83-112 חדו"א 1 להנדסה/נושאי הקורס

מבחנים מהעבר

• מבחן מועד א תשע"ו
  • פתרון
• מבחן מועד ב תשע"ו
• מבחן מועד ג תשע"ו
• מבחן דמה תשע"ו
  • פתרון
• מבחן לדוגמה תשע"ו
  • פתרון
• מבחן דמה תשע"ז
• מבחן מועד א' תשע"ז
  • פתרון מבחן מועד א' תשע"ז
• מבחן מועד ב' תשע"ז
• מבחן מועד ג' תשע"ז
• מבחן דמה תשע"ח
• מבחן מועד א' תשע"ח
  • פתרון מבחן מועד א' תשע"ח
• מבחן מועד ב' תשע"ח
• מבחן מועד ג' תשע"ח
• מבחן מועד א' תשע"ט
  • פתרון מבחן מועד א' תשע"ט
• מבחן מועד ב' תשע"ט

נושאי ההרצאות

שימו לב: נושאי ההרצאות יעודכנו במהלך הסמסטר לפי קצב ההתקדמות בפועל.

הרצאה 1

• מבוא למספרים - טבעיים, שלמים, רציונאליים, ממשיים.
• שורש 2, 0.999.
• חזקות.
• לוגריתמים.
• מבוא לגבולות (שיטות אלגבריות: כפל בצמוד, הוצאת חזקה משמעותית).
  • $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
  • $\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+5x+3}{3x^2-100}$
  • $\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+x+1}-x,\lim_{x\to \infty}\sqrt{x^2+1}-x$
  • $\lim_{x\to\infty}x^2-x$

הרצאה 2

• כמתים, שלילת כמתים.
• חסמים.

הרצאה 3

• ברציונאליים אין לכל קבוצה חסומה מלעיל חסם עליון.
• הגדרת הגבול של סדרה במובן הצר.

הרצאה 4

• גבול הוא יחיד.
  • נניח בשלילה שיש שני גבולות שונים. החל משלב מסויים כל איברי הסדרה גדולים מאמצע הקטע בין שני הגבולות וגם קטנים ממנו, בסתירה.
• הסדרה הקבועה.
• כל סדרה המתכנסת במובן הצר חסומה.
• אריתמטיקה (חשבון) גבולות.
  • (אי שיוויון המשולש.)
  • סכום.
  • מכפלה.
  • חלוקה (תרגיל לבית).

הרצאה 5

• התכנסות במובן הרחב.
• אחד חלקי 'שואפת לאינסוף' היא אפיסה, ההפך לא נכון.
• סנדביץ' וחצי סדנביץ'.
• $a_n\to 0 \iff |a_n|\to 0$
• חסומה כפול אפיסה היא אפיסה.

הרצאה 6

• אינדוקציה.
• ברנולי - אקספוננט חיובי שואף לאפס, אחד או אינסוף.
• אריתמטיקה מורחבת (הכתיב הוא מקוצר ואינו מדוייק):
  • חסומה כפול אפיסה = אפיסה
  • חסומה חלקי אינסוף = אפיסה
  • $\infty+\infty=\infty$
  • $\infty\cdot\infty=\infty$
  • $\infty^\infty=\infty$
  • $\frac{1}{0}\neq\infty$
  • $\frac{1}{0^+}=\infty$
  • $0^\infty = 0$
  • אינסוף כפול סדרה השואפת למספר חיובי = אינסוף.
  • אינסוף כפול סדרההשואפת למספר שלילי = אינסוף.
  • יש גבול סופי + אין גבול סופי = אין גבול סופי.
  • אינסוף ועוד חסומה שווה אינסוף.
  • אם $a>1$ אזי $a^\infty=\infty$
  • חזקת סדרות שואפת לחזקת הגבולות.
• המקרים הבעייתיים בהם צריך להפעיל מניפולציות אלגבריות או משפטים על מנת לחשב את הגבול:
  • $\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0,1^\infty$
• מבחן המנה (אי-שוויון הממוצעים).
• הגבול של השורש הn של n.

