הבדלים בין גרסאות בדף "83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 13) |
(←הרצאה 14) |
||
שורה 259: | שורה 259: | ||
==הרצאה 14== | ==הרצאה 14== | ||
*משפט ערך הביניים. | *משפט ערך הביניים. | ||
− | * | + | *לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית. |
*משפטי ויירשטראס. | *משפטי ויירשטראס. | ||
+ | |||
==הרצאה 15== | ==הרצאה 15== | ||
*משפט פרמה. | *משפט פרמה. |
גרסה מ־08:58, 2 בדצמבר 2018
תוכן עניינים
- 1 מבחנים מהעבר
- 2 נושאי ההרצאות
מבחנים מהעבר
- מבחן מועד א תשע"ו
- מבחן מועד ב תשע"ו
- מבחן מועד ג תשע"ו
- מבחן דמה תשע"ו
- מבחן לדוגמה תשע"ו
- מבחן דמה תשע"ז
- מבחן מועד א' תשע"ז
- מבחן מועד ב' תשע"ז
- מבחן מועד ג' תשע"ז
- מבחן דמה תשע"ח
- מבחן מועד א' תשע"ח
- מבחן מועד ב' תשע"ח
- מבחן מועד ג' תשע"ח
נושאי ההרצאות
שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.
הרצאה 1
- מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
- שורש 2, 0.999.
- חזקות.
- לוגריתמים.
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
הרצאה 2
- כמתים, שלילת כמתים.
- חסמים.
הרצאה 3
- ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
- הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
הרצאה 4
- גבול הוא יחיד.
- נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
- הסדרה הקבועה.
- כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
- אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה (תרגיל לבית).
הרצאה 5
- התכנסות במובן הרחב.
- אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
- סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
- חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
הרצאה 6
- אינדוקציה.
- ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם אזי
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
- מבחן המנה (ללא הוכחה).
- הגבול של השורש הn של n.
הרצאה 7
- סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
- המספר e.
- .
- אם אזי
- , כאשר הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל.
- שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
- אם אזי
- ראשית (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
- כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
- אם אזי
- .
- בין אם שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם , אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב ששווה אפס.
- דוגמא:
הרצאה 8
- פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.
הרצאה 9
- הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
-
- עבור זוית שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
-
- כיוון ש בתחום , נובע לפי סנדוויץ' ש.
- כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
- כעת בתחום הקוסינוס חיובית ולכן ונובע כי .
- נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
- לפי כלל הסנדביץ
- כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
- ראינו ש.
- שימו לב ש, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
הרצאה 10
- תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
- סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
- אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
- מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.
- גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
- מתקיים כי אבל .
- רציפות.
- טענה: אם f רציפה ב אזי לכל סדרה (גם אם אינה שונה מ) מתקיים כי .
- הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב ותהי g רציפה ב. אזי רציפה ב.
- הוכחה:
- תהי סדרה אזי
- לפי הטענה הקודמת, .
- מיון אי רציפות.
- רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
- סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
- קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
- עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
הרצאה 11
הגדרת הנגזרת
-
- הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
- נניח כי ונוכיח כי , והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
- תהי נגדיר את הסדרה .
- כיוון ש נובע כי .
- אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
- צ"ל
- לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל
- לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי
- פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
- וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
- ניתן לשים לב גם ש, וכמו כן נראה בהמשך כי אינה גזירה באפס.
הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות
- טריגו:
- באופן דומה
- לוג:
-
- המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
- (בפרט נובע כי .)
-
- בפרט נובע כי
-
- אקספוננט:
-
- בפרט נובע כי .
-
- חזקה:
- לכל , הוכחה בהמשך.
- בפרט:
- לכל , הוכחה בהמשך.
הרצאה 12
נגזרת של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות
תהיינה גזירות בנקודה x.
- שימו לב ש כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx.
נגזרת של הרכבה
תהי f גזירה ב ותהי g הגזירה ב:
- תהי סדרה .
- רוצים לומר ש.
- אמנם בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
- אם יש תת סדרה של עבורה אזי ולכן .
- לכן .
- כמו כן, .
- לכן בכל מקרה קיבלנו כי
- סה"כ .
נגזרת של חזקה
- עבור מתקיים
- דוגמא: חישוב הנגזרת של
נגזרת מנה
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש :
- נזכור כי
- אזי בנקודה x מתקיים:
הרצאה 13
- הגדרה:
- פונקציה f נקראית רציפה בקטע אם f רציפה בכל נקודה בקטע ובנוסף וגם
- פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
- פונקציה הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
- הפונקציה ההופכית היא ומתקיים כי אם"ם
- טענה: אם רציפה בקטע , אזי רציפה בקטע .
- הוכחה:
- תהי , צ"ל ש
- יהי גבול חלקי .
- אזי .
- מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים .
- לכן ולכן .
- טענה: תהי הפיכה גזירה בנק' כך ש .
- אזי גזירה בנק' ומתקיים כי
- או בנוסח אחר-
- הוכחה:
- תהי ונסמן .
- אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי
- דוגמא חשובה:
- הפיכה וההופכית שלה נקראית .
הרצאה 14
- משפט ערך הביניים.
- לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.
- משפטי ויירשטראס.
הרצאה 15
- משפט פרמה.
- משפט רול.
- משפט לגראנז'.
- משפט לגראנז' המוכלל.
הרצאה 16
- כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
- כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.
הרצאה 17
- פולינום טיילור.
- שארית לגראנז' בפולינום טיילור.
הרצאה 18
- אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
- הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.
הרצאה 19
- אינטגרציה בחלקים.
- שיטת ההצבה.
הרצאה 20
- אינטגרל על פונקציה רציונאלית.
הרצאה 21
- סכומי רימן.
- אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.
הרצאה 22
- אינטגרלים לא אמיתיים.
- מבחני התכנסות.