הנוסחא לסכום סדרה הנדסית נקבל כי:
+:<math>\langle v_n,v_m\rangle = \frac{1-q^N}{1-q}=0</math>
+*כלומר גילינו כי <math>\{v_0,...,v_{N-1}\}</math> קבוצה אורתוגונלית (לא אורתונורמלית) ומהווה בסיס.
+*לכן ניתן בקלות לחשב את המקדמים <math>B_n = \frac{\langle v,v_n\rangle}{N}</math>
+*לבסוף, נשים לב כי:
+:<math>\langle v,v_n\rangle = \sum_{k=0}^{N-1} a_k e^{-2\pi i n \frac{k}{N}} = A_n</math>
+*כלומר <math>B_n = \frac{A_n}{N}</math>
+====התמרת פורייה הבדידה ההפוכה====
+*מכאן גם ניתן להסיק ישירות את התמרת פורייה ההפוכה, שמחזירה את סדרת המקדמים <math>A_n</math> לסדרת הדגימות <math>a_n</math>.
+:<math>v=\frac{1}{N}(A_0v_0+...+A_{N-1}v_{N-1})</math>
+*ולכן:
+:<math>a_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} A_k e^{2\pi i k \frac{n}{N}}</math>
+====מסקנות לגבי גלים ממשיים====
+*פירקנו את הפונקציה לסכום של גלים מרוכבים בנקודות הדגימה, האם ניתן להשתמש בהתמרה על מנת לקבל פירוק לגלים ממשיים?
+*ראשית, נשים לב לתופעה הבאה:
+:<math>v_{N-n} = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N}},...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N}}) = (1,e^{2\pi i (N-n) \frac{1}{N} - 2\pi i },...,e^{2\pi i (N-n) \frac{N-1}{N} - 2\pi i (N-1)})</math>
+*(השיוויון נכון בזכות המחזוריות)
+*ולכן נקבל:
+:<math>v_{N-n} = (1, e^{2\pi i (\frac{(N-n)}{N} - 1)},...,e^{2\pi i (N-1)(\frac{(N-n)}{N} - 1)}) = v_{-n}</math>
+*כלומר פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,...,u_{N-1}</math> נותן את אותם המקדמים כמו פירוק הפונקציה לגלים <math>u_0,u_1,u_{-1},...</math>.
+*כאשר המקדם של <math>u_{-n}</math> שווה למקדם של <math>u_{N-n}</math>.
+*שימו לב שזה לא פירוק של הפונקציה לסכום הגלים בכל הממשיים, אלא רק בנקודות הדגימה.
+*לדוגמא:
+*נניח שיש לנו 5 דגימות של f.
+*אם נפרק את f לגלים <math>u_0,u_1,...,u_5</math> נקבל <math>v=B_0v_0+...+B_4v_4</math>
+*אם נפרק את f לגלים <math>u_{-2},u_{-1},u_0,u_1,u_2</math> נקבל <math>v=B_3v_{-2},B_4v_{-1}+B_0v_0+B_1v_1+B_2v_2</math>
+*במצב זה, אם דגמנו בתדר <math>t</math> נקבל את התדרים <math>0,\frac{t}{5},\frac{2t}{5}</math> שזה מתאים למשפט הדגימה של שנון (טווח התדרים של הפונקציה הוא עד חצי מתדר הדגימה).
+*עבור n ספציפי מתקיים כי:
+:<math>B_ne^{2\pi i n \frac{t}{N}x} + B_{N-n}e^{-2\pi i n \frac{t}{N}x} = (B_n+B_{N-n}) \cos (2\pi n \frac{t}{N}x) + i(B_n-B_{N-n})sin(2\pi n \frac{t}{N}x)</math>
+*מהצבה ישירה של הנוסחאות שמצאנו ניתן לראות שאם f ממשית אזי <math>B_n+B_{N-n}</math> וגם <math>i(B_n-B_{N-n})</math> הם ממשיים.
+*כלומר הצלחנו לפרק את f לסכום של גלים ממשיים עם מקדמים ממשיים.
+*הערה: אם N זוגי, אז הגל <math>u_{\frac{N}{2}}</math> נותר בודד.
+*לדוגמא עבור <math>N=4</math> נקבל במקום הגלים <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> את <math>u_{-1},u_0,u_1,u_2</math>
+*נשים לב כי במקרה זה <math>v_{\frac{N}{2}}</math> הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה - ארז שיינר"

גרסה אחרונה מ־08:15, 16 במאי 2022

תוכן עניינים

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה

הקדמה - גלים

טורי פורייה ומקדמי פוריה

חישובים להקדמה

מקדמי הטור

דוגמא

הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה

מרחבי מכפלה פנימית שאינם ממימד סופי והיטלים

אי שיוויון בסל

למת רימן לבג

גרעין דיריכלה

הסכומים החלקיים של טור פוריה

הרצאה 3 התכנסות נקודתית של טורי פוריה

סימונים והגדרות

משפט דיריכלה - התכנסות נקודתית של טור פוריה

הוכחה

דוגמאות

דוגמא 1

דוגמא 2

דוגמא 3

טור הנגזרת

שימוש בנוסחאת ניוטון לייבניץ לחישוב האינטגרל המסויים

חישוב מקדמי טור הפורייה של הנגזרת

דוגמאות

דוגמא 1

דוגמא 2

הרצאה 4 - התכנסות במ"ש ושיוויון פרסבל

תנאי להתכנסות במ"ש של טור פורייה

שיוויון פרסבל

הוכחת שיוויון פרסבל כאשר טור הפורייה מתכנס במ"ש

דוגמא

הוכחת שיוויון פרסבל במקרה הכללי

בניית סדרת הפונקציות

יחידות טור פורייה

הם ישנן שתי פונקציות שונות בעלות אותו טור פורייה?

האם תתכן פונקציה אחת, בעלת שני טורים טריגונומטריים?

הרצאה 5 - תופעת גיבס, טורי הסינוסים והקוסינוסים

תופעת גיבס

טור הסינוסים וטור הקוסינוסים

דוגמאות

הרצאה 6 - משוואת החום על טבעת, התמרת פורייה

משוואת החום על טבעת

התמרת פורייה

טור פורייה המרוכב

הכללה לפונקציות שאינן מחזוריות

דוגמאות

הרצאה 7 - תכונות של התמרות פורייה

תכונות ההתמרה

דוגמאות

הרצאה 8 - התמרה הפוכה

דוגמא

דוגמא

הקדמה לקראת הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

למת רימן-לבג

טענת עזר

דוגמא

הוכחת משפט ההתמרה ההפוכה

הצדקת החלפת סדר האינטגרציה

הרצאה 9 - קונבולוציה, משוואת החום על מוט אינסופי

משוואת החום על מוט אינסופי

הרצאה 10 - משפט הדגימה של שנון

משפט הדגימה של שנון

הוכחת משפט הדגימה

הערות

הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה

DFT - Discrete Fourier transform

משמעות ההתמרה

התמרת פורייה הבדידה ההפוכה

מסקנות לגבי גלים ממשיים

תפריט הניווט

חיפוש