הרצאה 7

• סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת.
• המספר e (הוכחות בעזרת אי-שוויון הממוצעים).
• $2<e<4$.
• אם $a_n\to\infty$ אזי $\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e$
  • $[a_n]\leq a_n \leq [a_n]+1$, כאשר $[a_n]$ הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל$a_n$.
  • $\left(1+\frac{1}{[a_n]+1}\right)^{[a_n]}\leq\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\leq \left(1+\frac{1}{[a_n]}\right)^{[a_n]+1}$
  • שני הצדדים שואפים לe ולכן לפי כלל הסנדוויץ הסדרה אכן שואפת לe.
• אם $a_n\to -\infty$ אזי $\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e$
  • ראשית $\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\to \frac{1}{e}$ (הוכחה בקישור לערך על המספר e).
  • כעת חזקה שלילית הופכת את השבר, וניתן לסיים את ההוכחה באופן דומה להוכחה במקרה הקודם.

• אם $a_n\to 1$ אזי $a_n^{b_n}\to e^{\lim b_n\cdot(a_n-1)}$
  • $a_n^{b_n}=\left[\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\right]^{ b_n\cdot (a_n-1)}$.
  • $\left(1+(a_n-1)\right)^{\frac{1}{a_n-1}}\to e$ בין אם $a_n-1$ שלילי או חיובי, לפי הטענות לעיל.
  • שימו לב שאם $a_n=1$, אז ממילא מקבלים 1 בנוסחא הסופית, ואז לא צריך לחלק ב$a_n-1$ ששווה אפס.

• דוגמא:
  • $\lim\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n=e^{\lim n\cdot\left(\frac{n+1}{n-2}-1\right)}=e^{\lim\frac{3n}{n-2}}=e^3$

הרצאה 8

• פונקציות וגבולות של פונקציות, לפי קושי ולפי היינה.

• תתי סדרות וגבולות חלקיים (ללא הוכחה)
  • סדרה מתכנסת לגבול אם"ם הגבול החלקי העליון והתחתון שווים לו.
  • אם ניתן לחלק סדרה לתתי סדרות שכולן מתכנסות לאותו גבול, אזי זה גבול הסדרה.
• מסקנה: גבול של פונקציה קיים בנקודה אם"ם הגבולות החד צדדיים קיימים ושווים לו.

הרצאה 9

• הגדרת סינוס וקוסינוס ע"י מעגל היחידה.
  • $sin^2(x)+cos^2(x)=1$
  • $sin(-x)=-sin(x),cos(-x)=cos(x)$
  • $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
  • $sin(2x)=2sin(x)cos(x),cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)$

• 
  • עבור זוית $0<x<\frac{\pi}{2}$ שטח המשולש חסום בשטח הגזרה (משולש פיצה עם הקשה) שחסום בשטח המשולש:
  • $S_{\triangle AOB}<S_{\bigcirc AOB}<S_{\triangle AOD}$
  • $\frac{sin(x)}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan(x)}{2}$
    • כיוון ש$0<sin(x)<x$ בתחום $(0,\frac{\pi}{2})$, נובע לפי סנדוויץ' ש$\lim_{x\to 0^+}sin(x)=0$.
    • כיוון שמדובר בפונקציה אי זוגית, נובע שזה גם הגבול משני הצדדים.
    • כעת בתחום $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ הקוסינוס חיובית ולכן $cos(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}$ ונובע כי $\lim_{x\to 0}cos(x)=1$.
  • נחלק את אי השיוויון הטריגונומטרי בסינוס ונקבל:
  • $1<\frac{x}{sin(x)}<\frac{1}{cos(x)}$
  • לפי כלל הסנדביץ $\lim_{x\to 0^+}\frac{sin(x)}{x}=1$
  • כיוון שמדובר בפונקציה זוגית, נובע שהגבול משני הצדדים שווה 1.

• ראינו ש$\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1$.
• שימו לב ש$\lim_{x\to\infty}\frac{sin(x)}{x}=0$, כיוון שמדובר בחסומה חלקי שואפת לאינסוף.

