הבדלים בין גרסאות בדף "83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 7) |
(←הרצאה 7) |
||
שורה 86: | שורה 86: | ||
**<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>. | **<math>[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1</math>, כאשר <math>[a_n]</math> הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל<math>a_n</math>. | ||
**<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math> | **<math>\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}</math> | ||
− | **שני הצדדים הינם תתי סדרות של | + | **שני הצדדים הינם תתי סדרות של סדרה השואפת לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe. |
*אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math> | *אם <math>a_n\to -\infty</math> אזי <math>\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e</math> | ||
**ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e). | **ראשית <math>\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}</math> (הוכחה בקישור לערך על המספר e). |
גרסה מ־09:22, 5 בנובמבר 2018
תוכן עניינים
מבחנים מהעבר
- מבחן מועד א תשע"ו
- מבחן מועד ב תשע"ו
- מבחן מועד ג תשע"ו
- מבחן דמה תשע"ו
- מבחן לדוגמה תשע"ו
- מבחן דמה תשע"ז
- מבחן מועד א' תשע"ז
- מבחן מועד ב' תשע"ז
- מבחן מועד ג' תשע"ז
- מבחן דמה תשע"ח
- מבחן מועד א' תשע"ח
- מבחן מועד ב' תשע"ח
- מבחן מועד ג' תשע"ח
נושאי ההרצאות
שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.
הרצאה 1
- מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
- שורש 2, 0.999.
- חזקות.
- לוגריתמים.
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
הרצאה 2
- כמתים, שלילת כמתים.
- חסמים.
הרצאה 3
- ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
- הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
הרצאה 4
- גבול הוא יחיד.
- נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
- הסדרה הקבועה.
- כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
- אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה (תרגיל לבית).
הרצאה 5
- התכנסות במובן הרחב.
- אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
- סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
- חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
הרצאה 6
- אינדוקציה.
- ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם אזי
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
- מבחן המנה (ללא הוכחה).
- הגבול של השורש הn של n.
הרצאה 7
- סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
- המספר e.
- .
- אם אזי
- , כאשר הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל.
- שני הצדדים הינם תתי סדרות של סדרה השואפת לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
- אם אזי
- ראשית (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
- כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
- אם אזי
- .
- בין אם שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם , אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב ששווה אפס.
- דוגמא:
הרצאה 8
- פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.
הרצאה 9
- טריגו.
- הגבול של סינוס איקס חלקי איקס באפס (הערה לגבי הגבול באינסוף).
הרצאה 10
- גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
- רציפות.
- הרכבת רציפות.
- מיון אי רציפות.
הרצאה 11
- גזירות.
- הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות.
הרצאה 12
- נוסחאות הגזירה.
הרצאה 13
- פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.
הרצאה 14
- משפט ערך הביניים.
- תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).
- משפטי ויירשטראס.
הרצאה 15
- משפט פרמה.
- משפט רול.
- משפט לגראנז'.
- משפט לגראנז' המוכלל.
הרצאה 16
- כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
- כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.
הרצאה 17
- פולינום טיילור.
- שארית לגראנז' בפולינום טיילור.
הרצאה 18
- אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
- הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.
הרצאה 19
- אינטגרציה בחלקים.
- שיטת ההצבה.
הרצאה 20
- אינטגרל על פונקציה רציונאלית.
הרצאה 21
- סכומי רימן.
- אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.
הרצאה 22
- אינטגרלים לא אמיתיים.
- מבחני התכנסות.