הבדלים בין גרסאות בדף "83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס"
מתוך Math-Wiki
(←הרצאה 12) |
(←הרצאה 12) |
||
שורה 191: | שורה 191: | ||
==הרצאה 12== | ==הרצאה 12== | ||
+ | ===נגזרת של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות=== | ||
תהיינה <math>f,g</math> גזירות בנקודה x. | תהיינה <math>f,g</math> גזירות בנקודה x. | ||
*<math>(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}= cf'(x)</math> | *<math>(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}= cf'(x)</math> | ||
שורה 196: | שורה 197: | ||
*<math>(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =</math> | *<math>(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =</math> | ||
:<math>=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) </math> | :<math>=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x) </math> | ||
− | + | *שימו לב ש<math>g(x+h)\to g(x)</math> כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx. | |
+ | ===נגזרת של הרכבה=== | ||
תהי f גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g הגזירה ב<math>f(x_0)</math>: | תהי f גזירה ב<math>x_0</math> ותהי g הגזירה ב<math>f(x_0)</math>: | ||
*<math>(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}</math> | *<math>(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}</math> | ||
שורה 209: | שורה 211: | ||
*לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math> | *לכן בכל מקרה קיבלנו כי <math>\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math> | ||
*סה"כ <math>(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>. | *סה"כ <math>(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===נגזרת של חזקה=== | ||
+ | *עבור <math>x>0</math> מתקיים <math>(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}</math> | ||
+ | *דוגמא: חישוב הנגזרת של <math>x^x</math> | ||
+ | |||
+ | ===נגזרת מנה=== | ||
+ | תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש <math>g'(x)\neq 0</math>: | ||
+ | *נזכור כי <math>(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | *אזי בנקודה x מתקיים: <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}</math> | ||
==הרצאה 13== | ==הרצאה 13== |
גרסה מ־07:58, 26 בנובמבר 2018
תוכן עניינים
- 1 מבחנים מהעבר
- 2 נושאי ההרצאות
מבחנים מהעבר
- מבחן מועד א תשע"ו
- מבחן מועד ב תשע"ו
- מבחן מועד ג תשע"ו
- מבחן דמה תשע"ו
- מבחן לדוגמה תשע"ו
- מבחן דמה תשע"ז
- מבחן מועד א' תשע"ז
- מבחן מועד ב' תשע"ז
- מבחן מועד ג' תשע"ז
- מבחן דמה תשע"ח
- מבחן מועד א' תשע"ח
- מבחן מועד ב' תשע"ח
- מבחן מועד ג' תשע"ח
נושאי ההרצאות
שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.
הרצאה 1
- מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
- שורש 2, 0.999.
- חזקות.
- לוגריתמים.
- מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
הרצאה 2
- כמתים, שלילת כמתים.
- חסמים.
הרצאה 3
- ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
- הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.
הרצאה 4
- גבול הוא יחיד.
- נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
- הסדרה הקבועה.
- כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
- אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
- (אי שיוויון המשולש.)
- סכום.
- מכפלה.
- חלוקה (תרגיל לבית).
הרצאה 5
- התכנסות במובן הרחב.
- אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
- סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
- חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.
הרצאה 6
- אינדוקציה.
- ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
- אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
- חסומה כפול אפיסה = אפיסה
- חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
- אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
- אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
- יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
- אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
- אם אזי
- המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
- מבחן המנה (ללא הוכחה).
- הגבול של השורש הn של n.
הרצאה 7
- סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
- המספר e.
- .
- אם אזי
- , כאשר הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל.
- שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
- אם אזי
- ראשית (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
- כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.
- אם אזי
- .
- בין אם שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
- שימו לב שאם , אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב ששווה אפס.
- דוגמא:
הרצאה 8
- פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.
הרצאה 9
- הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
-
- עבור זוית שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
-
- כיוון ש בתחום , נובע לפי סנדוויץ' ש.
- כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
- כעת בתחום הקוסינוס חיובית ולכן ונובע כי .
- נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
- לפי כלל הסנדביץ
- כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.
- ראינו ש.
- שימו לב ש, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.
הרצאה 10
- תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
- סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
- אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
- מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.
- גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
- מתקיים כי אבל .
- רציפות.
- טענה: אם f רציפה ב אזי לכל סדרה (גם אם אינה שונה מ) מתקיים כי .
- הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב ותהי g רציפה ב. אזי רציפה ב.
- הוכחה:
- תהי סדרה אזי
- לפי הטענה הקודמת, .
- מיון אי רציפות.
- רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
- סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
- קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
- עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.
הרצאה 11
הגדרת הנגזרת
-
- הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
- נניח כי ונוכיח כי , והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
- תהי נגדיר את הסדרה .
- כיוון ש נובע כי .
- אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
- צ"ל
- לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל
- לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי
- פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
- וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
- ניתן לשים לב גם ש, וכמו כן נראה בהמשך כי אינה גזירה באפס.
הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות
- טריגו:
- באופן דומה
- לוג:
-
- המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
- (בפרט נובע כי .)
-
- בפרט נובע כי
-
- אקספוננט:
-
- בפרט נובע כי .
-
- חזקה:
- לכל , הוכחה בהמשך.
- בפרט:
- לכל , הוכחה בהמשך.
הרצאה 12
נגזרת של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות
תהיינה גזירות בנקודה x.
- שימו לב ש כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx.
נגזרת של הרכבה
תהי f גזירה ב ותהי g הגזירה ב:
- תהי סדרה .
- רוצים לומר ש.
- אמנם בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
- אם יש תת סדרה של עבורה אזי ולכן .
- לכן .
- כמו כן, .
- לכן בכל מקרה קיבלנו כי
- סה"כ .
נגזרת של חזקה
- עבור מתקיים
- דוגמא: חישוב הנגזרת של
נגזרת מנה
תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש :
- נזכור כי
- אזי בנקודה x מתקיים:
הרצאה 13
- פונקציה הופכית, נגזרת של פונקציה הופכית.
הרצאה 14
- משפט ערך הביניים.
- תתי סדרות, גבול חלקי עליון ותחתון (כנראה ללא הוכחה).
- משפטי ויירשטראס.
הרצאה 15
- משפט פרמה.
- משפט רול.
- משפט לגראנז'.
- משפט לגראנז' המוכלל.
הרצאה 16
- כלל לופיטל (הוכחה לחלק מהמקרים).
- כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.
הרצאה 17
- פולינום טיילור.
- שארית לגראנז' בפולינום טיילור.
הרצאה 18
- אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
- הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.
הרצאה 19
- אינטגרציה בחלקים.
- שיטת ההצבה.
הרצאה 20
- אינטגרל על פונקציה רציונאלית.
הרצאה 21
- סכומי רימן.
- אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.
הרצאה 22
- אינטגרלים לא אמיתיים.
- מבחני התכנסות.