הרצאה 10

• גבול של הרכבת פונקציות נכשל ללא רציפות.
  • $f(x)=\frac{x}{x}, g(x)=0$ מתקיים כי $\lim_{x\to 0}f(x)=1,\lim_{x\to 2}g(x)=0$ אבל $\lim_{x\to 2}f(g(x))\neq 1$.
• רציפות.
• טענה: אם f רציפה ב$x_0$ אזי לכל סדרה $x_n\to x_0$ (גם אם אינה שונה מ$x_0$) מתקיים כי $f(x_n)\to f(x_0)$.
• הרכבת רציפות: תהי f רציפה ב$x_0$ ותהי g רציפה ב$f(x_0)$. אזי $g\circ f$ רציפה ב$x_0$.
  • הוכחה:
  • תהי סדרה $x_0\neq x_n\to x_0$ אזי $f(x_n)\to f(x_0)$
  • לפי הטענה הקודמת, $g(f(x_n))\to g(f(x_0))$.

• מיון אי רציפות.
  • רציפות - הגבול בנקודה שווה לערך בנקודה.
  • סליקה - הגבול קיים וסופי בנקודה, אך שונה מהערך בנקודה או שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.
  • קפיצתית (מין ראשון) - הגבולות החד צדדיים קיימים סופיים ושונים בנקודה.
  • עיקרית (מין שני) - אחד הגבולות החד צדדיים אינו קיים או שאינו סופי.

הרצאה 11

הגדרת הנגזרת

• $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
• $\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\{h=x-x_0\} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
  • הסבר לגבי שיטת ההצבה בה השתמשנו לעיל:
  • נניח כי $\lim{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)$ ונוכיח כי $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$, והוכחה דומה בכיוון ההפוך.
  • תהי $x_0\neq x_n\to x_0$ נגדיר את הסדרה $0\neq h_n=x_n-x_0\to 0$.
  • כיוון ש$\frac{f(x_0+h_n)-f(x_0)}{h_n}\to f'(x_0)$ נובע כי $\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)$.
• אם f גזירה בנקודה, היא רציפה בנקודה:
  • צ"ל $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
  • לפי אריתמטיקה של גבולות זה שקול ל $\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=0$
  • לפי עקרון win (קיצור של wouldn't it be nice?) מתקיים כי $\lim_{x\to x_0}f(x)-f(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0)=f'(x_0)\cdot 0 = 0$
• פונקציה הערך המוחלט אינה גזירה באפס
  • $(|x|)'(0) = \lim_{h\to 0}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim\frac{|h|}{h}$ וגבול זה אינו קיים, כיוון שהגבולות החד צדדים שונים.
  • ניתן לשים לב גם ש$|x|=\sqrt{x^2}$, וכמו כן נראה בהמשך כי$\sqrt{x}$ אינה גזירה באפס.

הנגזרות של הפונקציות האלמנטריות

• טריגו:
  • $\lim_{h\to 0}\frac{1-cos(h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin^2(h)}{h(1+cos(h))}=\lim_{h\to 0}sin(h)\cdot \frac{sin(h)}{h}\cdot \frac{1}{1+cos(h)}=0\cdot 1 \cdot \frac{1}{2}=0$
  • $(sin(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{sin(x)cos(h)+sin(h)cos(x)-sin(x)}{h}=\lim_{h\to 0}sin(x)\cdot \frac{cos(h)-1}{h} + cos(x)\cdot \frac{sin(h)}{h}=cos(x)$
  • באופן דומה $(cos(x))'=-sin(x)$
• לוג:
  • $\lim_{h\to 0}\frac{log(1+h)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot log(1+h)=\lim_{h\to 0}log\left(\left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}\right)=log(e)$
    • המעבר האחרון נובע מהעובדה שפונקצית הלוג רציפה.
    • (בפרט נובע כי $\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}=1$.)
  • $(log(x))'=\lim_{h\to 0}\frac{log(x+h)-log(x)}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{log\left(\frac{x+h}{x}\right)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}=\frac{log(e)}{x}$
    • בפרט נובע כי $(ln(x))' = \frac{1}{x}$
• אקספוננט:
  • $\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = \{t=a^h-1, h=log_a(1+t)\} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{log_a(1+t)} = \frac{1}{log_a(e)} = \frac{1}{\frac{ln(e)}{ln(a)}}=ln(a)$
  • $(a^x)' = \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}= \lim_{h\to 0}a^x\cdot \frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot ln(a)$
    • בפרט נובע כי $(e^x)'=e^x$.
• חזקה:
  • $(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ לכל $\alpha\in \mathbb{R}$, הוכחה בהמשך.
    • בפרט:
    • $(1)'=0$
    • $(\frac{1}{x})' = (x^{-1})'=-\frac{1}{x^2}$
    • $(\sqrt{x})'=(x^{\frac{1}{2}})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

הרצאה 12

נגזרת של מכפלה בקבוע, סכום ומכפלת פונקציות

תהיינה $f,g$ גזירות בנקודה x.

• $(cf)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}= cf'(x)$
• $(f+g)'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)$
• $(f\cdot g)'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)- f(x)g(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} =$

$=\lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ f(x)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)$

• שימו לב ש$g(x+h)\to g(x)$ כיוון שg רציפה בx, כיוון שהיא גזירה בx.

נגזרת של הרכבה

תהי f גזירה ב$x_0$ ותהי g הגזירה ב$f(x_0)$:

• $(g\circ f)'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}$
• תהי סדרה $x_0\neq x_n\to x_0$.
• רוצים לומר ש$\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}= \frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{f(x_n)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)$.
• אמנם $f(x_n)\to f(x_0)$ בגלל שהרציפות נובעת מהגזירות, אבל לא ידוע ש$f(x_n)\neq f(x_0)$ ובמקרה זה אנחנו כופלים ומחלקים באפס.
• אם יש תת סדרה $a_n$ של $x_n$ עבורה $f(a_n)=f(x_0)$ אזי $\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}=0$ ולכן $f'(x_0)=0$.
• לכן $g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)=0$.
• כמו כן, $\frac{g(f(a_n))-g(f(x_0))}{a_n-x_0}=0$.
• לכן בכל מקרה קיבלנו כי $\frac{g(f(x_n))-g(f(x_0))}{x_n-x_0}\to g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)$
• סה"כ $(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)$.

נגזרת של חזקה

• עבור $x>0$ מתקיים $(x^\alpha)'=(e^{ln\left(x^\alpha\right)})' = (e^{\alpha\cdot ln(x)})' = e^{\alpha\cdot ln(x)}\cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}$
• דוגמא: חישוב הנגזרת של $x^x$

נגזרת מנה

תהיינה f,g גזירות בנקודה x כך ש $g(x)\neq 0$:

• נזכור כי $(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$
• אזי בנקודה x מתקיים: $\left(\frac{f}{g}\right)'=\left(f\cdot \frac{1}{g}\right)' = f'\cdot \frac{1}{g} + f\cdot \frac{-g'}{g^2} = \frac{f'g-g'f}{g^2}$

הרצאה 13

• הגדרה:
• פונקציה f נקראית רציפה בקטע $[a,b]$ אם f רציפה בכל נקודה בקטע $(a,b)$ ובנוסף $\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$ וגם $\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$

• פונקציות הפיכות (הוכחות והגדרות מדוייקות בבדידה).
  • פונקציה $f:[a,b]\to [c,d]$ הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל
  • הפונקציה ההופכית היא $f^{-1}:[c,d]\to[a,b]$ ומתקיים כי $f(x)=y$ אם"ם $x=f^{-1}(y)$

• טענה: אם $f:[a,b]\to [c,d]$ רציפה בקטע $[a,b]$, אזי $f^{-1}:[c,d]\to[a,b]$ רציפה בקטע $[c,d]$.
  • הוכחה:
  • תהי $y_0\neq y_n\to y_0$, צ"ל ש $f^{-1}(y_n)\to f^{-1}(y_0)$
  • יהי גבול חלקי $x_n=f^{-1}(y_n)\to L$.
  • אזי $f(x_n)=y_n\to y_0$.
  • מצד שני, לפי רציפות הפונקציה f מתקיים $f(x_n)\to f(L)$.
  • לכן $f(L)=y_0$ ולכן $L=f^{-1}(y_0)$.

• טענה: תהי $f:[a,b]\to [c,d]$ הפיכה גזירה בנק' $a<x_0<b$ כך ש $f'(x_0)\neq 0$.

אזי $f^{-1}$ גזירה בנק' $f(x_0)$ ומתקיים כי

$(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}$ או בנוסח אחר-

$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

• • הוכחה:
  • $(f^{-1})'(f(x_0)) = \lim_{y\to f(x_0)}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(f(x_0))}{y-f(x_0)}$
  • תהי $f(x_0)\neq y_n\to f(x_0)$ ונסמן $x_n=f^{-1}(y_n)$.
  • אזי מתוך רציפות וחח"ע נובע כי $x_0\neq x_n\to f^{-1}(f(x_0))=x_0$
  • $\frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(f(x_0))}{y_n-f(x_0)} = \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)} \to \frac{1}{f'(x_0)}$

• דוגמא חשובה:
• $tan:(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}$ הפיכה וההופכית שלה נקראית $arctan$.
• $tan^2(x)+1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1 = \frac{1}{cos^2(x)}$
• $arctan'(x) = \frac{1}{\frac{1}{cos^2(arctan(x))}} = \frac{1}{tan^2(arctan(x))+1}=\frac{1}{1+x^2}$

הרצאה 14

• משפט ערך הביניים.
• תהי f רציפה ב$[0,1]$ כך ש$f(1)=2$, הוכיחו שקיימת נק' $c\in [0,1]$ עבורה $f(c)=\frac{1}{c}$
  • נעביר אגף ונביט בפונקציה $h(x)=f(x)-\frac{1}{x}$ שצריך למצוא שורש שלה.
  • $h(1)>0$.
  • $\lim_{x\to 0^+}h(x)=f(0)-\infty=-\infty$ ולכן קיימת נקודה $0<d<1$ עבורה $h(d)<0$.
  • לפי משפט ערך הביניים בקטע $[d,1]$ קיימת נק' המאפסת את הפונקציה h.

• לכל סדרה יש תת סדרה מונוטונית.

הרצאה 15

• משפטי ויירשטראס.
  • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - חסומה.
  • פונקציה רציפה בקטע סופי סגור - מקבלת מינימום ומקסימום.
• משפט פרמה.
  • אם פונקציה גזירה בנק' קיצון מקומי, הנגזרת שווה שם לאפס.
  • ההפך אינו נכון.
• משפט רול.
  • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח, שמקבלת את אותו ערך בקצוות - הנגזרת שלה מתאפסת בקטע הפתוח.
  • לפולינום יש לכל היותר n שורשים שונים.
• משפט לגראנז'.
  • פונקציה רציפה בקטע סגור, וגזירה בקטע הפתוח מקבלת את השיפוע בין שתי נקודות הקצה בנגזרת בנק' כלשהי.
• משפט לגראנז' המוכלל.
  • שתי פונקציות רציפות בקטע סגור, גזירות בקטע הפתוח, והנגזרת של האחת אינה מתאפסת. אזי מנת הנגזרות שווה למנת השיפועים בנק' מסויימת.

הרצאה 16

• הוכחת משפט לגראנז' המוכלל, שמוכיח גם את משפט לגראנז' עצמו כמקרה פרטי.
  • ראשית, כיוון ש$g'(x)\neq 0$ בקטע $(a,b)$ נובע לפי רול כי $g(a)\neq g(b)$ ולכן מותר לחלק בהפרש ביניהם.
  • $h(x)=f(x)-f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$
  • $h(a)=h(b)=0$ ולכן לפי רול קיימת נק' $c\in (a,b)$ עבורה $h'(c)=0$ וזה מה שרצינו להוכיח.
  • (שימו לב שמותר לחלק ב$g'(c)$.)
  • עבור $g(x)=x$ נקבל את משפט לאגראנז' הרגיל.
• פונקציה גזירה עולה אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס.
• פונקציה עולה ממש אם"ם הנגזרת שלה גדולה או שווה אפס, ולא מתאפסת על קטע.

• כלל לופיטל (הוכחה לאפס חלקי אפס בנקודה סופית).
• כיצד להעזר בלופיטל בכל אחד מהמקרים הבעייתיים.

הרצאה 17

• פולינום טיילור.
• שארית לגראנז' בפולינום טיילור.

הרצאה 19

• אינטגרל - מסויים ולא מסוים.
• הצגת נוסחאת ניוטון לייבניץ - הוכחה עם הערך הממוצע האינטגרלי.

הרצאה 20

• אינטגרציה בחלקים.
• שיטת ההצבה.

הרצאה 21

• אינטגרל על פונקציה רציונאלית.

הרצאה 22

• סכומי רימן.
• אורך עקומה, נפח גוף סיבוב.

הרצאה 23

• אינטגרלים לא אמיתיים.
• מבחני התכנסות.